متغير عشوائي

في كثير من الحالات،${\displaystyle X}$ذات قيمة حقيقية ، أي${\displaystyle E=\mathbb {R} }$في بعض السياقات، يُستخدم مصطلح العنصر العشوائي (انظر الامتدادات ) للدلالة على متغير عشوائي ليس من هذا الشكل.

عندما تكون الصورة (أو النطاق)${\displaystyle X}$إذا كانت المتغير العشوائي محدودًا أو لانهائيًا قابلًا للعد، يُطلق عليه اسم متغير عشوائي منفصل ^{[ 5 ] : 399} ، ويكون توزيعه توزيعًا احتماليًا منفصلًا ، أي يمكن وصفه بدالة كتلة احتمالية تُسند احتمالًا لكل قيمة في صورة المتغير العشوائي.${\displaystyle X}$إذا كانت الصورة لانهائية غير قابلة للعد (عادةً ما تكون فترة زمنية ) ،${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم المتغير العشوائي المستمر . ^{[ 6 ] [ 7 ]} في الحالة الخاصة التي يكون فيها مستمرًا تمامًا ، يمكن وصف توزيعه بدالة كثافة احتمالية ، والتي تُخصص احتمالات للفترات؛ على وجه الخصوص، يجب أن يكون لكل نقطة فردية احتمال صفر بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر تمامًا. ليست كل المتغيرات العشوائية المستمرة مستمرة تمامًا. ^{[ 8 ]}

يمكن وصف أي متغير عشوائي بواسطة دالة التوزيع التراكمي الخاصة به ، والتي تصف احتمال أن يكون المتغير العشوائي أقل من أو يساوي قيمة معينة.

يقتصر مصطلح "المتغير العشوائي" في الإحصاء تقليديًا على الحالة ذات القيم الحقيقية ( ⁠${\displaystyle E=\mathbb {R} }$) . في هذه الحالة، فإن بنية الأعداد الحقيقية تجعل من الممكن تحديد كميات مثل القيمة المتوقعة والتباينلمتغير عشوائي، ودالة التوزيع التراكمي الخاصة به ، ولحظات توزيعه .

ومع ذلك، فإن التعريف أعلاه صالح لأي مساحة قابلة للقياس${\displaystyle E}$من القيم. وبالتالي يمكن للمرء أن يأخذ في الاعتبار عناصر عشوائية من مجموعات أخرى.${\displaystyle E}$مثل القيم المنطقية العشوائية ، والقيم الفئوية ، والأعداد المركبة ، والمتجهات ، والمصفوفات ، والمتتاليات ، والأشجار ، والمجموعات ، والأشكال ، والمتشعبات ، والدوال . ويمكن للمرء حينها أن يشير تحديدًا إلى متغير عشوائي من النوع${\displaystyle E}$أو${\displaystyle E}$متغير عشوائي ذو قيم n .

يُعدّ هذا المفهوم الأكثر عمومية للعنصر العشوائي مفيدًا بشكل خاص في تخصصات مثل نظرية الرسوم البيانية ، والتعلم الآلي ، ومعالجة اللغات الطبيعية ، وغيرها من مجالات الرياضيات المتقطعة وعلوم الحاسوب ، حيث يهتم المرء غالبًا بنمذجة التباين العشوائي لهياكل البيانات غير العددية . ومع ذلك، في بعض الحالات، يكون من الملائم تمثيل كل عنصر من عناصر${\displaystyle E}$باستخدام عدد حقيقي واحد أو أكثر. في هذه الحالة، يمكن تمثيل عنصر عشوائي اختياريًا كمتجه من المتغيرات العشوائية ذات القيم الحقيقية (جميعها معرفة على نفس فضاء الاحتمال الأساسي).$أوميغا$مما يسمح للمتغيرات العشوائية المختلفة بالتغير المشترك ). على سبيل المثال:

• يمكن تمثيل كلمة عشوائية بعدد صحيح عشوائي يعمل كمؤشر في مفردات الكلمات الممكنة. أو يمكن تمثيلها كمتجه مؤشر عشوائي، طوله يساوي حجم المفردات، حيث تكون القيم الوحيدة ذات الاحتمالية الموجبة هي${\displaystyle (1\ 0\ 0\ 0\ \cdots )}$،${\displaystyle (0\ 1\ 0\ 0\ \cdots )}$،${\displaystyle (0\ 0\ 1\ 0\ \cdots )}$وموقع الرقم 1 يشير إلى الكلمة.
• جملة عشوائية ذات طول محدد${\displaystyle N}$يمكن تمثيلها كمتجه من${\displaystyle N}$كلمات عشوائية.
• رسم بياني عشوائي على${\displaystyle N}$يمكن تمثيل الرؤوس المعطاة على النحو التالي:${\displaystyle N\times N}$مصفوفة من المتغيرات العشوائية، التي تحدد قيمها مصفوفة التجاور للرسم البياني العشوائي.
• دالة عشوائية${\displaystyle F}$يمكن تمثيلها كمجموعة من المتغيرات العشوائية${\displaystyle F(x)}$، مما يعطي قيم الدالة عند النقاط المختلفة${\displaystyle x}$في نطاق الدالة.${\displaystyle F(x)}$المتغيرات العشوائية هي متغيرات حقيقية عادية بشرط أن تكون الدالة حقيقية. على سبيل المثال، العملية العشوائية هي دالة عشوائية للزمن، والمتجه العشوائي هو دالة عشوائية لمجموعة مؤشرات معينة مثل${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$والحقل العشوائي هو دالة عشوائية على أي مجموعة (عادةً ما تكون مجموعة زمنية أو مكانية أو مجموعة منفصلة).

لنفترض تجربة يتم فيها اختيار شخص عشوائيًا. مثال على متغير عشوائي هو طول الشخص. رياضيًا، يُفسَّر المتغير العشوائي كدالة تربط الشخص بطوله. ويرتبط بهذا المتغير العشوائي توزيع احتمالي يسمح بحساب احتمال أن يكون الطول ضمن أي مجموعة فرعية من القيم الممكنة، مثل احتمال أن يكون الطول بين 180 و190  سم، أو احتمال أن يكون الطول أقل من 150 سم أو أكثر من 200  سم.

قد يكون عدد أطفال الشخص متغيرًا عشوائيًا آخر؛ وهو متغير عشوائي منفصل ذو قيم صحيحة غير سالبة. يسمح هذا المتغير بحساب احتمالات القيم الصحيحة الفردية - دالة الكتلة الاحتمالية (PMF) - أو لمجموعات من القيم، بما في ذلك المجموعات غير المنتهية. على سبيل المثال، قد يكون الحدث محل الاهتمام هو "عدد زوجي من الأطفال". بالنسبة لمجموعات الأحداث المنتهية وغير المنتهية، يمكن إيجاد احتمالاتها عن طريق جمع دوال الكتلة الاحتمالية للعناصر؛ أي أن احتمال عدد زوجي من الأطفال هو المجموع غير المنتهي .${\displaystyle \operatorname {PMF} (0)+\operatorname {PMF} (2)+\operatorname {PMF} (4)+\cdots }$⁠ .

في أمثلة كهذه، غالبًا ما يتم تجاهل فضاء العينة لصعوبة وصفه رياضيًا، وتُعامل القيم المحتملة للمتغيرات العشوائية على أنها فضاء عينة. ولكن عند قياس متغيرين عشوائيين على نفس فضاء عينة النتائج، كحساب طول وعدد أطفال نفس الشخص عشوائيًا، يصبح من الأسهل تتبع علاقتهما إذا تم الأخذ في الاعتبار أن كلًا من الطول وعدد الأطفال مأخوذان من نفس الشخص، ما يسمح بطرح أسئلة حول ما إذا كان هذان المتغيران العشوائيان مرتبطين أم لا.

