تحويل كلفن

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 4 صور
الموسوعة الحرة

يُعد تحويل كلفن أداةً تُستخدم في نظرية الكمون الكلاسيكية لتوسيع مفهوم الدالة التوافقية ، وذلك بالسماح بتعريف دالة "توافقية عند اللانهاية". كما تُستخدم هذه التقنية في دراسة الدوال التوافقية الفرعية والتوافقية العليا .

من أجل تعريف تحويل كلفن f * للدالة f ، من الضروري أولاً النظر في مفهوم الانعكاس في كرة في R n على النحو التالي.

من الممكن استخدام الانعكاس في أي كرة، لكن الأفكار تكون أوضح عند النظر إلى كرة مركزها عند نقطة الأصل.

بفرض وجود كرة ثابتة S (0, R ) مركزها 0 ونصف قطرها R ، فإن انعكاس نقطة x في R n يُعرَّف على النحو التالي:x*=R2|x|2x.{\displaystyle x^{*}={\frac {R^{2}}{|x|^{2}}}x.}

من الآثار المفيدة لهذا الانعكاس أن نقطة الأصل 0 هي صورة لـ∞{\displaystyle \infty }، و∞{\displaystyle \infty }هي صورة الصفر. في ظل هذا الانعكاس، تتحول الكرات إلى كرات، ويتحول الجزء الخارجي من الكرة إلى الجزء الداخلي، والعكس صحيح.

يُعرَّف تحويل كلفن للدالة على النحو التالي:

إذا كانت D مجموعة جزئية مفتوحة من R^ n لا تحتوي على الصفر، فإن تحويل كلفن f * لأي دالة f معرفة على D بالنسبة للكرة S (0, R ) هو و*(x*)=|x|ن-2R2ن-4و(x)=1|x*|ن-2و(x)=1|x*|ن-2و(R2|x*|2x*).{\displaystyle f^{*}(x^{*})={\frac {|x|^{n-2}}{R^{2n-4}}}f(x)={\frac {1}{|x^{*}|^{n-2}}}f(x)={\frac {1}{|x^{*}|^{n-2}}}f\left({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\right).}

إحدى الخصائص المهمة لتحويل كلفن، والسبب الرئيسي وراء ابتكاره، هي النتيجة التالية:

ليكن D مجموعة جزئية مفتوحة في R n لا تحتوي على الأصل 0. عندئذٍ تكون الدالة u توافقية أو شبه توافقية أو فوق توافقية في D إذا وفقط إذا كان تحويل كلفن u * بالنسبة للكرة S (0, R ) توافقيًا أو شبه توافقيًا أو فوق توافقيًا في D * .

وهذا يتبع من الصيغة Δu*(x*)=R4|x*|ن+2(Δu)(R2|x*|2x*).{\displaystyle \Delta u^{*}(x^{*})={\frac {R^{4}}{|x^{*}|^{n+2}}}(\Delta u)\left({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\right).}

انظر أيضاً

مراجع