الجيب وجيب التمام

الجيب وجيب التمام
معلومات عامة
التعريف العام	${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(\theta )={\frac {\textrm {مقابل}}{\textrm {وتر الزاوية القائمة}}}\\[8pt]&\cos(\theta )={\frac {\textrm {مجاور}}{\textrm {وتر الزاوية القائمة}}}\\[8pt]\end{aligned}}}$
مجالات التطبيق	علم المثلثات ، سلسلة فورييه ، الخ.

في الرياضيات ، الجيب وجيب التمام هما دوال مثلثية للزاوية . يتم تعريف جيب وجيب تمام الزاوية الحادة في سياق مثلث قائم الزاوية : بالنسبة للزاوية المحددة، يكون جيبها هو نسبة طول الضلع المقابل لتلك الزاوية إلى طول أطول ضلع في المثلث ( الوتر ) ، وجيب التمام هو نسبة طول الضلع المجاور إلى طول الوتر . بالنسبة للزاوية ، يتم الإشارة إلى دوال الجيب وجيب التمام على أنها و . ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \sin(\theta )}$${\displaystyle \cos(\theta )}$

تم توسيع تعريفات الجيب وجيب التمام لتشمل أي قيمة حقيقية من حيث أطوال قطع مستقيمة معينة في دائرة الوحدة . تعبر التعريفات الأكثر حداثة عن الجيب وجيب التمام كسلسلة لا نهائية ، أو كحلول لمعادلات تفاضلية معينة ، مما يسمح بتوسيعها لتشمل قيمًا موجبة وسلبية عشوائية وحتى أرقامًا مركبة .

تُستخدم دالات الجيب وجيب التمام عادةً لنمذجة الظواهر الدورية مثل موجات الصوت والضوء ، وموضع وسرعة المذبذبات التوافقية، وشدة ضوء الشمس وطول النهار، ومتوسط ​​التغيرات في درجات الحرارة على مدار العام. ويمكن إرجاعها إلى دالتي جيا وكوتي جيا المستخدمتين في علم الفلك الهندي خلال فترة جوبتا .

لتحديد جيب وجيب التمام لزاوية حادة ، ابدأ بمثلث قائم يحتوي على زاوية قياس ؛ في الشكل المصاحب، الزاوية في المثلث القائم هي الزاوية المطلوبة. تُسمى الأضلاع الثلاثة للمثلث على النحو التالي: ^[1]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle أ ب ج}$

• الضلع المقابل هو الضلع المقابل للزاوية المطلوبة؛ وفي هذه الحالة يكون .${\displaystyle أ}$
• الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وفي هذه الحالة يكون . الوتر هو دائمًا الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية.${\displaystyle h}$
• الضلع المجاور هو الضلع المتبقي؛ وفي هذه الحالة يكون . وهو يشكل ضلعًا لكل من الزاوية المعنية والزاوية القائمة (ومجاورًا لها).${\displaystyle b}$

بمجرد اختيار مثل هذا المثلث، فإن جيب الزاوية يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر، وجيب تمام الزاوية يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر: ^[1] $${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {\text{المجاور}}{\text{الوتر}}},\qquad \cos(\alpha )={\frac {\text{المجاور}}{\text{الوتر}}}.}$$

يمكن تعريف الدوال المثلثية الأخرى للزاوية على نحو مماثل؛ على سبيل المثال، الظل هو النسبة بين الضلعين المتقابلين والمتجاورين أو على نحو مكافئ النسبة بين دالتي الجيب وجيب التمام. مقلوب الجيب هو قاطع التمام، والذي يعطي نسبة طول الوتر إلى طول الضلع المقابل. وبالمثل، مقلوب جيب التمام هو قاطع، والذي يعطي نسبة طول الوتر إلى طول الضلع المجاور. دالة ظل التمام هي النسبة بين الضلعين المتجاورين والمتقابلين، وهي مقلوب دالة الظل. يمكن صياغة هذه الدوال على النحو التالي: ^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta )&={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}},\\\cot(\theta )&={\frac {1}{\tan(\theta )}}={\frac {\text{adjacent}}{\text{opposite}}},\\\csc(\theta )&={\frac {1}{\sin(\theta )}}={\frac {\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}},\\\sec(\theta )&={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}.\end{aligned}}}$$

