عدم المساواة عند كولموغوروف

في نظرية الاحتمالات ، تعتبر متباينة كولموغوروف ما يسمى " المتباينة القصوى " التي تعطي حدًا لاحتمالية أن تتجاوز المجاميع الجزئية لمجموعة محدودة من المتغيرات العشوائية المستقلة حدًا معينًا.

لتكن X1 _، ...، Xn : Ω → R متغيرات عشوائية مستقلة معرفة على فضاء احتمالي مشترك (Ω، F ، Pr)، بقيمة متوقعة E[ Xk ] = 0 وتباين Var[ _Xk ] < + _∞ لـ k = 1، ...، _n . عندئذٍ، لكل λ > 0 ،              

$\displaystyle \Pr \left(\max _{1\leq k\leq n}|S_{k}|\geq \lambda \right)\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\operatorname {Var} [S_{n}]\equiv {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Var} [X_{k}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\text{E}}[X_{k}^{2}],}$

حيث S _k  = X ₁ + ... + X _k .     

تكمن فائدة هذه النتيجة في أنه يمكننا تحديد أسوأ انحراف للمسار العشوائي في أي وقت باستخدام قيمته في نهاية الفترة الزمنية.

تستخدم الحجة التالية المارتينجالات المنفصلة . وكما ورد في مناقشة متباينة مارتينجال دوب ، فإن المتتالية${\displaystyle S_{1},S_{2},\dots ,S_{n}}$هو مارتينجال. عرّف${\displaystyle (Z_{i})_{i=0}^{n}}$كما يلي. ليكن${\displaystyle Z_{0}=0}$، و

${\displaystyle Z_{i+1}=\left\{{\begin{array}{ll}S_{i+1}&{\text{ إذا }}\displaystyle \max _{1\leq j\leq i}|S_{j}|<\lambda \\Z_{i}&{\text{ خلاف ذلك}}\end{array}}\right.}$

للجميع${\displaystyle i}$. ثم${\displaystyle (Z_{i})_{i=0}^{n}}$وهو أيضاً نوع من أنواع المارتينجال.

لأي مارتينجال${\displaystyle M_{i}}$مع${\displaystyle M_{0}=0}$لدينا ذلك

$\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[(M_{i}-M_{i-1})^{2}]&=\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[M_{i}^{2}-2M_{i}M_{i-1}+M_{i-1}^{2}]\\&=\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}\left[M_{i}^{2}-2(M_{i-1}+M_{i}-M_{i-1})M_{i-1}+M_{i-1}^{2}\right]\\&=\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}\left[M_{i}^{2}-M_{i-1}^{2}\right]-2{\text{E}}\left[M_{i-1}(M_{i}-M_{i-1})\right]\\&={\text{E}}[M_{n}^{2}]-{\text{E}}[M_{0}^{2}]={\text{E}}[M_{n}^{2}].\end{aligned}}}$

بتطبيق هذه النتيجة على المارتينجال${\displaystyle (S_{i})_{i=0}^{n}}$لدينا

$\begin{aligned}{\text{Pr}}\left(\max _{1\leq i\leq n}|S_{i}|\geq \lambda \right)&={\text{Pr}}[|Z_{n}|\geq \lambda ]\\&\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\text{E}}[Z_{n}^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[(Z_{i}-Z_{i-1})^{2}]\\&\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[(S_{i}-S_{i-1})^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\text{E}}[S_{n}^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\text{Var}}[S_{n}]\end{aligned}}}$

حيث تتبع المتباينة الأولى متباينة تشيبيشيف .

وقد تم تعميم هذا التفاوت من قبل هاجيك وريني في عام 1955.

• عدم المساواة عند تشيبيشيف
• عدم المساواة في اعتمادي
• عدم المساواة لانداو-كولموغوروف
• متباينة ماركوف
• متباينات برنشتاين (نظرية الاحتمالات)

• بيلينغسلي، باتريك (1995). الاحتمال والقياس . نيويورك: جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-00710-2.(النظرية 22.4)
• فيلر، ويليام (1968) [1950]. مقدمة في نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها، المجلد 1 (  الطبعة الثالثة). نيويورك: جون وايلي وأولاده، 509 صفحة + 18 صفحة تمهيدية. ISBN 0-471-25708-7.
• كاهان، جان بيير (1985) [1968]. بعض السلاسل العشوائية من الدوال (  الطبعة الثانية). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص  29-30.

تتضمن هذه المقالة مواد من متباينة كولموغوروف على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .