مجموعة التماثل الخارجي

في الرياضيات ، تُعرف مجموعة التشاكلات الخارجية لمجموعة G بأنها خارج القسمة Aut $($ $G$ $)$ $/$ $Inn($ $G$ $)$ $،$ حيث $Aut($ $G$ $)$ هي مجموعة التشاكلات الذاتية لـ $G،$ و Inn $($ $G$ ) هي المجموعة الجزئية المكونة من التشاكلات الذاتية الداخلية . يُرمز عادةً لمجموعة التشاكلات الخارجية $بـ Out($ $G$ $)$ . إذا كانت $Out($ $G$ $)$ تافهة، وكان لـ $G$ مركز تافه ، فإن $G$ تُعتبر كاملة .

يُطلق على التشاكل الذاتي لمجموعة ما، والذي ليس داخليًا، اسم التشاكل الذاتي الخارجي . ^{[ 1 ]} تكون المجموعات المشاركة لـ $Inn(G)$ بالنسبة للتشاكلات الذاتية الخارجية هي عناصر $Out(G)$ ؛ وهذا مثال على حقيقة أن خارج قسمة المجموعات ليس، بشكل عام، مجموعات جزئية (متماثلة مع). إذا كانت مجموعة التشاكل الذاتي الداخلي تافهة (عندما تكون المجموعة تبديلية)، فإن مجموعة التشاكل الذاتي ومجموعة التشاكل الذاتي الخارجي تتطابقان بشكل طبيعي؛ أي أن مجموعة التشاكل الذاتي الخارجي تؤثر على المجموعة.

على سبيل المثال، بالنسبة للمجموعة المتناوبة $A n$ ، فإن مجموعة التشاكل الخارجي عادةً ما تكون المجموعة من الرتبة 2، مع استثناءات مذكورة أدناه. وباعتبار $A n$ مجموعة جزئية من المجموعة المتناظرة $S n$ ، فإن الاقتران بأي تبديل فردي هو تشاكل خارجي لـ $A n$ ، أو بتعبير أدق "يمثل فئة التشاكل الخارجي (غير التافه) لـ $A n$ "، ولكن التشاكل الخارجي لا يتوافق مع الاقتران بأي عنصر فردي محدد ، وجميع الاقترانات بالعناصر الفردية متكافئة حتى الاقتران بعنصر زوجي.

بناء

تنص حدسية شراير على أن $Out(G)$ هي دائمًا زمرة قابلة للحل عندما تكون $G$ زمرة بسيطة منتهية . وقد ثبتت صحة هذه النتيجة الآن كنتيجة لتصنيف الزمر البسيطة المنتهية ، على الرغم من عدم وجود برهان أبسط معروف.

باعتباره ثنائي المركز

تُعتبر مجموعة التشاكل الذاتي الخارجية ثنائيةً مع المركز بالمعنى التالي: الاقتران بعنصر من $G$ هو تشاكل ذاتي، ينتج عنه تطبيق $σ : G \to Aut(G)$ . نواة تطبيق الاقتران هي المركز، بينما النواة المرافقة هي مجموعة التشاكل الذاتي الخارجية (وصورة التطبيق هي مجموعة التشاكل الذاتي الداخلية ). يمكن تلخيص ذلك بالمتتالية التامة.

$Z(G)\hookrightarrow G\,{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}\,\mathrm {Aut} (G)\twoheadrightarrow \mathrm {Out} (G)$

التطبيقات

تؤثر مجموعة التشاكل الخارجي لمجموعة ما على فئات الاقتران ، وبالتالي على جدول الخصائص . انظر التفاصيل في جدول الخصائص: التشاكلات الخارجية .

طوبولوجيا الأسطح

تعتبر مجموعة التماثل الخارجي مهمة في طوبولوجيا الأسطح لأن هناك صلة يوفرها مبرهنة ديهن-نيلسن : مجموعة فئة التعيين الموسعة للسطح هي مجموعة التماثل الخارجي لمجموعته الأساسية .

في المجموعات المنتهية

للاطلاع على مجموعات التشاكل الخارجي لجميع الزمر البسيطة المنتهية، انظر $قائمة$ الزمر البسيطة المنتهية . تمتلك الزمر البسيطة المتفرقة والزمر المتناوبة (باستثناء الزمرة المتناوبة $A6 ؛ انظر أدناه) جميعها مجموعات تشاكل خارجي من الرتبة 1 أو 2. مجموعة التشاكل الخارجي$ لزمرة بسيطة منتهية من نوع لي هي امتداد لزمرة "التشاكلات القطرية" (دورية باستثناء $Dn (q)$ ، حيث تكون رتبتها 4)، وزمرة "تشاكلات الحقول" (دورية دائمًا)، وزمرة "تشاكلات الرسوم البيانية" (من الرتبة 1 أو 2 باستثناء $D4$ $( q) ، حيث$ $تكون$ الزمرة المتناظرة على 3 نقاط). لا تكون هذه الامتدادات دائمًا نواتج شبه مباشرة ، كما يتضح من حالة الزمرة المتناوبة $A6$ ؛ وقد تم تقديم معيار دقيق لحدوث ذلك في عام $2003.$ ^{[ 2 ]}

مجموعة	المعلمة	$Out(G)$	$\| خارج(G) \|$
$Z$		$ج 2$	$2$ : التطابق والتشاكل الخارجي $x \mapsto - x$
$سي إن$	$ن > 2$	$(ℤ/ n ℤ) \times$	$φ (n) =$ $n\prod _{p\|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$ ؛ واحد يتوافق مع الضرب بعنصر قابل للعكس في الحلقة $ℤ/ n ℤ$ .
$Z p n$	$p$ عدد أولي، $n > 1$	$GL n (p)$	$(p n - 1)(p n - p)(p n - p 2)...(p n - p n -1)$
$S n$	$ن \neq 6$	$ج 1$	$1$
$S 6$		$ج 2$ (انظر أدناه)	$2$
$أن $	$ن \neq 6$	$ج 2$	$2$
$أ 6$		$C 2 \times C 2$ (انظر أدناه)	$4$
$PSL 2 (ص)$	$p > 3$ عدد أولي	$ج 2$	$2$
$PSL 2 (2 n)$	$ن > 1$	$سي إن$	$ن$
$PSL 3 (4) = M 21$		$ديه 6$	$12$
$م ن$	$n \in {11, 23, 24}$	$ج 1$	$1$
$م ن$	$ن \in {12، 22}$	$ج 2$	$2$
$كون $	$n \in {1, 2, 3}$	$ج 1$	$1$

في المجموعات المتناظرة والمتبادلة

يمكن دائمًا تقريبًا إيجاد زمرة التشاكل الخارجي لزمرة بسيطة منتهية في عائلة لانهائية من الزمر البسيطة المنتهية، وذلك باستخدام صيغة موحدة تنطبق على جميع عناصر العائلة. يوجد استثناء واحد فقط: ^{[ 3 ]} الزمرة المتناوبة $A⁶ لها زمرة تشاكل خارجي$ من الرتبة 4، بدلًا من 2 كما هو الحال في الزمر المتناوبة البسيطة الأخرى (المُعطاة بالاقتران بتبديل فردي ). وبالمثل $،$ فإن الزمرة المتناظرة $S⁶$ هي الزمرة المتناظرة الوحيدة التي لها زمرة تشاكل خارجي غير تافهة.

{\begin{aligned}n\neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})&=\mathrm {C} _{1}\\n\geq 3,\ n\neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})&=\mathrm {C} _ {2}\\\اسم المشغل {Out} (\mathrm {S} _{6})&=\mathrm {C} _{2}\\\اسم المشغل {Out} (\mathrm {A} _{6})&=\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _ {2}\end{محاذاة}}

لاحظ أنه في حالة $G = A 6 = PSL(2, 9)$ ، فإن المتتالية $1 ⟶ G ⟶ Aut(G) ⟶ Out(G) ⟶ 1$ لا تنقسم. وينطبق الأمر نفسه على أي $PSL(2, q 2)$ ، $حيث q$ عدد فردي.

في المجموعات الجبرية المختزلة

تناظرات مخطط دينكين ، $D 4$ ، تتوافق مع التشاكلات الخارجية لـ $Spin(8)$ في الثلاثية.

