نظرية الجهد

في الرياضيات والفيزياء الرياضية ، تُعرف نظرية الكمون بأنها دراسة الدوال التوافقية .

يعود مصطلح "نظرية الكمون" إلى فيزياء القرن التاسع عشر عندما تم إدراك أن القوتين الأساسيتين للطبيعة المعروفتين في ذلك الوقت، وهما الجاذبية والقوة الكهروستاتيكية، يمكن نمذجتهما باستخدام وظائف تسمى الكمون الجاذبي والكمون الكهروستاتيكي ، وكلاهما يحقق معادلة بواسون - أو في الفراغ، معادلة لابلاس .

يوجد تداخل كبير بين نظرية الكمون ونظرية معادلة بواسون، لدرجة أنه يستحيل التمييز بينهما. يكمن الاختلاف في التركيز أكثر من الموضوع، ويستند إلى التمييز التالي: تركز نظرية الكمون على خصائص الدوال، بينما تركز نظرية معادلة بواسون على خصائص المعادلة نفسها. على سبيل المثال، تُعتبر نتيجة تتعلق بتفردات الدوال التوافقية من نظرية الكمون، بينما تُعتبر نتيجة تتعلق بكيفية اعتماد الحل على بيانات الحدود من نظرية معادلة بواسون. هذا ليس تمييزًا قاطعًا، وفي الواقع العملي، يوجد تداخل كبير بين المجالين، حيث تُستخدم مناهج ونتائج أحدهما في الآخر.

ترتبط نظرية الكمون الحديثة ارتباطًا وثيقًا بالاحتمالات ونظرية سلاسل ماركوف . في الحالة المستمرة، يرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا بالنظرية التحليلية. أما في حالة فضاء الحالة المحدود ، فيمكن إيجاد هذا الارتباط من خلال إنشاء شبكة كهربائية على فضاء الحالة، حيث تتناسب المقاومة الكهربائية بين النقاط عكسيًا مع احتمالات الانتقال، وتتناسب الكثافات مع الكمونات. حتى في الحالة المحدودة، يمتلك نظير لابلاس في نظرية الكمون، IK، مبدأه الخاص بالحد الأقصى، ومبدأ التفرد، ومبدأ التوازن، وغيرها.

تُعدّ دراسة تناظرات معادلة لابلاس نقطة انطلاق مفيدة ومبدأً تنظيميًا في دراسة الدوال التوافقية . ورغم أنها ليست تناظرًا بالمعنى المعتاد للكلمة، إلا أنه يمكننا البدء بملاحظة أن معادلة لابلاس خطية . وهذا يعني أن الموضوع الأساسي للدراسة في نظرية الكمون هو فضاء خطي من الدوال. وستُثبت هذه الملاحظة أهميتها البالغة عند تناولنا مناهج فضاء الدوال في قسم لاحق.

أما بالنسبة للتناظر بالمعنى المعتاد للمصطلح، فيمكننا أن نبدأ بنظرية تنص على أن تناظرات${\displaystyle n}$إن معادلات لابلاس ذات الأبعاد n هي بالضبط التناظرات المطابقة لـ${\displaystyle n}$الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n. لهذه الحقيقة عدة دلالات. أولًا، يمكن دراسة الدوال التوافقية التي تتحول تحت تمثيلات غير قابلة للاختزال للمجموعة المطابقة أو مجموعاتها الفرعية (مثل مجموعة الدوران أو الانتقال). باتباع هذه الطريقة، نحصل بشكل منهجي على حلول معادلة لابلاس الناتجة عن فصل المتغيرات، مثل الحلول التوافقية الكروية ومتسلسلات فورييه . بأخذ التراكبات الخطية لهذه الحلول، يمكن إنتاج فئات واسعة من الدوال التوافقية التي يمكن إثبات كثافتها في فضاء جميع الدوال التوافقية تحت طوبولوجيات مناسبة.

ثانيًا، يمكن للمرء استخدام التناظر المطابق لفهم الحيل والتقنيات الكلاسيكية لتوليد الدوال التوافقية مثل تحويل كلفن وطريقة الصور .

ثالثًا، يمكن استخدام التحويلات المطابقة لربط الدوال التوافقية في مجال ما بالدوال التوافقية في مجال آخر. وأكثر الأمثلة شيوعًا على هذا الربط هو ربط الدوال التوافقية على قرص بالدوال التوافقية على نصف مستوى.

رابعًا، يمكن استخدام التناظر المطابق لتوسيع الدوال التوافقية لتشمل الدوال التوافقية على مشعبات ريمانية مسطحة توافقيًا . ولعل أبسط هذه التوسعات هو اعتبار الدالة التوافقية المعرفة على كامل Rⁿ (باستثناء مجموعة منفصلة من النقاط الشاذة ⁾ كدالة توافقية على${\displaystyle n}$كرة ذات أبعاد n . قد تحدث حالات أكثر تعقيدًا أيضًا. على سبيل المثال، يمكن الحصول على نظير ذي أبعاد أعلى لنظرية سطح ريمان عن طريق التعبير عن دالة توافقية متعددة القيم كدالة أحادية القيمة على غطاء متفرع لـ R ^n، أو يمكن اعتبار الدوال التوافقية الثابتة تحت زمرة فرعية منفصلة من الزمرة المطابقة كدوال على مشعب متعدد الاتصال أو مداري .

