الترتيب (نظرية المجموعة)

تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة بإضافة مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. البحث عن المصادر:  نظرية المجموعة "الترتيب" - الأخبار  · الصحف  · الكتب  · العلماء  · JSTOR ( مايو 2011 ) ( تعرف على كيفية ومتى تزيل هذه الرسالة )

البنية الجبرية → نظرية المجموعة نظرية المجموعة
المفاهيم الأساسية المجموعة الفرعية المجموعة الفرعية الطبيعية العمل الجماعي مجموعة الحاصل منتج (شبه) مباشر المجموع المباشر منتج مجاني منتج إكليل الزهور تشابهات المجموعات نواة صورة بسيط محدود لانهائي مستمر مضاعف مادة مضافة دوري أبيليان ثنائي السطوح عديم القدرة قابلة للحل مسرد نظرية المجموعة قائمة مواضيع نظرية المجموعة
المجموعات المحدودة المجموعة الدورية Z n Symmetric group Sn Alternating group An Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

في الرياضيات ، رتبة المجموعة المنتهية هي عدد عناصرها. إذا لم تكن المجموعة منتهية، نقول إن رتبتها غير منتهية . رتبة عنصر في المجموعة (وتسمى أيضًا طول الفترة أو الفترة ) هي رتبة المجموعة الفرعية التي يولدها العنصر. إذا تمت الإشارة إلى عملية المجموعة على أنها عملية ضرب ، فإن رتبة عنصر a في المجموعة، هي بالتالي أصغر عدد صحيح موجب m بحيث يكون a ^m = e ، حيث يشير e إلى العنصر المحايد للمجموعة، ويشير a ^m إلى حاصل ضرب m نسخة من a . إذا لم يوجد مثل هذا m ، فإن رتبة a تكون غير منتهية.

يتم الإشارة إلى ترتيب المجموعة G بواسطة ord( G ) أو | G | ، ويتم الإشارة إلى ترتيب العنصر a بواسطة ord( a ) أو | a | ، بدلاً من المكان الذي تشير فيه الأقواس إلى المجموعة الناتجة. ${\displaystyle \operatorname {ord} (\langle a\rangle ),}$

تنص نظرية لاغرانج على أنه بالنسبة لأي مجموعة فرعية H من مجموعة محدودة G ، فإن رتبة المجموعة الفرعية تقسم رتبة المجموعة؛ أي أن | H | هو قاسم لـ | G | . وعلى وجه الخصوص، فإن رتبة | a | لأي عنصر هي قاسم لـ | G | .

المجموعة المتماثلة S _{3 لها} جدول الضرب التالي .

•	هـ	س	ت	انت	ف	و
هـ	هـ	س	ت	انت	ف	و
س	س	هـ	ف	و	ت	انت
ت	ت	انت	هـ	س	و	ف
انت	انت	ت	و	ف	هـ	س
ف	ف	و	س	هـ	انت	ت
و	و	ف	انت	ت	س	هـ

تحتوي هذه المجموعة على ستة عناصر، لذا ord(S ₃ ) = 6. حسب التعريف، فإن ترتيب المتطابقة، e ، هو واحد، لأن e ¹ = e . كل من s و t و w مربع إلى e ، لذا فإن عناصر المجموعة هذه لها الترتيب الثاني: | s | = | t | = | w | = 2. أخيرًا، يكون ترتيب u و v هو 3، لأن u ³  = vu  = e ، و v ³  = uv  = e .

إن ترتيب المجموعة G وترتيب عناصرها يعطي الكثير من المعلومات حول بنية المجموعة. وبعبارة تقريبية، كلما كان تحليل | G | إلى عوامل أكثر تعقيدًا ، كلما كان هيكل G أكثر تعقيدًا .

بالنسبة لـ | G | = 1، تكون المجموعة تافهة . في أي مجموعة، يكون العنصر الوحيد المتطابق a = e له ord( a) = 1. إذا كان كل عنصر غير متطابق في G يساوي معكوسه (بحيث a ² = e )، فإن ord( a ) = 2؛ وهذا يعني أن G أبيلية لأن . والعكس ليس صحيحًا؛ على سبيل المثال، المجموعة الدورية (الجمعية) Z ₆ للأعداد الصحيحة modulo 6 أبيلية ، ولكن العدد 2 له الترتيب 3: ${\displaystyle ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba}$

${\displaystyle 2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}}$.

العلاقة بين مفهومي النظام هي التالية: إذا كتبنا

${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{k}\colon k\in \mathbb {Z} \}}$

بالنسبة للمجموعة الفرعية التي تم إنشاؤها بواسطة ، إذن

${\displaystyle \operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (\langle a\rangle ).}$

لأي عدد صحيح k ، لدينا

أ ^ك = هـ   إذا وفقط إذا كان ord( أ ) يقسم ك .

بشكل عام، يقسم ترتيب أي مجموعة فرعية من G ترتيب G. وبشكل أكثر دقة: إذا كانت H مجموعة فرعية من G ، فإن

ord( G ) / ord( H ) = [ G  : H ]، حيث يُطلق على [ G  : H ] مؤشر H في G ، وهو عدد صحيح. هذه هي نظرية لاغرانج . (ومع ذلك، فإن هذا صحيح فقط عندما يكون لـ G ترتيب منتهٍ. إذا كان ord( G ) = ∞، فإن حاصل القسمة ord( G ) / ord( H ) لا معنى له.)

