الهندسة العكسية

في الحساب، يعني قلب عدد عادةً أخذ مقلوبه . وثمة فكرة وثيقة الصلة في الهندسة وهي "قلب" نقطة. في المستوى ، يكون معكوس النقطة P بالنسبة لدائرة مرجعية (Ø) مركزها O ونصف قطرها r هو النقطة P ' ، التي تقع على الشعاع الواصل من O إلى P بحيث

${\displaystyle OP\cdot OP^{\prime }=r^{2}.}$

يُسمى هذا الانعكاس الدائري أو الانعكاس المستوي . إن الانعكاس الذي يأخذ أي نقطة P (بخلاف O ) إلى صورتها P ' يعيد P ' إلى P ، لذا فإن نتيجة تطبيق الانعكاس نفسه مرتين هي تحويل التطابق، مما يجعله انعكاسًا ذاتيًا (أي انعكاسًا داخليًا). ^{[ 2 ] [ 3 ]} لجعل الانعكاس دالة كلية معرفة أيضًا للنقطة O ، من الضروري إدخال نقطة عند اللانهاية ، وهي نقطة واحدة تقع على جميع الخطوط، وتوسيع الانعكاس، بحكم التعريف، لتبديل المركز O بهذه النقطة عند اللانهاية.

يستنتج من التعريف أن انعكاس أي نقطة داخل دائرة المرجع يجب أن يكون خارجها، والعكس صحيح، حيث يتبادل المركز والنقطة عند اللانهاية مواقعهما، بينما تبقى أي نقطة على الدائرة ثابتة (غير متأثرة بالانعكاس ). باختصار، بالنسبة لنقطة داخل الدائرة، كلما اقتربت النقطة من المركز، ابتعد تحويلها. أما بالنسبة لأي نقطة (داخل الدائرة أو خارجها)، فكلما اقتربت النقطة من الدائرة، اقترب تحويلها.

البناء باستخدام البوصلة والمسطرة

نقطة خارج الدائرة

لإنشاء معكوس النقطة P ' لنقطة خارج دائرة Ø :

• ارسم القطعة المستقيمة من O (مركز الدائرة Ø ) إلى P.
• ليكن M نقطة منتصف OP . (غير موضح)
• ارسم الدائرة ج مركزها م تمر بالنقطة ب . (غير مُسمّاة. إنها الدائرة الزرقاء)
• لنفترض أن N و N ' هما النقطتان اللتان يتقاطع فيهما Ø و c .
• ارسم القطعة المستقيمة NN ' .
• النقطة P هي نقطة تقاطع OP و NN .

نقطة داخل الدائرة

لإنشاء معكوس النقطة P ' داخل الدائرة Ø :

• ارسم الشعاع r من O (مركز الدائرة Ø ) مروراً بـ P ' . (غير مُسمى، إنه الخط الأفقي)
• ارسم الخط s المار بالنقطة P ' عموديًا على الخط r . (غير مُسمى. إنه الخط العمودي)
• ليكن N إحدى النقاط التي يتقاطع عندها Ø و s .
• ارسم القطعة المستقيمة ON .
• ارسم خطًا يمر عبر النقطة N ويكون عموديًا على النقطة ON .
• النقطة P هي نقطة تقاطع الشعاع r والخط t .

يوجد بناء للنقطة العكسية لـ A بالنسبة للدائرة Ø وهو مستقل عما إذا كانت A داخل أو خارج Ø . ^{[ 4 ]}

لنفترض دائرة Ø مركزها O ونقطة A التي قد تقع داخل الدائرة Ø أو خارجها .

• خذ نقطة التقاطع C للشعاع OA مع الدائرة Ø .
• قم بتوصيل النقطة C بنقطة اختيارية B على الدائرة Ø (مختلفة عن C ومن النقطة المقابلة لـ C على Ø ).
• ليكن h انعكاس الشعاع BA على الخط BC . عندئذٍ يقطع h الشعاع OC في النقطة A ' . النقطة A ' هي النقطة المقابلة للنقطة A بالنسبة للدائرة Ø . ^{[ 4 ] : ​​§ 3.2}

• 
  إن معكوس الدائرة الحمراء، بالنسبة للدائرة التي تمر عبر النقطة O (الزرقاء)، هو خط لا يمر عبر النقطة O (الخضراء)، والعكس صحيح.
• 
  إن معكوس الدائرة الحمراء، بالنسبة للدائرة التي لا تمر عبر النقطة O (الزرقاء)، هو دائرة لا تمر عبر النقطة O (الخضراء)، والعكس صحيح.
• 
  لا يؤدي الانعكاس بالنسبة للدائرة إلى تحويل مركز الدائرة إلى مركز صورتها

معكوس مجموعة من النقاط في المستوى بالنسبة لدائرة هو مجموعة معكوسات هذه النقاط. الخصائص التالية تجعل عملية عكس الدائرة مفيدة.