لو${\textstyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}$هي مجموعات قابلة للعد من الأعداد الحقيقية،${\textstyle b_{n}>0}$و​${\displaystyle \textstyle \sum _{n}b_{n}=1}$ثم​${\textstyle F=\sum _{n}b_{n}\delta _{a_{n}}(x)}$هي دالة توزيع منفصلة. هنا${\displaystyle \delta _{t}(x)=0}$لـ​${\displaystyle x<t}$،​​${\displaystyle \delta _{t}(x)=1}$لـ​​${\displaystyle x\geq t}$على سبيل المثال ، لنأخذ تعداد جميع الأعداد النسبية كـ${\displaystyle \{a_{n}\}}$، يحصل المرء على دالة منفصلة ليست بالضرورة دالة خطوة ( ثابتة جزئياً ).

رمية النرد

يمكن أيضًا استخدام متغير عشوائي لوصف عملية رمي النرد والنتائج المحتملة. أبسط تمثيل لحالة النردين هو اختيار مجموعة أزواج الأرقام n1 و n2 من _{المجموعة { 1} ، 2، 3، 4، 5، 6} (التي تمثل الأرقام الظاهرة على النردين) كفضاء عينة. يكون المجموع الكلي للأرقام الظاهرة (مجموع الأرقام في كل زوج) متغيرًا عشوائيًا X يُعطى بالدالة التي تربط الزوج بالمجموع. $${\displaystyle X((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}}$$ وإذا كانت النردات عادلة ، فإن دالة الكتلة الاحتمالية f _X معطاة بالصيغة التالية: $${\displaystyle f_{X}(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{ for }}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}}$$

بصورة رسمية، المتغير العشوائي المستمر هو متغير عشوائي تكون دالة توزيعه التراكمي مستمرة في كل مكان. ^{[ 10 ]} لا توجد " فجوات "، والتي قد تُقابل أرقامًا ذات احتمالية حدوث محدودة. بدلًا من ذلك، نادرًا ما تأخذ المتغيرات العشوائية المستمرة قيمة محددة c (بصورة رسمية،${\textstyle \forall c\in \mathbb {R}$ :(Pr(X=c)=0} ) ولكن هناك احتمال موجب أن تقع قيمته في فترات محددة قد تكون صغيرة بشكل تعسفي . عادةً ما تقبل المتغيرات العشوائية المستمرة دوال كثافة احتمالية (PDF)، والتي تميز دالة التوزيع التراكمي (CDF) ومقاييس الاحتمال ؛ وتسمى هذه التوزيعات أيضًا بالتوزيعات المستمرة المطلقة ؛ ولكن بعض التوزيعات المستمرة تكون شاذة ، أو مزيجًا من جزء مستمر مطلق وجزء شاذ.

مثال على متغير عشوائي متصل هو مؤشر دوار يختار اتجاهًا أفقيًا. في هذه الحالة، تمثل القيم التي يأخذها المتغير العشوائي الاتجاهات. يمكننا تمثيل هذه الاتجاهات بالشمال، والغرب، والشرق، والجنوب، والجنوب الشرقي، وما إلى ذلك. مع ذلك، من الأسهل عادةً تمثيل فضاء العينة بمتغير عشوائي يأخذ قيمًا حقيقية. يمكن القيام بذلك، على سبيل المثال، بربط كل اتجاه بزاوية اتجاه عقارب الساعة من الشمال. يأخذ المتغير العشوائي حينها قيمًا حقيقية من الفترة [0، 360]، حيث تكون جميع أجزاء هذه الفترة متساوية الاحتمال. في هذه الحالة، X = الزاوية التي تم اختيارها. أي عدد حقيقي احتمال اختياره يساوي صفرًا، ولكن يمكن إسناد احتمال موجب لأي نطاق من القيم. على سبيل المثال، احتمال اختيار عدد في الفترة [0، 180] هو 1/2 . بدلًا من الحديث عن دالة كتلة احتمالية، نقول إن كثافة احتمال X هي 1/360. يمكن حساب احتمال مجموعة جزئية من [0،  360] بضرب قياس المجموعة في 1/360. وبشكل عام، يمكن حساب احتمال مجموعة لمتغير عشوائي مستمر معين بتكامل دالة الكثافة على المجموعة المعطاة.