كما ذكرنا، يبدو أن القيم و تعتمد على اختيار مثلث قائم الزاوية يحتوي على زاوية قياسها . ومع ذلك، ليس هذا هو الحال حيث أن جميع هذه المثلثات متشابهة ، وبالتالي فإن النسب هي نفسها لكل منها. على سبيل المثال، كل ضلع من مثلث قائم الزاوية 45-45-90 هو وحدة واحدة، وتره هو ؛ وبالتالي، . ^[2] يوضح الجدول التالي القيمة الخاصة لكل مدخل لكل من الجيب وجيب التمام مع المجال بين . يوفر المدخل في هذا الجدول أنظمة وحدات مختلفة مثل الدرجة والراديان وما إلى ذلك. يمكن الحصول على الزوايا الأخرى غير تلك الخمس باستخدام الآلة الحاسبة. ^{[3] [4]}${\displaystyle \sin(\alpha )}$${\displaystyle \cos(\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\textstyle \sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$${\textstyle 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}}}$

زاوية، س				الخطيئة( x )		جتا( x )
درجات	راديان	جراديانس	المنعطفات	بالضبط	عشري	بالضبط	عشري
0°	0	0 جرام	0	0	0	1	1
30 درجة	⁠1/6⁠ π	33+1/3⁠ ج	⁠1/12⁠	⁠1/2⁠	0.5	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	0.8660
45 درجة	⁠1/4⁠ π	50 جرام	⁠1/8⁠	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	0.7071	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	0.7071
60 درجة	⁠1/3⁠ π	66+2/3⁠ ج	⁠1/6⁠	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	0.8660	⁠1/2⁠	0.5
90 درجة	⁠1/2⁠ π	100 جرام	⁠1/4⁠	1	1	0	0

قانون الجيب مفيد لحساب أطوال الأضلاع المجهولة في مثلث إذا كانت زاويتان وضلع واحد معروفين. ^[5] مع العلم أن مثلثًا بأضلاع ، ، و ، وزوايا متقابلة لتلك الأضلاع ، ، و . ينص القانون على أن هذا يعادل مساواة التعبيرات الثلاثة الأولى أدناه: حيث نصف قطر محيط المثلث . ${\displaystyle أ ب ج}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}.}$$$${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}$$${\displaystyle R}$

قانون جيب التمام مفيد لحساب طول ضلع غير معروف إذا كان ضلعان آخران وزاوية معروفة. ^[5] ينص القانون على أنه، في الحالة حيث من أي ، تصبح المعادلة الناتجة نظرية فيثاغورس . ^[6]$${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}}$$${\displaystyle \gamma =\pi /2}$${\displaystyle \cos(\gamma )=0}$

إن حاصل الضرب الاتجاهي وحاصل الضرب النقطي هما عمليتان على متجهين في فضاء المتجه الإقليدي . ويمكن تعريف دالتي الجيب وجيب التمام من حيث حاصل الضرب الاتجاهي وحاصل الضرب النقطي. إذا كان و متجهين، و هي الزاوية بين و ، فيمكن تعريف الجيب وجيب التمام على النحو التالي: ${\displaystyle \mathbb {a} }$${\displaystyle \mathbb {b} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbb {a} }$${\displaystyle \mathbb {b} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {|\mathbb {a} \times \mathbb {b} |}{|a||b|}},\\\cos(\theta )&={\frac {\mathbb {a} \cdot \mathbb {b} }{|a||b|}}.\end{aligned}}}$$

يمكن أيضًا تعريف دالتي الجيب وجيب التمام بطريقة أكثر عمومية باستخدام دائرة الوحدة ، وهي دائرة نصف قطرها واحد ومركزها الأصل ، والتي تمت صياغتها على هيئة معادلة في نظام الإحداثيات الديكارتية . دع الخط المار بالأصل يتقاطع مع دائرة الوحدة، مكونًا زاوية مع النصف الموجب للمحور - . إحداثيات - و - لنقطة التقاطع هذه تساوي و ، على التوالي؛ أي، ^[7]${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \cos(\theta )}$${\displaystyle \sin(\theta )}$ $${\displaystyle \sin(\theta )=y,\qquad \cos(\theta )=x.}$$

