كثيرات حدود كورنويندر

في الرياضيات، تُعدّ كثيرات حدود ماكدونالد-كورنويندر (وتُسمى أيضًا كثيرات حدود كورنويندر ) عائلةً من كثيرات الحدود المتعامدة في عدة متغيرات، قدّمها كورنويندر ^{[ 1 ]} وإي جي ماكدونالد ^{[ 2 ]،} وهي تُعمّم كثيرات حدود أسكي-ويلسون . وهي كثيرات حدود ماكدونالد المرتبطة بنظام الجذور الأفيني غير المختزل من النوع ( C ^∨ _n , C _n )، وتُحقق على وجه الخصوص نظائر تخمينات ماكدونالد ^{[ 3 ]} . إضافةً إلى ذلك، بيّن يان فيليب فان ديجين أن كثيرات حدود ماكدونالد المرتبطة بأي نظام جذور كلاسيكي يُمكن التعبير عنها كنهايات أو حالات خاصة من كثيرات حدود ماكدونالد-كورنويندر، ووجد مجموعات كاملة من مُؤثرات الفرق التبادلية الملموسة المُقطّرة بها. ^{[ 4 ]} علاوة على ذلك، توجد فئة كبيرة من العائلات المثيرة للاهتمام من كثيرات الحدود المتعامدة متعددة المتغيرات المرتبطة بأنظمة الجذور الكلاسيكية، والتي تُعد حالات مُنحلة من كثيرات حدود ماكدونالد-كورنويندر. ^{[ 5 ]} كما دُرست كثيرات حدود ماكدونالد-كورنويندر باستخدام جبر هيك الأفيني . ^{[ 6 ]}

تعد متعددة حدود ماكدونالد-كورنويندر في n متغيرًا المرتبطة بالتقسيم λ هي متعددة حدود لوران الوحيدة الثابتة تحت تبديل وانعكاس المتغيرات، مع حد رئيسي x ^λ ، ومتعامدة بالنسبة للكثافة.

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {(x_{i}x_{j},x_{i}/x_{j},x_{j}/x_{i},1/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}{(tx_{i}x_{j},tx_{i}/x_{j},tx_{j}/x_{i},t/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}}\prod _{1\leq i\leq n}{\frac {(x_{i}^{2},1/x_{i}^{2};q)_{\infty }}{(ax_{i},a/x_{i},bx_{i},b/x_{i},cx_{i},c/x_{i},dx_{i},d/x_{i};q)_{\infty }}}}$

على الحلقة الوحدوية

${\displaystyle |x_{1}|=|x_{2}|=\cdots |x_{n}|=1}$،

حيث تستوفي المعلمات القيود

${\displaystyle |a|,|b|,|c|,|d|,|q|,|t|<1,}$

و( x ; q ) _{∞ يرمز} ^إلى رمز بوخامر-q اللانهائي . هنا ^، تعني أحادية الحد الرئيسية xλ أن μ≤λ لجميع الحدود xμ ذات المعاملات غير _{الصفرية} ، حيث μ≤λ إذا وفقط إذا كان _μ₁ ≤λ₁ _، و _μ₁ + μ₂ _≤λ₁ + λ₂ _{، ...} ، و _μ₁ + ... + μₙ _≤λ₁ + ... + _λₙ . مع مراعاة القيود الإضافية بأن q و t أعداد حقيقية، وأن a و b و c و d أعداد حقيقية، أو إذا كانت أعدادًا مركبة، أن تظهر في أزواج مترافقة، فإن الكثافة المعطاة تكون موجبة.

• كورنويندر، توم هـ. (1992)، "متعددات حدود أسكي-ويلسون لأنظمة الجذور من النوع BC"، الرياضيات المعاصرة ، 138 : 189-204 ، doi : 10.1090/conm/138/1199128 ، MR 1199128 ، S2CID 14028685  
• فان ديجين، جان ف. (1996)، "متعددات حدود كورنويندر-ماكدونالد ذاتية الازدواجية"، Inventiones Mathematicae ، 126 (2): 319-339 ، arXiv : q-alg/9507033 ، Bibcode : 1996InMat.126..319V ، doi : 10.1007/s002220050102 ، MR 1411136 ، S2CID 17405644  
• ساهي، س. (1999)، "متعددات حدود كورنويندر غير المتناظرة والازدواجية"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 150 (1): 267-282 ، arXiv : q-alg/9710032 ، doi : 10.2307/121102 ، JSTOR 121102 ، MR 1715325 ، S2CID 8958999   
• فان ديجين، جان ف. (1995)، "مؤثرات الفرق التبادلية ذات الدوال الذاتية متعددة الحدود"، كومبوزيتيو ماثيماتيكا ، 95 : 183-233 ، arXiv : funct-an/9306002 ، MR 1313873 
• فان ديجين، جان ف. (1999)، "خصائص بعض عائلات كثيرات الحدود المتعامدة فوق الهندسية في عدة متغيرات"، معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 351 : 233-270 ، arXiv : q-alg/9604004 ، doi : 10.1090/S0002-9947-99-02000-0 ، MR 1433128 ، S2CID 16214156  
• نومي، م. (1995)، "متعددات حدود ماكدونالد-كورنويندر وحلقات هيك الأفينية"، جوانب مختلفة من الدوال فوق الهندسية ، سوريكايسيكيكينكيوشو كوكيوروكو (باللغة اليابانية)، المجلد  919، الصفحات 44-55 ، MR 1388325  
• ماكدونالد، آي جي (2003)، جبر هيك الأفيني ومتعددات الحدود المتعامدة ، سلسلة كامبريدج في الرياضيات، المجلد  157، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات  x+175، ISBN 978-0-521-82472-9، MR 1976581 
• ستوكمان، جاسبر ف. (2004)، "ملاحظات محاضرات حول كثيرات حدود كورنويندر"، محاضرات لاريدو حول كثيرات الحدود المتعامدة والدوال الخاصة ، نظرية متقدمة في الدوال الخاصة وكثيرات الحدود المتعامدة، هاوباج، نيويورك: دار نشر نوفا ساينس، الصفحات 145-207 ، MR 2085855