بصورة أكثر رسمية، بالنظر إلى أي فترة زمنية${\textstyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}}$، متغير عشوائي${\displaystyle X_{I}\sim \operatorname {U} (I)=\operatorname {U} [a,b]}$يُطلق على المتغير العشوائي اسم " متغير عشوائي منتظم مستمر " (CURV) إذا كان احتمال أن يأخذ قيمة في فترة فرعية يعتمد فقط على طول تلك الفترة الفرعية. وهذا يعني أن احتمال${\displaystyle X_{I}}$تقع في أي فترة فرعية${\displaystyle [c,d]\subseteq [a,b]}$يتناسب مع طول الفترة الجزئية، أي إذا كان a ≤ c ≤ d ≤ b ، فإن $${\displaystyle \Pr \left(X_{I}\in [c,d]\right)={\frac {d-c}{b-a}}}$$ حيث تنتج المساواة الأخيرة من بديهية الوحدة في الاحتمالات. دالة كثافة الاحتمال لمتغير منحني غير متماثل.${\displaystyle X\sim \operatorname {U} [a,b]}$يتم تحديدها بواسطة دالة المؤشر لفترة دعمها مقسومة على طول الفترة:$${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\displaystyle {1 \over b-a},&a\leq x\leq b\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$ومن الأمور ذات الأهمية الخاصة التوزيع المنتظم على الفترة [1].${\displaystyle [0,1]}$عينات من أي توزيع احتمالي مرغوب فيه${\displaystyle \operatorname {D} }$يمكن توليدها عن طريق حساب دالة الكمية لـ${\displaystyle \operatorname {D} }$يعتمد هذا على عدد مُولّد عشوائيًا وموزع توزيعًا منتظمًا على الفترة [0، 1]. ويستغل هذا خصائص دوال التوزيع التراكمي ، التي تُشكّل إطارًا موحدًا لجميع المتغيرات العشوائية.

المتغير العشوائي المختلط هو متغير عشوائي لا تكون دالة توزيعه التراكمي منفصلة ولا متصلة في كل مكان . ^{[ 10 ]} ويمكن تمثيله كمزيج من متغير عشوائي منفصل ومتغير عشوائي متصل؛ وفي هذه الحالة، تكون دالة التوزيع التراكمي هي المتوسط ​​المرجح لدوال التوزيع التراكمي للمتغيرات المكونة. ^{[ 10 ]}

مثال على متغير عشوائي من النوع المختلط هو تجربة يتم فيها رمي قطعة نقدية، ويُدار المؤشر فقط إذا كانت نتيجة الرمية صورة. إذا كانت النتيجة كتابة، فإن X = -1؛ وإلا فإن X هي قيمة المؤشر كما في المثال السابق. هناك احتمال بنسبة 1/2 أن تكون قيمة هذا المتغير العشوائي -1. أما نطاقات القيم الأخرى فلها نصف احتمالات المثال السابق .

بشكل عام، كل توزيع احتمالي على خط الأعداد الحقيقية هو مزيج من جزء منفصل، وجزء شاذ، وجزء متصل تمامًا؛ انظر نظرية تفكيك لوبيغ §  التحسين . يتركز الجزء المنفصل على مجموعة قابلة للعد، ولكن هذه المجموعة قد تكون كثيفة (مثل مجموعة جميع الأعداد النسبية).

