المثالي الأقصى

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الحلقات ، يُعرَّف المثالي الأعظمي بأنه مثالي ثنائي الجانب يكون أعظميًا (فيما يتعلق باحتواء المجموعة ) بين جميع المثاليات الحقيقية . ^{[ 1 ] [ 2 ]} بعبارة أخرى، يكون I مثاليًا أعظميًا في الحلقة R إذا لم تكن هناك مثاليات ثنائية الجانب أخرى محصورة بين I و R.

تُعدّ المُثُل القصوى مهمة لأن نواتج قسمة الحلقات على المُثُل القصوى هي حلقات بسيطة ، وفي حالة الحلقات التبديلية تحديدًا ، تكون أيضًا حقولًا . تُعرف مجموعة المُثُل القصوى لحلقة تبديلية R بالطيف الأقصى لـ R ، ويُرمز لها برموز مختلفة مثل m-Spec R ، وSpecm R ، وMaxSpec R ، وMax R ، وSpm R. عند تزويدها بطوبولوجيا زاريسكي ، تُصبح فضاءً جزئيًا من النقاط المغلقة للطيف الأولي Spec R ، أي مجموعة المُثُل الأولية المُجهزة بطوبولوجيا زاريسكي.

في نظرية الحلقات غير التبادلية، يُعرَّف المثالي الأيمن الأعظمي بأنه عنصر أعظمي في مجموعة المُثُل اليمنى الجزئية، وبالمثل، يُعرَّف المثالي الأيسر الأعظم بأنه عنصر أعظمي في مجموعة المُثُل اليسرى الجزئية. ولأن المثالي الأعظمي أحادي الجانب A ليس بالضرورة ثنائي الجانب، فإن خارج القسمة R / A ليس بالضرورة حلقة، ولكنه وحدة نمطية بسيطة على R. إذا كان لـ R مثالي أيمن أعظمي وحيد، فإن R تُعرف حينها بالحلقة المحلية ، ويكون المثالي الأيمن الأعظمي هو أيضًا المثالي الأيسر الأعظم الوحيد والمثالي الثنائي الأعظم الوحيد في الحلقة، وهو في الواقع جذر جاكوبسون J( R ).

من الممكن أن تحتوي الحلقة على مثالي ثنائي الجانب أقصى فريد ومع ذلك تفتقر إلى مثالي أحادي الجانب أقصى فريد: على سبيل المثال، في حلقة المصفوفات المربعة 2 × 2 على حقل، يكون المثالي الصفري مثاليًا ثنائي الجانب أقصى، ولكن هناك العديد من المثالي الأيمن الأقصى.

توجد طرق أخرى مكافئة للتعبير عن تعريف المثاليّات القصوى أحادية الجانب والمثاليّات القصوى ثنائية الجانب. إذا كان لدينا حلقة R ومثاليّ مناسب I من R (أي I ≠ R )، فإن I يكون مثاليًا أقصى في R إذا تحققت أي من الشروط المكافئة التالية:

• لا يوجد مثالي مناسب آخر J من R بحيث يكون I ⊊ J.
• لأي مثالي J حيث I ⊆ J ، إما J = I أو J = R.
• الحلقة الخارجة R / I هي حلقة بسيطة.

توجد قائمة مماثلة للمثاليّات أحادية الجانب، والتي سيتم ذكر صيغها اليمنى فقط. بالنسبة للمثاليّ الأيمن A في حلقة R ، فإن الشروط التالية مكافئة لكون A مثالًا أيمنًا أقصى في R :

• لا يوجد مثالي أيمن مناسب آخر B من R بحيث يكون A ⊊ B.
• لأي مثالي أيمن B حيث A ⊆ B ، إما B = A أو B = R.
• وحدة القسمة R / A هي وحدة R يمنى بسيطة .

المثل العليا القصوى اليمنى/اليسرى/ذات الجانبين هي المفهوم المزدوج للمثل الدنيا .

• إذا كان F حقلاً، فإن المثالي الأقصى الوحيد هو {0}.
• في حلقة الأعداد الصحيحة Z ، تكون المُثُل القصوى هي المُثُل الرئيسية التي يولدها عدد أولي.
• وبشكل عام، فإن جميع المُثُل الأولية غير الصفرية تكون قصوى في مجال المُثُل الرئيسية .
• المثالي${\displaystyle (2,x)}$هو مثالي أقصى في الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$بشكل عام، فإن المثل العليا لـ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$وهي على شكل${\displaystyle (p,f(x))}$أين${\displaystyle p}$هو عدد أولي و${\displaystyle f(x)}$هي متعددة الحدود في${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$وهو غير قابل للاختزال modulo${\displaystyle p}$.
• كل مثالي أولي هو مثالي أعظمي في حلقة بولية ، أي حلقة تتكون فقط من عناصر متساوية القوة. في الواقع، كل مثالي أولي هو مثالي أعظمي في حلقة تبديلية.${\displaystyle R}$كلما وُجد عدد صحيح${\displaystyle n>1}$بحيث${\displaystyle x^{n}=x}$لأي${\displaystyle x\in R}$.
• المُثُل القصوى لحلقة كثيرات الحدود${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$هي المثل العليا الرئيسية التي تولدها${\displaystyle xc}$بالنسبة للبعض${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$.
• وبشكل أعم، فإن المُثُل القصوى لحلقة كثيرات الحدود${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$تكون المثاليات على حقل مغلق جبريًا K على الصورة${\displaystyle (x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n})}$تُعرف هذه النتيجة باسم نظرية Nullstellensatz الضعيفة .
• وبشكل أعم، ليكن K حقلاً مغلقاً جبرياً،${\displaystyle V\subseteq K^{n}}$لتكن مجموعة جبرية أفينية ، و${\displaystyle \mathrm {I} (V)}$ليكن مثالاً لكثيرات الحدود في${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$التي تتلاشى على V. ثم المثاليات القصوى لحلقة الإحداثيات${\displaystyle K[V]=K[x_{1},...,x_{n}]/\mathrm {I} (V)}$وهي على شكل${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}=({\overline {x_{1}}}-a_{1},...,{\overline {x_{n}}}-a_{n})}$، أين${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V}$، و${\displaystyle {\overline {x_{i}}}}$صور${\displaystyle x_{i}}$في ظل خريطة الإسقاط الطبيعي${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]\to K[V]}$لذلك، توجد مطابقة تامة.${\displaystyle a\leftrightarrow {\mathfrak {m}}_{a}}$بين النقاط${\displaystyle a\in V}$والمُثُل العليا${\displaystyle {\mathfrak {m}} _ {a}\in \mathrm {Spm} (K[V])}$.