ليكن $G$ زمرة اختزالية متصلة على حقل مغلق جبريًا . عندئذٍ، تكون أي زمرتين جزئيتين من زمر بوريل مترافقتين بتشاكل ذاتي داخلي، لذا لدراسة التشاكلات الذاتية الخارجية، يكفي النظر في التشاكلات الذاتية التي تُثبّت زمرة بوريل جزئية معينة. ترتبط بزمرة بوريل الجزئية مجموعة من الجذور البسيطة ، ويمكن للتشاكل الذاتي الخارجي أن يُبدّلها، مع الحفاظ على بنية مخطط دينكين المرتبط . بهذه الطريقة، يمكن تحديد زمرة التشاكلات الذاتية لمخطط دينكين لـ $G$ مع زمرة جزئية من $Out(G)$ .

$D 4$ لها مخطط دينكين متناظر للغاية، مما ينتج عنه مجموعة تماثل خارجي كبيرة لـ $Spin(8)$ ، وهي $Out(Spin(8)) = S 3$ ؛ وهذا ما يسمى الثلاثية .

في جبر لي المعقد والبسيط الحقيقي

ينبع التفسير السابق للتشاكلات الخارجية كتناظرات لمخطط دينكين من الحقيقة العامة، وهي أنه بالنسبة لجبر لي بسيط حقيقي أو معقد، $𝔤$ ، فإن مجموعة التشاكلات الذاتية $Aut(𝔤)$ هي حاصل ضرب شبه مباشر لـ $Inn(𝔤)$ و $Out(𝔤)$ ؛ أي المتتالية التامة القصيرة

1 ⟶ Inn(𝔤) ⟶ Aut(𝔤) ⟶ Out(𝔤) ⟶ 1

الانقسامات. في الحالة البسيطة المعقدة، هذه نتيجة كلاسيكية، ^{[ 4 ]} بينما بالنسبة لجبر لي البسيط الحقيقي، فقد تم إثبات هذه الحقيقة في عام 2010. ^{[ 5 ]}

التلاعب بالألفاظ

$إن$ مصطلح التشكل الخارجي يتيح مجالاً للتلاعب بالألفاظ : فمصطلح التشكل الخارجي يستخدم أحيانًا للتشكل الخارجي ، وتسمى الهندسة الخاصة التي يعمل عليها $Out(Fn)$ بالفضاء الخارجي .

انظر أيضاً

مراجع

↑ على الرغم من الاسم، فإن هذه العناصر لا تشكل عناصر مجموعة التشاكل الخارجي. ولهذا السبب،يُفضل أحيانًا استخدام مصطلح التشاكل غير الداخلي .
↑ A. Lucchini, F. Menegazzo, M. Morigi (2003), “ On the exist of a complement for a finite simple group in its automorphism group “, Illinois J. Math. 47, 395–418.
↑ أطلس، صفحة 16
↑ فولتون، ويليام ؛ هاريس، جو (1991)، "الفرضية د.40"، نظرية التمثيل: مدخل تمهيدي ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، قراءات في الرياضيات، المجلد 129، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 ، ISBN 978-0-387-97495-8، MR 1153249 ، OCLC 246650103
↑ JLT20035

روابط خارجية

يحتوي أطلس تمثيلات المجموعات المنتهية - الإصدار 3 على الكثير من المعلومات حول فئات مختلفة من المجموعات المنتهية (وخاصة المجموعات البسيطة المتفرقة)، بما في ذلك ترتيب $Out(G)$ لكل مجموعة مدرجة.

[1] على الرغم من الاسم، فإن هذه العناصر لا تشكل عناصر مجموعة التشاكل الخارجي. ولهذا السبب،يُفضل أحيانًا استخدام مصطلح التشاكل غير الداخلي .

[2] A. Lucchini, F. Menegazzo, M. Morigi (2003), “ On the exist of a complement for a finite simple group in its automorphism group “, Illinois J. Math. 47, 395–418.

[3] أطلس، صفحة 16

[4] فولتون، ويليام ؛ هاريس، جو (1991)، "الفرضية د.40"، نظرية التمثيل: مدخل تمهيدي ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، قراءات في الرياضيات، المجلد 129، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 ، ISBN 978-0-387-97495-8، MR 1153249 ، OCLC 246650103

[JOLT-5] JLT20035

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