يتوافق هذا التعريف مع تعريف المثلث القائم الزاوية للجيب وجيب التمام عندما يكون طول وتر الدائرة الوحدوية دائمًا 1؛ من الناحية الرياضية، فإن جيب الزاوية يساوي الضلع المقابل للمثلث، والذي هو ببساطة إحداثي - . يمكن تقديم حجة مماثلة لدالة جيب التمام لإظهار أن جيب تمام الزاوية عندما ، حتى في ظل التعريف الجديد باستخدام الدائرة الوحدوية. ^{[8] [9]}${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle y}$${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$

إن استخدام تعريف دائرة الوحدة له ميزة رسم رسم بياني لدوال الجيب وجيب التمام. ويمكن القيام بذلك عن طريق تدوير نقطة عكس اتجاه عقارب الساعة على طول محيط الدائرة، اعتمادًا على المدخلات . في دالة الجيب، إذا كان المدخل هو ، يتم تدوير النقطة عكس اتجاه عقارب الساعة وتتوقف تمامًا على المحور - . إذا ، تكون النقطة في منتصف الدائرة. إذا ، تعود النقطة إلى أصلها. وينتج عن هذا أن كل من دالتي الجيب وجيب التمام لهما النطاق بين . ^[10]${\displaystyle \theta >0}$${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \theta =\pi }$${\displaystyle \theta =2\pi }$${\displaystyle -1\leq y\leq 1}$

عند توسيع الزاوية إلى أي مجال حقيقي، تدور النقطة عكس اتجاه عقارب الساعة باستمرار. ويمكن القيام بذلك على نحو مماثل لدالة جيب التمام أيضًا، على الرغم من أن النقطة تدور في البداية من إحداثي - . بعبارة أخرى، تكون كل من دالتي الجيب وجيب التمام دوريتين ، مما يعني أن أي زاوية تضاف إلى دائرة المحيط هي الزاوية نفسها. رياضيًا، ^[11]${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \sin(\theta +2\pi )=\sin(\theta ),\qquad \cos(\theta +2\pi )=\cos(\theta ).}$$

يقال أن الدالة فردية إذا ، ويقال أنها زوجية إذا . دالة الجيب فردية، في حين أن دالة جيب التمام زوجية. ^[12] كل من دالة الجيب وجيب التمام متشابهتان، مع إزاحة الفرق بينهما بمقدار . وهذا يعني، ^[13]${\displaystyle f}$${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$${\displaystyle f(-x)=f(x)}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right),\\\cos(\theta )&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right).\end{aligned}}}$$

الصفر هو النقطة الثابتة الحقيقية الوحيدة لدالة الجيب؛ بمعنى آخر، التقاطع الوحيد لدالة الجيب ودالة الهوية هو . النقطة الثابتة الحقيقية الوحيدة لدالة جيب التمام تسمى رقم دوتي . رقم دوتي هو الجذر الحقيقي الوحيد للمعادلة . التوسع العشري لرقم دوتي هو تقريبًا 0.739085. ^[14]${\displaystyle \sin(0)=0}$${\displaystyle \cos(x)=x}$

الدوال الجيبية وجيب التمامية قابلة للاشتقاق بلا حدود. ^[15] مشتقة الجيب هي جيب التمام، ومشتقة جيب التمام هي جيب سالب: ^[16] يؤدي استمرار العملية في مشتقة من الدرجة الأعلى إلى تكرار نفس الدوال؛ المشتقة الرابعة للجيب هي الجيب نفسه. ^[15] يمكن تطبيق هذه المشتقات على اختبار المشتقة الأولى ، والذي يمكن بموجبه تعريف رتابة الدالة على أنها متباينة المشتقة الأولى للدالة أكبر أو أقل من الصفر. ^[17] يمكن أيضًا تطبيقها على اختبار المشتقة الثانية ، والذي يمكن بموجبه تعريف تقعر الدالة عن طريق تطبيق متباينة المشتقة الثانية للدالة أكبر أو أقل من الصفر. ^[18] يوضح الجدول التالي أن كلاً من دالتي الجيب وجيب التمام لهما تقعر ورتابة - تشير العلامة الموجبة ( ) إلى أن الرسم البياني يتزايد (يتجه للأعلى) والعلامة السالبة ( ) تتناقص (تتجه للأسفل) - في فترات زمنية معينة. ^[19] يمكن تمثيل هذه المعلومات بنظام إحداثيات ديكارت مقسم إلى أربعة أرباع. $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x),\qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$$${\displaystyle +}$${\displaystyle -}$

