نظرية الحلقات

تُعدّ الهندسة الجبرية، من نواحٍ عديدة، صورةً معكوسةً للجبر التبادلي. بدأ هذا التطابق مع نظرية هيلبرت "نولستيلنساتز" التي تُرسّخ تطابقًا أحاديًا بين نقاط مُتنوّع جبري ، والمُثُل القصوى لحلقة إحداثياته . وقد تمّ توسيع هذا التطابق وتنظيمه لترجمة (وإثبات) مُعظم الخصائص الهندسية للمُتنوّعات الجبرية إلى خصائص جبرية للحلقات التبادلية المُرتبطة بها. أكمل ألكسندر غروتينديك هذا العمل بتقديمه "المخططات" ، وهي تعميم للمُتنوّعات الجبرية، يُمكن بناؤها من أي حلقة تبادلية. وبشكلٍ أدق، فإنّ طيف الحلقة التبادلية هو فضاء مُثُلها الأولية المُجهّزة بطوبولوجيا زاريسكي ، والمُعزّزة بحزمة من الحلقات. هذه الكائنات هي "المخططات الأفينية" (تعميم للأصناف الأفينية )، ثم يتم الحصول على مخطط عام عن طريق "لصق" (بطرق جبرية بحتة) العديد من هذه المخططات الأفينية، على غرار طريقة بناء متعدد الشعب عن طريق لصق مخططات الأطلس معًا .

نظرية التمثيل فرع من الرياضيات يعتمد بشكل كبير على الحلقات غير التبادلية. تدرس هذه النظرية البنى الجبرية المجردة من خلال تمثيل عناصرها كتحويلات خطية للفضاءات المتجهة ، كما تدرس الوحدات النمطية فوق هذه البنى الجبرية المجردة. باختصار، يجعل التمثيل الكائن الجبري المجرد أكثر واقعية من خلال وصف عناصره بالمصفوفات والعمليات الجبرية بدلالة جمع المصفوفات وضربها ، وهي عمليات غير تبادلية. تشمل الكائنات الجبرية التي يمكن وصفها بهذه الطريقة الزمر ، والجبر الترابطي ، وجبر لي . أبرز هذه النظريات (والأولى تاريخيًا) هي نظرية تمثيل الزمر ، حيث تُمثَّل عناصر الزمرة بمصفوفات قابلة للعكس بحيث تكون عملية الزمرة هي ضرب المصفوفات.

في هذا القسم، يرمز R إلى حلقة تبديلية. بُعد كرول لـ R هو القيمة العليا لأطوال n لجميع سلاسل المثاليّات الأولية.${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$اتضح أن حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle k[t_{1},\cdots ,t_{n}]}$على حقل k له بُعد n . تنص النظرية الأساسية لنظرية الأبعاد على أن الأعداد التالية تتطابق بالنسبة لحلقة محلية نوثرية${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$: ^{[ 2 ]}

• بُعد كرول لـ R.
• الحد الأدنى لعدد مولدات${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-المبادئ الأساسية.
• أبعاد الخاتم المتدرج${\displaystyle \textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}}$(بصورة مكافئة، 1 زائد درجة متعددة حدود هيلبرت الخاصة بها ).

يقال إن الحلقة التبديلية R هي حلقة سلسلة إذا كان لكل زوج من المثاليات الأولية${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'}$، توجد سلسلة منتهية من المُثُل الأولية${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'}$وهي سلسلة قصوى بمعنى أنه من المستحيل إدخال مثال أولي إضافي بين مثالين في السلسلة، وجميع هذه السلاسل القصوى بين${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$و ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$لها نفس الطول. عمليًا، جميع الحلقات النويثرية التي تظهر في التطبيقات هي حلقات سلسلية. أثبت راتليف أن المجال التكاملي المحلي النويثري R يكون سلسليًا إذا وفقط إذا كان لكل مثالي أولي${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$،

${\displaystyle \operatorname {dim} R=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}+\operatorname {dim} R/{\mathfrak {p}}}$

أين${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}}$هو ارتفاع​${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$[ ^{3 ]​}

إذا كانت R مجالًا تكامليًا يمثل جبرًا منتهيًا من الرتبة k ، فإن بُعده هو درجة تجاوز حقل الكسور الخاص به على k . وإذا كانت S امتدادًا تكامليًا لحلقة تبديلية R ، فإن S و R لهما نفس البُعد.