• الدائرة التي تمر بمركز الدائرة المرجعية O تنعكس إلى خط لا يمر بـ O ، ولكنه موازٍ للمماس للدائرة الأصلية عند O ، والعكس صحيح؛ بينما الخط الذي يمر بـ O ينعكس على نفسه (ولكنه ليس ثابتًا عند النقطة). ^{[ 5 ]}
• الدائرة التي لا تمر بالنقطة O تنعكس إلى دائرة أخرى لا تمر بالنقطة O. إذا التقت الدائرة بالدائرة المرجعية، فإن نقاط التقاطع الثابتة هذه تقع أيضًا على الدائرة المعكوسة. الدائرة (أو الخط) لا تتغير بالانعكاس إذا وفقط إذا كانت متعامدة مع الدائرة المرجعية عند نقاط التقاطع. ^{[ 5 ]}

تشمل الخصائص الإضافية ما يلي:

• إذا مرت دائرة q عبر نقطتين متميزتين A و A' وهما معكوسان بالنسبة لدائرة k ، فإن الدائرتين k و q متعامدتان.
• إذا كانت الدائرتان k و q متعامدتين، فإن الخط المستقيم الذي يمر عبر المركز O للدائرة k ويتقاطع مع الدائرة q ، يفعل ذلك عند نقاط معكوسة بالنسبة للدائرة k .
• بفرض وجود مثلث OAB حيث O هو مركز الدائرة k ، والنقطتين A' وB' هما معكوسا A وB بالنسبة إلى k ، فإن

${\displaystyle \angle OAB=\angle OB'A'\ {\text{ و }}\ \angle OBA=\angle OA'B'.}$

• نقاط تقاطع دائرتين p و q متعامدتين مع دائرة k ، هي معكوسات بالنسبة إلى k .
• إذا كانت M و M' نقطتين معكوستين بالنسبة لدائرة k على منحنيين m و m'، وهما أيضًا معكوسان بالنسبة لـ k ، فإن المماسات لـ m و m' عند النقطتين M و M' إما أن تكون عمودية على الخط المستقيم MM' أو تشكل مع هذا الخط مثلثًا متساوي الساقين قاعدته MM'.
• لا يؤثر الانعكاس على قياس الزوايا، ولكنه يعكس اتجاه الزوايا الموجهة. ^{[ 6 ]}

• انعكاس الخط هو دائرة تحتوي على مركز الانعكاس؛ أو هو الخط نفسه إذا كان يحتوي على المركز
• انعكاس الدائرة هو دائرة أخرى؛ أو هو خط مستقيم إذا كانت الدائرة الأصلية تحتوي على المركز
• انعكاس القطع المكافئ هو شكل قلبي
• انعكاس القطع الزائد هو منحنى برنولي

بالنسبة لدائرة لا تمر بمركز الانعكاس، يكون مركز الدائرة المقلوبة ومركز صورتها بعد الانعكاس على استقامة واحدة مع مركز الدائرة الأصلية. يمكن استخدام هذه الحقيقة لإثبات أن خط أويلر للمثلث الملامس للمثلث يتطابق مع خط أويلر الخاص به. ويمكن تلخيص البرهان كما يلي:

انقلب بالنسبة للدائرة الداخلية للمثلث ABC . يُقلب المثلث المتوسط ​​للمثلث المتصل إلى المثلث ABC ، مما يعني أن مركز الدائرة المحيطة بالمثلث المتوسط، أي مركز النقاط التسع للمثلث المتصل، ومركز الدائرة الداخلية ومركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC يقعان على استقامة واحدة .

يمكن عكس أي دائرتين غير متقاطعتين إلى دائرتين متحدتي المركز . عندئذٍ ، تُعرَّف المسافة العكسية (التي يُرمز لها عادةً بـ δ) بأنها اللوغاريتم الطبيعي لنسبة نصف قطري الدائرتين المتحدتي المركز.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن عكس أي دائرتين غير متقاطعتين إلى دائرتين متطابقتين ، باستخدام دائرة الانعكاس المتمركزة عند نقطة على دائرة التماثل العكسي .