الربع	زاوية		جيب التمام			جيب التمام
	درجات	راديان	لافتة	رتابة	تحدب	لافتة	رتابة	تحدب
الربع الأول، الأول	${\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }}$	${\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle +}$	متزايد	مقعر	${\displaystyle +}$	تناقص	مقعر
الربع الثاني، الثاني	${\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<x<\pi }$	${\displaystyle +}$	تناقص	مقعر	${\displaystyle -}$	تناقص	محدب
الربع الثالث، الثالث	${\displaystyle 180^{\circ }<x<270^{\circ }}$	${\displaystyle \pi <x<{\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle -}$	تناقص	محدب	${\displaystyle -}$	متزايد	محدب
الربع الرابع، الرابع	${\displaystyle 270^{\circ }<x<360^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}<x<2\pi }$	${\displaystyle -}$	متزايد	محدب	${\displaystyle +}$	متزايد	مقعر

يمكن تعريف كل من دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام المعادلات التفاضلية. الزوج هو الحل لنظام المعادلات التفاضلية ثنائي الأبعاد و مع الظروف الأولية و . يمكن للمرء أن يفسر الدائرة الوحدوية في التعريفات أعلاه على أنها تحدد مسار فضاء الطور للمعادلة التفاضلية مع الظروف الأولية المعطاة. يمكن تفسيرها على أنها مسار فضاء الطور لنظام المعادلات التفاضلية وبدءًا من الظروف الأولية و . ^{[ بحاجة لمصدر ]}${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$${\displaystyle (x(\theta ),y(\theta ))}$ ${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$ ${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle x(0)=1}$${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle x(0)=1}$

يمكن الحصول على مساحتها تحت المنحنى باستخدام التكامل بفاصل محدود معين. مشتقاتها العكسية هي: حيث تشير إلى ثابت التكامل . ^[20] يمكن تطبيق هذه المشتقات العكسية لحساب خصائص القياس لكل من منحنيات دالات الجيب وجيب التمام بفاصل معين. على سبيل المثال، طول قوس منحنى الجيب بين و هو حيث هو التكامل الإهليلجي غير المكتمل من النوع الثاني مع معامل . لا يمكن التعبير عنه باستخدام الدوال الأولية . ^[21] في حالة الفترة الكاملة، يكون طول قوسها هو حيث هي دالة جاما و هو ثابت ليمنيسكات . ^[22]$${\displaystyle \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C\qquad \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle \int _{0}^{t}\!{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx={\sqrt {2}}\operatorname {E} \left(t,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),}$$${\displaystyle \operatorname {E} (\varphi ,k)}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle L={\frac {4{\sqrt {2\pi ^{3}}}}{\Gamma (1/4)^{2}}}+{\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}={\frac {2\pi }{\varpi }}+2\varpi \approx 7.6404\ldots }$$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \varpi }$

الدالة العكسية للجيب هي قوس جيب أو جيب معكوس، ويشار إليها باسم "أركسين" أو "أسين" أو . ^[23] الدالة العكسية لجيب التمام هي قوس جيب التمام، ويشار إليها باسم "أركوس" أو "أكوس" أو . ^[أ] بما أن الجيب وجيب التمام ليسا دالتين متبادلتين ، فإن معكوساتهما ليست دوال عكسية دقيقة، بل دوال عكسية جزئية. على سبيل المثال، ولكن أيضًا ، وما إلى ذلك. ويترتب على ذلك أن دالة قوس جيب التمام متعددة القيم: ولكن أيضًا ، وما إلى ذلك. عندما تكون هناك حاجة إلى قيمة واحدة فقط، يمكن تقييد الدالة على فرعها الرئيسي . مع هذا القيد، لكل منها في المجال، سيتم تقييم التعبير إلى قيمة واحدة فقط، تسمى قيمتها الرئيسية . النطاق القياسي للقيم الرئيسية لقوس جيب التمام هو من إلى ، والنطاق القياسي لقوس جيب التمام هو من إلى . ^[24]${\displaystyle \sin ^{-1}}$${\displaystyle \cos ^{-1}}$${\displaystyle \sin(0)=0}$${\displaystyle \sin(\pi )=0}$${\displaystyle \sin(2\pi )=0}$${\displaystyle \arcsin(0)=0}$${\displaystyle \arcsin(0)=\pi }$${\displaystyle \arcsin(0)=2\pi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \arcsin(x)}$${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi }$