• يمكن تعريف أحد المثاليات المهمة للحلقة والذي يسمى جذر جاكوبسون باستخدام المثاليات اليمنى القصوى (أو اليسرى القصوى).
• إذا كانت R حلقة تبديلية وحدوية تحتوي على مثالي m ، فإن k = R / m يكون حقلاً إذا وفقط إذا كان m مثالياً أعظمياً. في هذه الحالة، يُعرف R / m باسم حقل البقايا . قد لا تنطبق هذه الحقيقة على الحلقات غير الوحدوية. على سبيل المثال،${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$هو مثال مثالي أقصى في${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$، لكن${\displaystyle 2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ليس حقلاً.
• إذا كان L مثاليًا يساريًا أعظميًا، فإن R / L هو وحدة نمطية يسارية بسيطة على R. وعلى العكس، في الحلقات التي تحتوي على عنصر محايد، تنشأ أي وحدة نمطية يسارية بسيطة على R بهذه الطريقة. وهذا يُظهر، بالمناسبة، أن مجموعة ممثلي الوحدات النمطية اليسارية البسيطة على R هي في الواقع مجموعة، إذ يمكن وضعها في تناظر مع جزء من مجموعة المثاليّات اليسارية العظمى في R.
• تنص نظرية كرول (1929) على أن كل حلقة أحادية غير صفرية تحتوي على مثالي أعظمي. وتظل هذه النتيجة صحيحة حتى لو استُبدل مصطلح "مثالي" بمصطلح "مثالي أيمن" أو "مثالي أيسر". وبشكل أعم، فإن كل وحدة نمطية مولدة نهائيًا غير صفرية تحتوي على وحدة نمطية فرعية أعظمية. لنفترض أن I مثالي ليس R (وبالتالي، A مثالي أيمن ليس R ). عندئذٍ، R / I حلقة ذات عنصر محايد (وبالتالي، R / A وحدة نمطية مولدة نهائيًا)، وبالتالي يمكن تطبيق النظريات السابقة على خارج القسمة لنستنتج وجود مثالي أعظمي (وبالتالي، مثالي أيمن أعظمي) في R يحتوي على I (وبالتالي، A ).
• قد لا تنطبق نظرية كرول على الحلقات التي لا تحتوي على عنصر محايد. فالحلقة الجذرية ، أي الحلقة التي يكون فيها جذر جاكوبسون هو الحلقة بأكملها، لا تحتوي على وحدات بسيطة، وبالتالي لا تحتوي على مثاليات يمنى أو يسرى عظمى. انظر إلى المثاليات المنتظمة للاطلاع على طرق ممكنة لتجاوز هذه المشكلة.
• في حلقة تبديلية ذات عنصر محايد، يكون كل مثالي أعظمي مثاليًا أوليًا . لكن العكس ليس صحيحًا دائمًا؛ فمثلاً، في أي مجال تكاملي غير حقلي ، يكون المثالي الصفري مثاليًا أوليًا غير أعظمي. تُعرف الحلقات التبديلية التي تكون فيها المثاليات الأولية أعظمية بالحلقات الصفرية الأبعاد ، حيث يُستخدم بُعد كرول لقياس البُعد .
• إذا كان k حقلاً، فإن الصورة العكسية لمثالي أعظمي في جبر k- مولّد نهائيًا تحت تأثير تشاكل جبر k- هي مثالي أعظمي. مع ذلك، فإن الصورة العكسية لمثالي أعظمي في حلقة تبديلية أحادية تحت تأثير تشاكل حلقة ليست بالضرورة أعظمية. على سبيل المثال، ليكن${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$كن خريطة الإدماج و${\displaystyle {\mathfrak {n}}=(0)}$في${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ثم${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$يكون أقصى ما يمكن في${\displaystyle \mathbb {Q} }$لكن${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {n}})=(0)}$ليس الحد الأقصى في${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• قد لا يكون المثالي الأعظمي لحلقة غير تبديلية أوليًا بالمعنى التبديل. على سبيل المثال، ليكن${\displaystyle M_{n\times n}(\mathbb {Z} )}$كن خاتم الجميع${\displaystyle n\times n}$المصفوفات فوق${\displaystyle \mathbb {Z} }$هذا الخاتم له مثالي أقصى${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$لأي عدد أولي${\displaystyle p}$لكن هذا ليس مثالاً مثالياً، لأنه (في هذه الحالة)${\displaystyle n=2}$)${\displaystyle A={\text{diag}}(1,p)}$و${\displaystyle B={\text{diag}}(p,1)}$ليسوا في${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$، لكن${\displaystyle AB=pI_{2}\in M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$ومع ذلك، فإن المُثُل القصوى للحلقات غير التبادلية هي أعداد أولية بالمعنى المعمم أدناه.

بالنسبة لوحدة نمطية R - A ، فإن الوحدة النمطية الجزئية القصوى M من A هي وحدة نمطية جزئية M ≠ A تحقق الخاصية التالية: لأي وحدة نمطية جزئية أخرى N ، فإن M ⊆ N ⊆ A يستلزم N = M أو N = A. وبصورة مكافئة، تكون M وحدة نمطية جزئية قصوى إذا وفقط إذا كانت وحدة القسمة A / M وحدة نمطية بسيطة . _أما المثاليّات اليمنى القصوى للحلقة R فهي تحديدًا الوحدات النمطية الجزئية القصوى للوحدة النمطية R.

بخلاف الحلقات التي تحتوي على عنصر محايد، لا يمتلك الموديول غير الصفري بالضرورة موديولات فرعية عظمى. مع ذلك، وكما ذُكر سابقًا، فإن الموديولات غير الصفرية المولدة نهائيًا تمتلك موديولات فرعية عظمى، وكذلك الموديولات الإسقاطية .

كما هو الحال مع الحلقات، يمكن تعريف جذر وحدة نمطية باستخدام الوحدات النمطية الفرعية القصوى. علاوة على ذلك، يمكن تعميم المُثُل القصوى بتعريف وحدة نمطية فرعية قصوى M لوحدة نمطية ثنائية B على أنها وحدة نمطية فرعية فعلية من M لا تحتويها أي وحدة نمطية فرعية فعلية أخرى من M. وبالتالي ، فإن المُثُل القصوى لـ R هي بالضبط الوحدات النمطية الفرعية القصوى للوحدة _{النمطية R.}

• أندرسون، فرانك دبليو؛ فولر، كينت آر (1992)، الحلقات وفئات الوحدات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  13 (  الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات  x+376، doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 ، ISBN 0-387-97845-3MR 1245487​ 
• لام، تي واي (2001)، مدخل إلى الحلقات غير التبادلية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  131 (  الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات  xx+385، doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 ، ISBN 0-387-95183-0، MR 1838439