تُعدّ آلية بوسيليه-ليبكين تطبيقًا ميكانيكيًا للانعكاس في دائرة. وهي توفر حلاً دقيقًا للمشكلة المهمة المتمثلة في التحويل بين الحركة الخطية والدائرية.

القطب والقطبي

إذا كانت النقطة R هي معكوس النقطة P فإن الخطوط العمودية على الخط PR التي تمر بإحدى النقطتين هي القطبية للنقطة الأخرى ( القطب ).

تتمتع الأقطاب والمذبذبات بعدة خصائص مفيدة:

• إذا كانت النقطة P تقع على خط l ، فإن القطب L للخط l يقع على القطب p للنقطة P.
• إذا تحركت نقطة P على طول خط l ، فإن قطبها p يدور حول قطب الخط l L.
• إذا أمكن رسم خطين مماسين من قطب إلى الدائرة، فإن مسارها القطبي يمر عبر نقطتي التماس.
• إذا كانت نقطة ما تقع على الدائرة، فإن قطبها هو المماس المار بهذه النقطة.
• إذا كانت النقطة P تقع على خطها القطبي الخاص، فإن P تقع على الدائرة.
• يحتوي كل خط على قطب واحد فقط.

عادةً ما يقوم الإسقاط المجسم بإسقاط كرة من نقطة ${\displaystyle N}$(القطب الشمالي) للكرة على المستوى المماس عند النقطة المقابلة${\displaystyle S}$(القطب الجنوبي). يمكن إجراء هذا التحويل عن طريق عكس الكرة على مستواها المماس. إذا كانت الكرة (المراد إسقاطها) لها المعادلة التالية${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=-z}$(أو بصيغة أخرى)${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z+{\tfrac {1}{2}})^{2}={\tfrac {1}{4}}}$؛ مركز${\displaystyle (0,0,-0.5)}$، نصف القطر${\displaystyle 0.5}$(باللون الأخضر في الصورة)، ثم سيتم تحويلها بواسطة الانعكاس عند كرة الوحدة (باللون الأحمر) إلى المستوى المماسي عند النقطة${\displaystyle S=(0,0,-1)}$الخطوط المارة بمركز الانعكاس (نقطة)${\displaystyle N}$يتم إسقاطها على نفسها. وهي خطوط الإسقاط الخاصة بالإسقاط المجسم.

إحداثيات الكرة السداسية هي نظام إحداثيات للفضاء ثلاثي الأبعاد يتم الحصول عليه عن طريق عكس الإحداثيات الديكارتية .

ينتج عن الجمع بين انعكاسين في دوائر متحدة المركز تشابه أو تحويل متماثل أو تمدد يتميز بنسبة أنصاف أقطار الدائرة.

${\displaystyle x\mapsto R^{2}{\frac {x}{|x|^{2}}}=y\mapsto T^{2}{\frac {y}{|y|^{2}}}=\left({\frac {T}{R}}\right)^{2}x.}$

عندما يتم تفسير نقطة في المستوى على أنها عدد مركب${\displaystyle z=x+iy,}$مع المرافق المعقد${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy,}$إذن ، مقلوب z هو

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.}$

وبالتالي، فإن الشكل الجبري للانعكاس في دائرة الوحدة يُعطى بواسطة${\displaystyle z\mapsto w}$أين:

${\displaystyle w={\frac {1}{\bar {z}}}={\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}}$.

يُعدّ التبادل عنصرًا أساسيًا في نظرية التحويلات باعتباره مولدًا لمجموعة موبيوس . أما المولدات الأخرى فهي الإزاحة والدوران، وكلاهما معروف من خلال العمليات الفيزيائية في الفضاء ثلاثي الأبعاد المحيط. إن إدخال التبادل (الذي يعتمد على انعكاس الدائرة) هو ما يُنتج الطبيعة الخاصة لهندسة موبيوس، والتي تُعرّف أحيانًا بالهندسة الانعكاسية (للمستوى الإقليدي). مع ذلك، تُعدّ الهندسة الانعكاسية مجالًا أوسع للدراسة لأنها تشمل الانعكاس الأساسي في دائرة (الذي لم يُحوّل بعد، بالاقتران، إلى تبادل). كما تشمل الهندسة الانعكاسية أيضًا تطبيق الاقتران . لا ينتمي كل من الاقتران والانعكاس في دائرة إلى مجموعة موبيوس لأنهما غير متطابقين (انظر أدناه). عناصر مجموعة موبيوس هي دوال تحليلية للمستوى بأكمله، وبالتالي فهي بالضرورة متطابقة .