يتم تعريف الدالة العكسية لكل من الجيب وجيب التمام على النحو التالي: ^{[ بحاجة لمصدر ]} حيث بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة ، بحكم التعريف، تلبي كلتا الدالتين المعادلات: ^{[ بحاجة لمصدر ]} و $${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right),}$$${\displaystyle k}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &y=\arcsin(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\\\cos(y)=x\iff &y=\arccos(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=-\arccos(x)+2\pi k\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x\qquad \cos(\arccos(x))=x}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\\\arccos(\cos(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad 0\leq \theta \leq \pi \end{aligned}}}$$

وفقًا لنظرية فيثاغورس ، فإن مربع الوتر هو مجموع مربعي ضلعين في مثلث قائم الزاوية. وبقسمة الصيغة على كلا الجانبين مع مربع الوتر، نحصل على متطابقة فيثاغورس المثلثية ، فإن مجموع مربع الجيب وجيب التمام يساوي 1: ^{[25] [ب]} $${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1.}$$

يحقق الجيب وجيب التمام صيغ الزاوية المزدوجة التالية: ^{[ بحاجة لمصدر ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin(\theta )\cos(\theta ),\\\cos(2\theta )&=\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )\\&=2\cos ^{2}(\theta )-1\\&=1-2\sin ^{2}(\theta )\end{aligned}}}$$

تتضمن صيغة جيب التمام الزاوية المزدوجة أن sin ² وcos ² هما في حد ذاتهما موجات جيبية مُزاحة ومُقاسة. على وجه التحديد، ^[26] يُظهر الرسم البياني كلًا من دالتي الجيب والجيب التربيعي، مع الجيب باللون الأزرق والجيب التربيعي باللون الأحمر. كلا الرسمين البيانيين لهما نفس الشكل ولكن مع نطاقات مختلفة من القيم وفترات مختلفة. يحتوي الجيب التربيعي على قيم موجبة فقط، ولكن ضعف عدد الفترات. ^{[ بحاجة لمصدر ]}$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\qquad \cos ^{2}(\theta )={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$$

يمكن تعريف كل من دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام متسلسلة تايلور ، وهي متسلسلة قوى تتضمن مشتقات من رتبة أعلى. وكما ذكر في § الاستمرارية والتفاضل، فإن مشتق الجيب هو جيب التمام وأن مشتق جيب التمام هو سالب الجيب. وهذا يعني أن المشتقات المتعاقبة لـ هي ، ، ، ، مستمرة في تكرار تلك الدوال الأربع. المشتقة - ، التي يتم تقييمها عند النقطة 0: حيث يمثل الرمز العلوي التفاضل المتكرر. وهذا يعني توسع متسلسلة تايلور التالي عند . ومن ثم يمكن للمرء استخدام نظرية متسلسلة تايلور لإظهار أن الهويات التالية صحيحة لجميع الأعداد الحقيقية - حيث هي الزاوية بالراديان. ^[27] وبشكل عام، لجميع الأعداد المركبة : ^[28] إن أخذ مشتق كل حد يعطي متسلسلة تايلور لجيب التمام: ^{[27] [28]}${\displaystyle \sin(x)}$${\displaystyle \cos(x)}$${\displaystyle -\sin(x)}$${\displaystyle -\cos(x)}$${\displaystyle \sin(x)}$${\displaystyle (4n+k)}$$${\displaystyle \sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{cases}0&{\text{when }}k=0\\1&{\text{when }}k=1\\0&{\text{when }}k=2\\-1&{\text{when }}k=3\end{cases}}}$$${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}}$$

قد تظهر كل من دالتي الجيب وجيب التمام ذات الزوايا المتعددة كتركيبة خطية ، مما ينتج عنه كثيرة حدود. تُعرف مثل هذه كثيرة الحدود باسم كثيرة الحدود المثلثية . يمكن اكتساب التطبيقات الواسعة لكثيرة الحدود المثلثية في استيفائها ، وامتدادها لدالة دورية تُعرف باسم متسلسلة فورييه . دع و يكون أي معاملات، ثم تُعرف كثيرة الحدود المثلثية من الدرجة -المشار إليها باسم - على النحو التالي: ^{[29] [30]}${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle T(x)}$ $${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx).}$$

يمكن تعريف المتسلسلة المثلثية بشكل مشابه للحدودية المثلثية، وانعكاسها اللانهائي. دع و يكون أي معاملات، ثم يمكن تعريف المتسلسلة المثلثية على النحو التالي: ^[31] في حالة متسلسلة فورييه ذات دالة قابلة للتكامل معينة ، تكون معاملات المتسلسلة المثلثية هي: ^[32]${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx).}$$${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\cos(nx)\,dx,\\B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\sin(nx)\,dx.\end{aligned}}}$$

This section needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources in this section. Unsourced material may be challenged and removed. (August 2024) (Learn how and when to remove this message)

يمكن توسيع كل من الجيب وجيب التمام بشكل أكبر من خلال العدد المركب ، وهي مجموعة من الأرقام تتكون من أرقام حقيقية وخيالية . بالنسبة للعدد الحقيقي ، يمكن توسيع تعريف كل من دالتي الجيب وجيب التمام في المستوى المركب من حيث الدالة الأسية على النحو التالي: ^[33]${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}},\\\cos(\theta )&={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}},\end{aligned}}}$$

وبدلاً من ذلك، يمكن تعريف كلتا الدالتين من حيث صيغة أويلر : ^[33] $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos(\theta )+i\sin(\theta ),\\e^{-i\theta }&=\cos(\theta )-i\sin(\theta ).\end{aligned}}}$$

عند رسمها على المستوى المركب ، فإن الدالة للقيم الحقيقية لـ تتتبع دائرة الوحدة في المستوى المركب. يمكن تبسيط كل من دالتي الجيب وجيب التمام إلى الأجزاء التخيلية والحقيقية لـ على النحو التالي: ^[34]${\displaystyle e^{ix}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle e^{i\theta }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\operatorname {Im} (e^{i\theta }),\\\cos \theta &=\operatorname {Re} (e^{i\theta }).\end{aligned}}}$$

عندما يكون للقيم الحقيقية و ، حيث ، يمكن التعبير عن كل من دالتي الجيب وجيب التمام من حيث الجيب الحقيقي وجيب التمام والدوال الزائدية على النحو التالي: ^{[ بحاجة لمصدر ]}${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\\\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\end{aligned}}}$$

يتم استخدام الجيب وجيب التمام لربط الأجزاء الحقيقية والتخيلية للعدد المركب بإحداثياته ​​القطبية : والأجزاء الحقيقية والتخيلية هي حيث و تمثل مقدار وزاوية العدد المركب . ${\displaystyle (r,\theta )}$$${\displaystyle z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta )),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} (z)&=r\cos(\theta ),\\\operatorname {Im} (z)&=r\sin(\theta ),\end{aligned}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle z}$

بالنسبة لأي عدد حقيقي ، فإن صيغة أويلر من حيث الإحداثيات القطبية تكون على النحو التالي . ${\displaystyle \theta }$${\textstyle z=re^{i\theta }}$

بتطبيق تعريف سلسلة الجيب وجيب التمام على وسيطة مركبة، z ، نحصل على:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\\&=-i\sinh \left(iz\right)\\\cos(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\\&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\\&=\cosh(iz)\\\end{aligned}}}$

حيث sinh و cosh هما الجيب الزائدي وجيب التمام . هذه هي الدوال الكاملة .

ومن المفيد أيضًا في بعض الأحيان التعبير عن وظائف الجيب وجيب التمام المعقدة من حيث الأجزاء الحقيقية والتخيلية من حجتها:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\\cos(x+iy)&=\cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy)\\&=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\\end{aligned}}}$

باستخدام أسلوب توسيع الكسور الجزئية في التحليل المركب ، يمكننا أن نجد أن المتسلسلة اللانهائية تتقارب وتساوي . وبالمثل، يمكننا أن نظهر أن $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z-n}}={\frac {1}{z}}-2z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}-z^{2}}}}$$${\textstyle {\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}.}$$

باستخدام تقنية توسيع المنتج، يمكن للمرء أن يستنتج $${\displaystyle \sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right).}$$

توجد sin( z ) في المعادلة الوظيفية لدالة جاما ،

${\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\pi \over \sin(\pi s)},}$

والتي بدورها توجد في المعادلة الوظيفية لدالة زيتا ريمان ،

${\displaystyle \zeta (s)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\zeta (1-s).}$

