نظرية كرول

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الحلقات ، تنص نظرية كرول ، نسبةً إلى فولفغانغ كرول ، على أن الحلقة غير الصفرية ^{[ 1 ]} تحتوي على مثالي أعظمي واحد على الأقل . وقد برهن كرول هذه النظرية عام 1929 باستخدام الاستقراء المتسامي . ويمكن إثبات النظرية بسهولة باستخدام ليمّة زورن ، وهي في الواقع مكافئة لها ^{[ 2 ]،} والتي بدورها مكافئة لمسلّمة الاختيار .

• بالنسبة للحلقات غير التبادلية ، تنطبق النظائر الخاصة بالمثاليات اليسارية القصوى والمثاليات اليمينية القصوى أيضًا.
• بالنسبة للحلقات الزائفة ، تنطبق النظرية على المثاليات المنتظمة .
• أما النتيجة التي تبدو أقوى قليلاً (لكنها مكافئة)، والتي يمكن إثباتها بطريقة مماثلة، فهي كالتالي:

ليكن R حلقة، وليكن I مثالياً حقيقياً في R. عندئذٍ يوجد مثالي أعظمي في R يحتوي على I.

يمكن استنتاج نص النظرية الأصلية باعتبار I هو المثالي الصفري (0). وعلى العكس، فإن تطبيق النظرية الأصلية على R / I يؤدي إلى هذه النتيجة.

لإثبات النتيجة "الأقوى" مباشرةً، لننظر إلى المجموعة S التي تضم جميع المُثُل الحقيقية في R التي تحتوي على I. المجموعة S غير فارغة لأن I ∈ S. علاوة على ذلك، لأي سلسلة T من S ، فإن اتحاد المُثُل في T هو مُثُل J ، واتحاد المُثُل التي لا تحتوي على 1 لا يحتوي على 1، لذا J ∈ S. وفقًا لفرضية زورن، فإن S تحتوي على عنصر أعظمي M. هذا العنصر M هو مُثُل أعظمي يحتوي على I.

• كرول، دبليو (1929). "النظرية المثالية في Ringen ohne Endlichkeitsbedingungen". الرياضيات أنالن . 101 (1): 729-744 . دوى : 10.1007 / BF01454872 . S2CID 119883473 . 
• هودجز، و. (1979). "كرول يستلزم زورن". مجلة الجمعية الرياضية بلندن . s2-19 (2): 285–287 . doi : 10.1112/jlms/s2-19.2.285 .