من المفاهيم ذات الصلة الوثيقة مفهومي العمق والبعد الكلي . عمومًا، إذا كانت R حلقة محلية نوثرية، فإن عمقها يكون أقل من أو يساوي بعدها . وعندما تتحقق هذه المساواة، تُسمى R حلقة كوهين-ماكولي . الحلقة المحلية المنتظمة مثال على حلقة كوهين-ماكولي. تنص نظرية سير على أن R حلقة محلية منتظمة إذا وفقط إذا كان لها بعد كلي محدود، وفي هذه الحالة يكون البعد الكلي هو بعد كرول لـ R. تكمن أهمية ذلك في أن البعد الكلي مفهوم تماثلي .

يُقال إن حلقتين R و S متكافئتان موريتا إذا كانت فئة الوحدات اليسارية على R مكافئة لفئة الوحدات اليسارية على S. في الواقع، يجب أن تكون حلقتان تبديليتان متكافئتان موريتا متماثلتين، لذا فإن هذا المفهوم لا يُضيف جديدًا إلى فئة الحلقات التبديلية. مع ذلك، يمكن أن تكون الحلقات التبديلية متكافئة موريتا مع حلقات غير تبديلية، لذا فإن تكافؤ موريتا أوسع من التماثل. يُعد تكافؤ موريتا ذا أهمية خاصة في الطوبولوجيا الجبرية والتحليل الوظيفي.

ليكن R حلقة تبديلية و${\displaystyle \mathbf {P} (R)}$مجموعة فئات التشاكل للوحدات الإسقاطية المولدة نهائيًا على R ؛ ولتكن أيضًا${\displaystyle \mathbf {P} _{n}(R)}$المجموعات الجزئية التي تتكون من تلك التي لها رتبة ثابتة n . (رتبة الوحدة النمطية M هي دالة متصلة)${\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}$[ ^{4 ]} )^​${\displaystyle \mathbf {P} _{1}(R)}$يُرمز إليها عادةً بـ Pic( R ). وهي زمرة تبديلية تُسمى زمرة بيكارد لـ R. ^{[ 5 ]} إذا كانت R مجالًا تكامليًا مع حقل الكسور F لـ R ، فإنه يوجد تسلسل تام من الزمر: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle 1\to R^{*}\to F^{*}{\overset {f\mapsto fR}{\to }}\operatorname {Cart} (R)\to \operatorname {Pic} (R)\to 1}$

أين${\displaystyle \operatorname {Cart} (R)}$هي مجموعة المثاليّات الكسرية لـ R. إذا كان R مجالًا منتظمًا (أي منتظمًا عند أي مثاليّ أولي)، فإن Pic(R) هي بالضبط ^مجموعة فئات القواسم لـ R. [ ^{7 ]}

على سبيل المثال، إذا كانت R مجالًا مثاليًا رئيسيًا، فإن Pic( R ) يساوي صفرًا. في نظرية الأعداد الجبرية، تُعتبر R حلقة الأعداد الصحيحة ، وهي حلقة ديديكيند، وبالتالي منتظمة. ويترتب على ذلك أن Pic( R ) زمرة منتهية ( انتهائية عدد الفئات ) تقيس انحراف حلقة الأعداد الصحيحة عن كونها مجالًا مثاليًا رئيسيًا.

يمكن للمرء أيضًا أن ينظر في إنجاز المجموعة لـ${\displaystyle \mathbf {P} (R)}$ينتج عن ذلك حلقة تبديلية K₀ ₍ R). لاحظ أن K₀ ₍ R) = K₀ ₍ S) إذا كانت حلقتان تبديليتان R و S متكافئتين وفقًا لموريتا.