انطلاقًا من كون مجموعة التحويلات المطابقة لا نهائية الأبعاد في بعدين، ومحدودة الأبعاد في أكثر من بعدين، يُمكن استنتاج أن نظرية الكمون في بعدين تختلف عن نظرية الكمون في الأبعاد الأخرى. وهذا صحيح، ففي الواقع، عندما يُدرك المرء أن أي دالة توافقية ثنائية الأبعاد هي الجزء الحقيقي لدالة تحليلية عقدية ، يتبين أن موضوع نظرية الكمون ثنائية الأبعاد هو نفسه موضوع التحليل العقدي. ولهذا السبب، عند الحديث عن نظرية الكمون، يُركز الاهتمام على النظريات التي تنطبق في ثلاثة أبعاد أو أكثر. وفي هذا السياق، من المثير للدهشة أن العديد من النتائج والمفاهيم التي اكتُشفت في الأصل في التحليل العقدي (مثل نظرية شوارتز ، ونظرية موريرا ، ونظرية فايرشتراس-كاسوراتي ، ومتسلسلات لوران ، وتصنيف النقاط الشاذة إلى نقاط شاذة قابلة للإزالة ، وأقطاب، ونقاط شاذة جوهرية ) تُعمم على نتائج تتعلق بالدوال التوافقية في أي بُعد. من خلال النظر في أي نظريات التحليل المركب هي حالات خاصة من نظريات نظرية الكمون في أي بُعد، يمكن للمرء أن يحصل على فكرة عن ما هو مميز بالضبط في التحليل المركب في بعدين وما هو مجرد مثال ثنائي الأبعاد لنتائج أكثر عمومية.

يُعدّ دراسة السلوك المحلي للدوال التوافقية موضوعًا هامًا في نظرية الكمون. ولعلّ أهمّ نظرية أساسية في هذا الشأن هي نظرية الانتظام لمعادلة لابلاس، التي تنصّ على أن الدوال التوافقية تحليلية. وتوجد نتائج تصف البنية المحلية لمجموعات المستوى للدوال التوافقية. كما توجد نظرية بوشيه ، التي تُحدّد سلوك النقاط الشاذة المعزولة للدوال التوافقية الموجبة. وكما ذُكر في القسم السابق، يُمكن تصنيف النقاط الشاذة المعزولة للدوال التوافقية إلى نقاط شاذة قابلة للإزالة، وأقطاب، ونقاط شاذة جوهرية.

يُعدّ النظر في المتباينات التي تحققها الدوال التوافقية منهجًا مثمرًا لدراسة هذه الدوال. ولعلّ أبسط هذه المتباينات، التي يُمكن اشتقاق معظم المتباينات الأخرى منها، هي مبدأ القيمة القصوى . ومن النتائج المهمة الأخرى نظرية ليوفيل ، التي تنصّ على أن الدوال التوافقية المحدودة الوحيدة المُعرّفة على كامل الفضاء ^Rⁿ هي في الواقع دوال ثابتة. إضافةً إلى هذه المتباينات الأساسية، توجد متباينة هارناك ، التي تنصّ على أن الدوال التوافقية الموجبة على المجالات المحدودة تكون ثابتة تقريبًا.

من أهم استخدامات هذه المتباينات إثبات تقارب عائلات الدوال التوافقية أو الدوال شبه التوافقية، انظر نظرية هارناك . تُستخدم نظريات التقارب هذه لإثبات وجود دوال توافقية ذات خصائص محددة. ^{[ 1 ]}

بما أن معادلة لابلاس خطية، فإن مجموعة الدوال التوافقية المعرفة على مجال معين هي في الواقع فضاء متجهي . ومن خلال تعريف معايير مناسبة و/أو جداءات داخلية ، يمكن عرض مجموعات من الدوال التوافقية التي تُشكل فضاءات هيلبرت أو باناخ . وبهذه الطريقة، نحصل على فضاءات مثل فضاء هاردي ، وفضاء بلوخ ، وفضاء بيرغمان ، وفضاء سوبوليف .

• الدالة التوافقية الفرعية – فئة من الدوال الرياضية 
• نظرية كيلوج

• أ. آي. بريلينكو، إ. د. سولومينتسيف (2001) [1994]، "نظرية الكمون" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• إي دي سولومينتسيف (2001) [1994]، "نظرية الكمون المجردة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• إس أكسلر ، بي بوردون، دبليو رامي (2001). نظرية الوظيفة التوافقية (الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 0-387-95218-7.
• أو. دي. كيلوج (1969). أسس نظرية الكمون . منشورات دوفر. رقم ISBN 0-486-60144-7.
• إل إل هيلمز (1975). مقدمة في نظرية الكمون . آر إي كريجر، رقم ISBN 0-88275-224-3.
• جيه إل دوب . نظرية الكمون الكلاسيكية ونظيرتها الاحتمالية ، سبرينغر-فيرلاغ، برلين هايدلبرغ نيويورك، ISBN 3-540-41206-9.
• جيمس لوري سنيل ؛ بيتر جي. دويل (2000). "المسارات العشوائية والشبكات الكهربائية". arXiv : math/0001057 .
• تتضمن هذه المقالة مواد من موقع potentialtheory على PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .