قانون جيب التمام للامبرت

في علم البصريات ، ينص قانون لامبرت لجيب التمام على أن شدة الإشعاع المرصودة ، أو شدة الإضاءة، من سطح عاكس مثالي منتشر أو مشع منتشر مثالي _، تتناسب طرديًا مع جيب تمام الزاوية θ بين خط نظر الراصد والعمود المقام على السطح ؛ أي I = I₀ cos θ . ^{[ 1 ] [ 2 ]} يُعرف هذا القانون أيضًا بقانون انبعاث جيب التمام ^{[ 3 ]} أو قانون انبعاث لامبرت . وقد سُمي نسبةً إلى يوهان هاينريش لامبرت ، نسبةً إلى كتابه "فوتومتريا" الذي نُشر عام 1760. ^{[ 4 ]}

يُطلق على السطح الذي يخضع لقانون لامبرت اسم سطح لامبرتي ، ويُظهر انعكاسًا لامبرتيًا . يتميز هذا السطح بإشعاع / إضاءة ثابتة ، بغض النظر عن زاوية الرؤية؛ إذ تُدركه العين البشرية بسطوع ثابت، بغض النظر عن زاوية النظر. ويعود ثبات الإشعاع إلى أنه على الرغم من انخفاض القدرة المنبعثة من عنصر مساحة معين بمقدار جيب تمام زاوية الانبعاث، فإن الزاوية المجسمة، التي يُشكلها السطح المرئي للناظر، تنخفض بنفس المقدار. ولأن النسبة بين القدرة والزاوية المجسمة ثابتة، فإن الإشعاع (القدرة لكل وحدة زاوية مجسمة لكل وحدة مساحة مصدر مُسقطة) يبقى ثابتًا.

عندما يشع عنصر مساحي نتيجة إضاءته بمصدر خارجي، فإن الإشعاع (الطاقة أو الفوتونات / الزمن / المساحة) الساقط على هذا العنصر يتناسب طرديًا مع جيب تمام الزاوية بين مصدر الإضاءة والعمود المقام. وبالتالي، يقوم الجسم المشتت لامبرتي بتشتيت هذا الضوء وفقًا لقانون جيب التمام نفسه الذي يتبعه الجسم الباعث لامبرتي. هذا يعني أنه على الرغم من أن إشعاع السطح يعتمد على الزاوية بين العمود المقام ومصدر الإضاءة، إلا أنه لا يعتمد على الزاوية بين العمود المقام والمراقب. على سبيل المثال، لو كان القمر مشتتًا لامبرتيًا، لكان من المتوقع أن يتناقص سطوعه المشتت بشكل ملحوظ باتجاه خط الفصل بين الليل والنهار بسبب زيادة زاوية سقوط ضوء الشمس على سطحه. لكن حقيقة عدم تناقص سطوعه توضح أن القمر ليس مشتتًا لامبرتيًا، بل يميل في الواقع إلى تشتيت ضوء أكبر في الزوايا المائلة مقارنةً بالأجسام المشتتة لامبرتيًا.

لا يعتمد انبعاث الإشعاع من جسم لامبرتي على كمية الإشعاع الساقط، بل على الإشعاع المنبعث من الجسم نفسه. فعلى سبيل المثال، لو كانت الشمس جسمًا لامبرتيًا، لكان من المتوقع رؤية سطوع ثابت عبر قرصها الشمسي بأكمله. إلا أن ظاهرة التعتيم الطرفي للشمس في نطاق الضوء المرئي تُثبت أنها ليست جسمًا لامبرتيًا. يُعد الجسم الأسود مثالًا على الجسم اللامبرتي. ووفقًا لتاتوم، "عند مناقشة خصائص الأسطح العاكسة، غالبًا ما يُفرّق بين حالتين متطرفتين. الأولى هي السطح اللامبرتي المُشتت تمامًا؛ ويُستشهد أحيانًا بورق النشاف كمثال قريب من السطح اللامبرتي. أما الحالة المتطرفة الأخرى فهي السطح العاكس تمامًا، أو الانعكاس المرآوي (من اللاتينية speculum، أي المرآة)، حيث تتساوى زاوية الانعكاس مع زاوية السقوط." ^{[ 5 ]}

يوضح الشكلان 1 و2 حالة السطح اللامبرتي (الباعث أو المشتت). ولتبسيط المفهوم، سنستخدم مصطلح الفوتونات بدلاً من الطاقة أو الطاقة الضوئية . يمثل كل إسفين في الدائرة زاوية متساوية dΩ ، ذات حجم مختار عشوائياً، وبالنسبة للسطح اللامبرتي، يتناسب عدد الفوتونات المنبعثة في كل إسفين في الثانية الواحدة مع مساحة ذلك الإسفين.