إن بنية الحلقة غير التبديلية أكثر تعقيدًا من بنية الحلقة التبديلية. فعلى سبيل المثال، توجد حلقات بسيطة لا تحتوي على أي مثاليات حقيقية (ثنائية الجانب) غير تافهة، ومع ذلك تحتوي على مثاليات حقيقية يسارية أو يمينية غير تافهة. توجد ثوابت مختلفة للحلقات التبديلية، بينما يصعب إيجاد ثوابت للحلقات غير التبديلية. على سبيل المثال، فإن الجذر الصفري لحلقة ما ، أي مجموعة جميع العناصر الصفرية، ليس بالضرورة مثاليًا إلا إذا كانت الحلقة تبديلية. تحديدًا، لا تُشكل مجموعة جميع العناصر الصفرية في حلقة جميع المصفوفات من الرتبة n × n فوق حلقة قسمة مثاليًا أبدًا، بغض النظر عن حلقة القسمة المختارة. ومع ذلك، توجد نظائر للجذر الصفري مُعرّفة للحلقات غير التبديلية، تتطابق مع الجذر الصفري عند افتراض التبديلية.

يُعد مفهوم جذر جاكوبسون للحلقة، أي تقاطع جميع العناصر المُفنية اليمنى (اليسرى) للوحدات النمطية اليمنى (اليسرى) البسيطة على الحلقة، مثالًا على ذلك. إن إمكانية اعتبار جذر جاكوبسون تقاطعًا لجميع المُثُل العليا اليمنى (اليسرى) القصوى في الحلقة، تُظهر كيف تنعكس البنية الداخلية للحلقة في وحداتها النمطية. ومن الحقائق أيضًا أن تقاطع جميع المُثُل العليا اليمنى في الحلقة هو نفسه تقاطع جميع المُثُل العليا اليسرى فيها، وذلك في سياق جميع الحلقات، بغض النظر عما إذا كانت الحلقة تبديلية أم لا.

تُعدّ الحلقات غير التبادلية مجالًا بحثيًا نشطًا نظرًا لانتشارها الواسع في الرياضيات. فعلى سبيل المثال، تُعتبر حلقة المصفوفات من الرتبة n × n على حقل ما غير تبادلية ، على الرغم من شيوعها في الهندسة والفيزياء والعديد من فروع الرياضيات. وبشكل أعم، نادرًا ما تكون حلقات التشكل الداخلي للمجموعات الأبيلية تبادلية، وأبسط مثال على ذلك حلقة التشكل الداخلي لمجموعة كلاين الرباعية .

تُعد الكواترنيونات واحدة من أشهر الحلقات غير التبادلية تمامًا .

إذا كانت X منوعًا جبريًا أفينيًا ، فإن مجموعة جميع الدوال المنتظمة على X تُشكّل حلقة تُسمى حلقة الإحداثيات لـ X. أما بالنسبة للمنوع الإسقاطي ، فتوجد حلقة مماثلة تُسمى حلقة الإحداثيات المتجانسة . تُعتبر هاتان الحلقتان متطابقتين جوهريًا مع المنوعات: فهما متناظرتان بطريقة فريدة. ويمكن إثبات ذلك إما من خلال نظرية هيلبرت للأصفار أو من خلال الإنشاءات القائمة على نظرية المخططات (مثل Spec و Proj).

يُعدّ إيجاد ودراسة كثيرات الحدود في حلقة كثيرات الحدود سؤالاً أساسياً (وربما الأكثر جوهرية) في نظرية الثوابت الكلاسيكية.${\displaystyle k[V]}$التي تبقى ثابتة تحت تأثير زمرة منتهية (أو بشكل أعم، زمرة اختزالية) G على V. المثال الرئيسي هو حلقة كثيرات الحدود المتناظرة : كثيرات الحدود المتناظرة هي كثيرات حدود تبقى ثابتة تحت تبديل المتغيرات. تنص النظرية الأساسية لكثيرات الحدود المتناظرة على أن هذه الحلقة${\displaystyle R[\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]}$أين${\displaystyle \sigma _{i}}$هي كثيرات حدود متناظرة ابتدائية.