نظرية كومر

في الرياضيات ، تُعرف نظرية كومر بأنها صيغة لحساب أس أعلى قوة لعدد أولي p يقسم معاملًا ثنائيًا مُعطى. بعبارة أخرى، تُعطي هذه النظرية القيمة p -adic لمعامل ثنائي . سُميت النظرية نسبةً إلى إرنست كومر ، الذي أثبتها عام 1852 ( كومر 1852 ) .

تنص نظرية كومر على أنه بالنسبة للأعداد الصحيحة المعطاة n  ≥ m ≥ 0 وعدد أولي p ، فإن التقييم p -adic   ${\displaystyle \nu _{p}\!{\tbinom {n}{m}}}$معامل ذي الحدين${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$يساوي عدد عمليات الحمل عند إضافة m إلى n − m في الأساس p .   

الصيغة المكافئة للنظرية هي كما يلي:

اكتب الأساس-${\displaystyle p}$توسيع العدد الصحيح${\displaystyle n}$مثل${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}}$، وتحديد${\displaystyle S_{p}(n):=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}$أن يكون مجموع الأساس-${\displaystyle p}$أرقام. ثم

${\displaystyle \nu _{p}\!{\binom {n}{m}}={\dfrac {S_{p}(m)+S_{p}(nm)-S_{p}(n)}{p-1}}.}$

يمكن إثبات النظرية بكتابة${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$مثل${\displaystyle {\tfrac {n!}{m!(nm)!}}}$وباستخدام صيغة ليجندر . ^{[ 1 ]}

يمكن تعميم نظرية كومر لتشمل المعاملات متعددة الحدود.${\displaystyle {\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}}$على النحو التالي:

${\displaystyle \nu _{p}\!{\binom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\dfrac {1}{p-1}}\left(\left(\sum _{i=1}^{k}S_{p}(m_{i})\right)-S_{p}(n)\right).}$

• نظرية لوكاس

• كومر، إرنست (1852). "Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1852 (44): 93-146 . دوى : 10.1515/crll.1852.44.93 .
• نظرية كومر في موقع PlanetMath .