لنفترض، في المستوى المركب، دائرة نصف قطرها${\displaystyle r}$حول النقطة${\displaystyle a}$

${\displaystyle (za)(za)^{*}=r^{2}}$

حيث دون الإخلال بعمومية الموضوع،${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$باستخدام تعريف الانعكاس

${\displaystyle w={\frac {1}{z^{*}}}}$

من السهل إثبات ذلك${\displaystyle w}$يلتزم بالمعادلة

${\displaystyle ww^{*}-{\frac {a}{(a^{2}-r^{2})}}(w+w^{*})+{\frac {a^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}}$

وبالتالي فإن${\displaystyle w}$يصف دائرة المركز${\textstyle {\frac {a}{a^{2}-r^{2}}}}$ونصف القطر${\textstyle {\frac {r}{|a^{2}-r^{2}|}}.}$

متى${\displaystyle a\to r,}$تتحول الدائرة إلى خط موازٍ للمحور التخيلي${\displaystyle w+w^{*}={\tfrac {1}{a}}.}$

ل${\displaystyle a\not \in \mathbb {R} }$و${\displaystyle aa^{*}\neq r^{2}}$النتيجة لـ${\displaystyle w}$يكون

${\displaystyle {\begin{aligned}&ww^{*}-{\frac {aw+a^{*}w^{*}}{(a^{*}a-r^{2})}}+{\frac {aa^{*}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\left(w-{\frac {a^{*}}{aa^{*}-r^{2}}}\right)\left(w^{*}-{\frac {a}{a^{*}a-r^{2}}}\right)=\left({\frac {r}{\left|aa^{*}-r^{2}\right|}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

مما يدل على أن${\displaystyle w}$يصف دائرة المركز${\textstyle {\frac {a^{*}}{(aa^{*}-r^{2})}}}$ونصف القطر${\textstyle {\frac {r}{\left|a^{*}a-r^{2}\right|}}}$.

متى${\displaystyle a^{*}a\to r^{2},}$معادلة لـ${\displaystyle w}$يصبح

${\displaystyle {\begin{aligned}&aw+a^{*}w^{*}=1\Longleftrightarrow 2\operatorname {Re} \{aw\}=1\Longleftrightarrow \operatorname {Re} \{a\}\operatorname {Re} \{w\}-\operatorname {Im} \{a\}\operatorname {Im} \{w\}={\frac {1}{2}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\operatorname {Im} \{w\}={\frac {\operatorname {Re} \{a\}}{\operatorname {Im} \{a\}}}\cdot \operatorname {Re} \{w\}-{\frac {1}{2\cdot \operatorname {Im} \{a\}}}.\end{aligned}}}$

كما ذُكر سابقًا، يتطلب الصفر، وهو نقطة الأصل، عناية خاصة في عملية عكس الدائرة. وتتمثل الطريقة في إضافة نقطة عند اللانهاية، يُرمز لها بـ ∞ أو 1/0. في منهج الأعداد المركبة، حيث يكون التبادل هو العملية الظاهرة، تؤدي هذه العملية إلى الخط الإسقاطي المركب ، والذي يُسمى غالبًا كرة ريمان . وقد استُخدمت الفضاءات الجزئية والمجموعات الجزئية لهذا الفضاء ومجموعة التطبيقات لإنتاج النماذج المبكرة للهندسة الزائدية على يد بلترامي وكايلي وكلاين . وبالتالي ، تشمل الهندسة العكسية الأفكار التي وضعها لوباتشيفسكي وبولياي في هندستهما المستوية. علاوة على ذلك، انبهر فيليكس كلاين بهذه السهولة في تحديد الظواهر الهندسية من خلال التطبيقات، لدرجة أنه أصدر بيانًا، هو برنامج إرلانجن ، عام 1872. ومنذ ذلك الحين ، يُخصّص العديد من علماء الرياضيات مصطلح الهندسة للفضاء ومجموعة من تطبيقاته . وتتمثل الخصائص المهمة للأشكال في الهندسة في تلك التي تبقى ثابتة تحت تأثير هذه المجموعة.

على سبيل المثال، قام سموجورزيفسكي ^{[ 10 ]} بتطوير العديد من نظريات الهندسة العكسية قبل البدء في هندسة لوباتشيفسكي.