في هذه الحالة، تكون مساحة الملاحظة هي مجموعة الأعداد الحقيقية. تذكر، ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$هو فضاء الاحتمالات. بالنسبة لفضاء الملاحظة الحقيقي، فإن الدالة${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$يكون متغيرًا عشوائيًا ذا قيمة حقيقية إذا

${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}\in {\mathcal {F}}\qquad \forall r\in \mathbb {R} .}$

هذا التعريف هو حالة خاصة من التعريف السابق لأن المجموعة${\displaystyle \{(-\infty ,r]:r\in \mathbb {R} \}}$يُولّد هذا جبر بوريل سيجما على مجموعة الأعداد الحقيقية، ويكفي التحقق من قابلية القياس على أي مجموعة مولدة. هنا يمكننا إثبات قابلية القياس على هذه المجموعة المولدة باستخدام حقيقة أن${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}=X^{-1}((-\infty ,r])}$⁠ .

يترك${\displaystyle X}$ليكن متغيرًا عشوائيًا حقيقيًا ومتصلًا، وليكن ⁠${\displaystyle Y=X^{2}}$⁠ .

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).}$

إذا​${\displaystyle y<0}$ثم​​${\displaystyle P(X^{2}\leq y)=0}$لذلك​

${\displaystyle F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.}$

إذا​${\displaystyle y\geq 0}$ثم​

${\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),}$

لذا

${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{if}}\quad y\geq 0.}$

يفترض${\displaystyle X}$هو متغير عشوائي ذو توزيع تراكمي

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\theta }}}}$

أين${\displaystyle \theta >0}$هو مُعامل ثابت. لنفترض المتغير العشوائي${\displaystyle Y=\mathrm {log} (1+e^{-X}).}$ثم،

${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(\mathrm {log} (1+e^{-X})\leq y)=P(X\geq -\mathrm {log} (e^{y}-1)).\,}$

يمكن حساب التعبير الأخير بدلالة التوزيع التراكمي لـ${\displaystyle X}$لذلك​

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=1-F_{X}(-\log(e^{y}-1))\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{\log(e^{y}-1)})^{\theta }}}\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{y}-1)^{\theta }}}\\[5pt]&=1-e^{-y\theta },\end{aligned}}}$

وهي دالة التوزيع التراكمي (CDF) للتوزيع الأسي .

يفترض${\displaystyle X}$هو متغير عشوائي ذو توزيع طبيعي معياري ، وكثافته هي

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$

لنفترض المتغير العشوائي ⁠${\displaystyle Y=X^{2}}$يمكننا إيجاد الكثافة باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه لتغيير المتغيرات :

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

في هذه الحالة، لا يكون التغيير رتيبًا ، لأن كل قيمة من${\displaystyle Y}$له قيمتان متناظرتان لـ${\displaystyle X}$(أحدهما موجب والآخر سالب). ومع ذلك، وبسبب التناظر، سيتحول كلا النصفين بشكل متطابق، أي

${\displaystyle f_{Y}(y)=2f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

التحويل العكسي هو

${\displaystyle x=g^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$

ومشتقاته هي

${\displaystyle {\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

ثم،

${\displaystyle f_{Y}(y)=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y/2}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}.}$

هذا توزيع كاي تربيع بدرجة حرية واحدة .

يفترض${\displaystyle X}$هو متغير عشوائي ذو توزيع طبيعي ، وكثافته هي

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$

ضع في اعتبارك المتغير العشوائي${\displaystyle Y=X^{2}.}$يمكننا إيجاد الكثافة باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه لتغيير المتغيرات:

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

في هذه الحالة، لا يكون التغيير رتيبًا ، لأن كل قيمة من${\displaystyle Y}$له قيمتان متناظرتان لـ${\displaystyle X}$(أحدهما موجب والآخر سالب). على عكس المثال السابق، في هذه الحالة لا يوجد تناظر، وعلينا حساب الحدين المختلفين:

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(g_{1}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{1}^{-1}(y)}{dy}}\right|+f_{X}(g_{2}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{2}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

التحويل العكسي هو

${\displaystyle x=g_{1,2}^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}}$

ومشتقاته هي

${\displaystyle {\frac {dg_{1,2}^{-1}(y)}{dy}}=\pm {\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

ثم،

${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}(e^{-({\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}+e^{-(-{\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}).}$

هذا توزيع كاي تربيع غير مركزي بدرجة حرية واحدة .