وكنتيجة مباشرة لما سبق، نرى أن ترتيب كل عنصر في المجموعة يقسم ترتيب المجموعة. على سبيل المثال، في المجموعة المتماثلة الموضحة أعلاه، حيث ord(S ₃ ) = 6، تكون الرتب المحتملة للعناصر هي 1 أو 2 أو 3 أو 6.

العكس الجزئي التالي صحيح للمجموعات المنتهية : إذا قسم d رتبة المجموعة G وكان d عددًا أوليًا ، فيوجد عنصر من الرتبة d في G (يُطلق على هذا أحيانًا نظرية كوشي ). لا تنطبق العبارة على الرتب المركبة ، على سبيل المثال، لا تحتوي مجموعة كلاين الرباعية على عنصر من الرتبة الرابعة. يمكن إثبات ذلك من خلال الإثبات الاستقرائي . ^[1] تتضمن عواقب النظرية: أن رتبة المجموعة G هي قوة لعدد أولي p إذا وفقط إذا كان ord( a ) قوة معينة لـ p لكل a في G. ^[2]

إذا كان لـ a ترتيب غير محدود، فإن جميع القوى غير الصفرية لـ a لها ترتيب غير محدود أيضًا. إذا كان لـ a ترتيب محدود، فلدينا الصيغة التالية لترتيب قوى a :

أورد( أ ^ك ) = أورد( أ ) / القاسم المشترك الأعظم (أورد( أ )، ك ) ^[3]

لكل عدد صحيح k . على وجه الخصوص، a ومعكوسها a ⁻¹ لهما نفس الترتيب.

في أي مجموعة،

${\displaystyle \operatorname {ord} (ab)=\operatorname {ord} (ba)}$

لا توجد صيغة عامة تربط رتبة حاصل الضرب ab برتبتي a و b . في الواقع، من الممكن أن يكون لكل من a و b رتبة منتهية بينما يكون لـ ab رتبة غير محدودة، أو أن يكون لكل من a و b رتبة غير محدودة بينما يكون لـ ab رتبة منتهية. مثال على الأول هو a ( x ) = 2− x , b ( x ) = 1− x مع ab ( x ) = x −1 في المجموعة . مثال على الأخير هو a ( x ) = x +1, b ( x ) = x −1 مع ab ( x ) = x . إذا كان ab = ba ، فيمكننا على الأقل القول إن ord( ab ) يقسم المضاعف المشترك الأصغر (ord( a ), ord( b )). ونتيجة لذلك، يمكن للمرء أن يثبت أنه في مجموعة أبيلية منتهية، إذا كان m يدل على الحد الأقصى لجميع رتب عناصر المجموعة، فإن رتبة كل عنصر تقسم m . ${\displaystyle Sym(\mathbb {Z} )}$

افترض أن G هي مجموعة منتهية من الرتبة n ، وأن d هو قاسم لـ n . عدد عناصر الرتبة d في G هو مضاعف لـ φ( d ) (ربما صفر)، حيث φ هي دالة أويلر الكلية ، مما يعطي عدد الأعداد الصحيحة الموجبة التي لا يزيد حجمها عن d ويكون لها عدد أولي مشترك . على سبيل المثال، في حالة S ₃ ، φ(3) = 2، ولدينا عنصران بالضبط من الرتبة 3. لا تقدم النظرية أي معلومات مفيدة حول عناصر الرتبة 2، لأن φ(2) = 1، وهي ذات فائدة محدودة فقط للمركب d مثل d = 6، لأن φ(6) = 2، ولا يوجد أي عناصر من الرتبة 6 في S ₃ .

تميل تماثلات المجموعات إلى تقليل رتب العناصر: إذا كانت f :  G  →  H تماثلًا، وكان a عنصرًا من G من رتبة محدودة، فإن ord( f ( a )) يقسم ord( a ). إذا كانت f حقنية ، فإن ord( f ( a )) = ord( a ). يمكن استخدام هذا غالبًا لإثبات عدم وجود تماثلات أو عدم وجود تماثلات حقنية، بين مجموعتين معينتين صراحةً. (على سبيل المثال، لا يمكن أن يكون هناك تماثل غير تافه h : S ₃  →  Z ₅ ، لأن كل رقم باستثناء الصفر في Z ₅ له الترتيب 5، والذي لا يقسم الرتب 1 و2 و3 للعناصر في S _3. ) والنتيجة الأخرى هي أن العناصر المترافقة لها نفس الترتيب.

النتيجة المهمة فيما يتعلق بالترتيبات هي معادلة الفئة ؛ فهي تربط ترتيب المجموعة المنتهية G بترتيب مركزها Z ( G ) وأحجام فئات الاقتران غير التافهة :

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}\;}$

حيث أن d _i هي أحجام فئات الاقتران غير التافهة؛ وهي قواسم صحيحة لـ | G | أكبر من واحد، وهي أيضًا تساوي مؤشرات الممركزات في G لممثلي فئات الاقتران غير التافهة. على سبيل المثال، مركز S ₃ هو مجرد المجموعة التافهة ذات العنصر المفرد e ، وتقرأ المعادلة |S ₃ | = 1+2+3.

• مجموعة فرعية للالتواء

• دوميت، ديفيد؛ فوت، ريتشارد. الجبر المجرد، ISBN 978-0471433347 ، ص 20، 54-59، 90 
• ارتين، مايكل. الجبر، ISBN 0-13-004763-5 ، الصفحات من 46 إلى 47