طول كل إسفين يساوي حاصل ضرب قطر الدائرة في جيب تمام الزاوية θ . يكون معدل انبعاث الفوتونات الأقصى لكل وحدة زاوية مجسمة على طول العمودي، ويتناقص إلى الصفر عند θ = 90°. رياضياً، الإشعاع على طول العمودي هو I  فوتون/(ثانية·م² ^· ستراديان)، وعدد الفوتونات المنبعثة في الثانية الواحدة داخل الإسفين الرأسي هو I dΩ dA . أما عدد الفوتونات المنبعثة في الثانية الواحدة داخل الإسفين عند الزاوية θ فهو I cos( θ ) dΩ dA .

يوضح الشكل 2 ما يراه الراصد. سيرى الراصد الموجود مباشرةً فوق عنصر المساحة المشهد من خلال فتحة مساحتها dA₀ ، _وسيغطي عنصر المساحة dA زاوية مجسمة مقدارها dΩ₀ _، وهي جزء من مجال الرؤية الزاوي الكلي للراصد للمشهد. بما أن حجم الوتد dΩ تم اختياره بشكل اعتباطي، فمن باب التبسيط، يمكننا أن نفترض، دون فقدان للعمومية، أنه يتطابق مع الزاوية المجسمة التي تغطيها الفتحة عند "الرؤية" من موضع عنصر المساحة المُشع dA. وبالتالي، سيسجل الراصد العادي نفس انبعاث I dΩ dA فوتون في الثانية المُستنتج أعلاه ، وسيقيس إشعاعًا مقداره

${\displaystyle I_{0}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}}$ فوتونات/(ثانية·م² ^· ستراديان).

سيرى الراصد، المتخذ زاوية θ بالنسبة للعمودي _، المشهد من خلال نفس الفتحة ذات المساحة dA₀ (والتي لا تزال تُقابل إسفينًا dΩ )، ومن هذه الزاوية المائلة، يتم تقصير عنصر المساحة dA ليُشكّل زاوية (مجسمة) مقدارها dΩ₀ _cos ( θ ) . سيسجل هذا الراصد I cos( θ ) dΩ dA فوتونًا في الثانية، وبالتالي سيقيس إشعاعًا مقداره 

${\displaystyle I_{0}={\frac {I\cos(\theta )\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,\cos(\theta )\,dA_{0}}}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}}$ فوتونات/(ثانية·م² ^· ستراديان)،

وهو ما يُشابه ما يراه المُشاهد العادي. يقول تاتوم: "لذا، فإن إشعاع سطح لامبرتي مُشعّ لا يتأثر بزاوية الرؤية. تُشعّ الأسطح اللامبرتية بشكل مُتساوي الخواص. ولكي يكون السطح العاكس لامبرتيًا، يجب أن يكون إشعاعه مُستقلًا ليس فقط عن زاوية الرؤية، بل أيضًا عن زاوية الإضاءة." ^{[ 5 ]} ويقول يو: "ببساطة، يظل سطوع السطح اللامبرتي (أو العاكس المُشتت المثالي) ثابتًا عند النظر إليه من زوايا مُختلفة. وذلك لأن التغير في شدة الإضاءة مع الزاوية (علاقة جيب التمام) يُقابله تغير مُساوٍ له في المساحة السطحية المُسقطة التي تُرى (أيضًا علاقة جيب التمام). وبالتالي، سيحتفظ السطح اللامبرتي بنفس السطوع (اللمعان أو الإشعاع) بغض النظر عن زاوية الرؤية." ^{[ 6 ]}

بشكل عام، تتغير شدة الإضاءة لنقطة على سطح ما بتغير الاتجاه؛ بالنسبة لسطح لامبرتي، يُحدد هذا التوزيع بقانون جيب التمام، حيث تبلغ شدة الإضاءة ذروتها في الاتجاه العمودي. وبالتالي، عندما يتحقق افتراض لامبرتي، يمكننا حساب التدفق الضوئي الكلي .${\displaystyle F_{\text{tot}}}$، من ذروة شدة الإضاءة ،${\displaystyle I_{\max }}$، عن طريق تكامل قانون جيب التمام : $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{tot}}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\,I_{\max }\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\sin(\theta )\,d\theta \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin(2\theta )}{2}}\,d\theta \end{aligned}}}$$ وهكذا

${\displaystyle F_{\text{tot}}=\pi \,\mathrm {sr} \cdot I_{\max }}$

أين${\displaystyle \sin(\theta )}$هو محدد مصفوفة جاكوبي للكرة الوحدة ، وإدراك أن${\displaystyle I_{\max }}$^{[ 7 ]} وهو التدفق الضوئي لكل ستراديان . ^{[ 8 ]} ووفقًا لتاتوم، "تنطبق هذه العلاقات بالتساوي على التدفق والشدة المذكورين في الرموز السفلية، وعلى التدفق الضوئي والشدة الضوئية."

• النفاذية
• الانعكاسية
• تصميم المباني الشمسية السلبية
• مسار الشمس