إذا كانت فضاء العينة مجموعة جزئية من خط الأعداد الحقيقية، فإن المتغيرين العشوائيين X و Y متساويان في التوزيع (يرمز لهما بـ ⁠${\displaystyle X~{\stackrel {d}{=}}~Y}$) إذا كانت لديهم نفس دوال التوزيع:

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x)\quad {\text{for all }}x.}$

لكي تتساوى المتغيرات العشوائية في التوزيع، لا يشترط تعريفها على نفس فضاء الاحتمال. فالمتغيران العشوائيان اللذان لهما نفس دالة توليد العزوم لهما نفس التوزيع. وهذا يوفر، على سبيل المثال، طريقة مفيدة للتحقق من تساوي بعض الدوال للمتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع . مع ذلك، فإن دالة توليد العزوم لا توجد إلا للتوزيعات التي لها تحويل لابلاس مُعرَّف .

المتغيران العشوائيان X و Y متساويان تقريبًا بشكل مؤكد ( يرمز لهما بـ${\displaystyle X\;{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\;Y}$) إذا، وفقط إذا، كان احتمال اختلافهما يساوي صفرًا :

${\displaystyle \operatorname {P} (X\neq Y)=0.}$

في جميع التطبيقات العملية في نظرية الاحتمالات، يُعد مفهوم التكافؤ هذا قويًا كالمساواة الفعلية. ويرتبط بالمسافة التالية:

${\displaystyle d_{\infty }(X,Y)=\operatorname {ess} \sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,}$

حيث يمثل "ess sup" الحد الأعلى الأساسي بمعنى نظرية القياس .

وأخيرًا، يكون المتغيران العشوائيان X و Y متساويين إذا كانا متساويين كدوال على فضاءهما القابل للقياس:

${\displaystyle X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{for all }}\omega .}$

عادة ما تكون هذه الفكرة هي الأقل فائدة في نظرية الاحتمالات لأنه في الممارسة العملية وفي النظرية، نادراً ما يتم تحديد مساحة القياس الأساسية للتجربة بشكل صريح أو حتى يمكن تحديدها.

بما أننا نادرًا ما نبني صراحةً فضاء الاحتمالات الكامن وراء متغير عشوائي، فإن الفرق بين مفهومي التكافؤ هذين دقيقٌ نوعًا ما. في جوهر الأمر، يكون متغيران عشوائيان، عند النظر إليهما بمعزل عن بعضهما ، "متكافئين عمليًا" إذا كان توزيعهما متساويًا، ولكن بمجرد ربطهما بمتغيرات عشوائية أخرى مُعرَّفة على فضاء الاحتمالات نفسه، فإنهما يظلان "متكافئين عمليًا" فقط إذا كانا متساويين بشكل شبه مؤكد.

على سبيل المثال، لنفترض أن المتغيرات العشوائية الحقيقية A و B و C و D معرفة جميعها على نفس فضاء الاحتمال. ولنفترض أن A و B متساويان تقريبًا بشكل مؤكد (${\displaystyle A\;{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\;B}$)، لكن A و C متساويتان فقط في التوزيع (${\displaystyle A~{\stackrel {d}{=}}~C}$). ثم${\displaystyle A+D\;{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\;B+D}$لكن بشكل عام${\displaystyle A+D\neq C+D}$(ليس حتى في التوزيع). وبالمثل، لدينا أن القيم المتوقعة${\displaystyle \mathbb {E} (AD)=\mathbb {E} (BD)}$لكن بشكل عام${\displaystyle \mathbb {E} (AD)\neq \mathbb {E} (CD)}$لذلك، يمكن أن يكون لمتغيرين عشوائيين متساويين في التوزيع (ولكنهما ليسا متساويين تقريبًا بشكل مؤكد) تباينات مختلفة مع متغير عشوائي ثالث.