كدالة هولومورفية ، sin z هو حل ثنائي الأبعاد لمعادلة لابلاس :

${\displaystyle \Delta u(x_{1},x_{2})=0.}$

ترتبط دالة الجيب المعقدة أيضًا بمنحنيات المستوى للبندولات . ^{[ كيف؟ ] [35] [ مطلوب مصدر أفضل ]}

دالة الجيب في المستوى المركب

المكون الحقيقي	مكون وهمي	ضخامة

دالة القوس الجيبية في المستوى المركب

المكون الحقيقي	مكون وهمي	ضخامة

اشتُقت كلمة جيب ، بشكل غير مباشر، من الكلمة السنسكريتية جيا "وتر القوس" أو بشكل أكثر تحديدًا مرادفها جيفا (كلاهما مأخوذ من الكلمة اليونانية القديمة χορδή "وتر")، بسبب التشابه البصري بين قوس الدائرة مع وترها المقابل والقوس مع وترها (انظر جيا وكوتي جيا وأوتكراما جيا ). وقد نُقلت هذه الكلمة إلى اللغة العربية باسم جيبا ، وهي كلمة لا معنى لها في تلك اللغة وكُتبت على هيئة ج ب ( جب ). ونظرًا لأن اللغة العربية تُكتب بدون أحرف متحركة قصيرة، فقد تم تفسير ج ب على أنها المتجانسة ج ب (جيب)، والتي تعني "صدر" أو "جيب" أو "طية". ^{[36] [37]} عندما تُرجمت النصوص العربية للبتاني والخوارزمي إلى اللاتينية في العصور الوسطى في القرن الثاني عشر بواسطة جيرارد الكريموني ، استخدم المعادل اللاتيني sinus (الذي يعني أيضًا "خليج" أو "طية"، وبشكل أكثر تحديدًا "طية التوجا المعلقة فوق الصدر "). ^{[38] [39] [40]} ربما لم يكن جيرارد أول عالم يستخدم هذه الترجمة؛ يبدو أن روبرت من تشيستر سبقه وهناك دليل على استخدام سابق. ^{[41] [42]} تم تقديم الشكل الإنجليزي sine في تسعينيات القرن السادس عشر. ^[ج]

تشتق كلمة جيب التمام من اختصار الكلمة اللاتينية supplementi sinus "جيب الزاوية التكميلية " مثل cosinus في كتاب Edmund Gunter 's Canon triangulorum (1620)، والذي يتضمن أيضًا تعريفًا مشابهًا لظلال التمام . ^[43]

في حين يمكن تتبع الدراسة المبكرة لعلم المثلثات إلى العصور القديمة، فإن الدوال المثلثية كما هي مستخدمة اليوم تم تطويرها في العصور الوسطى. تم اكتشاف دالة الوتر بواسطة هيبارخوس النيقاوي (180-125 قبل الميلاد ) وبطليموس الروماني المصري (90-165 م). ^[44]

يمكن إرجاع دالتي الجيب وجيب التمام إلى دالتي jyā و koṭi-jyā المستخدمتين في علم الفلك الهندي خلال فترة جوبتا ( أريابهاتيا و سوريا سيدهانتا )، عن طريق الترجمة من السنسكريتية إلى العربية ثم من العربية إلى اللاتينية. ^[38]

كانت جميع الدوال المثلثية الست المستخدمة حاليًا معروفة في الرياضيات الإسلامية بحلول القرن التاسع، وكذلك قانون الجيب ، المستخدم في حل المثلثات . ^[45] باستثناء الجيب (الذي تم تبنيه من الرياضيات الهندية)، اكتشف علماء الرياضيات العرب الدوال المثلثية الخمس الحديثة الأخرى، بما في ذلك جيب التمام والظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام. ^{[45] أنتج} الخوارزمي (حوالي 780-850) جداول الجيب وجيب التمام والظل. ^{[46] [47] اكتشف} محمد بن جابر الحراني البتاني (853-929) الدوال المعكوسة للقاطع وقاطع التمام، وأنتج أول جدول لقاطعات التمام لكل درجة من 1 درجة إلى 90 درجة. ^[47]

كان أول استخدام منشور للاختصارات sin و cos و tan من قِبَل عالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرارد في القرن السادس عشر ؛ ثم روج لها أويلر (انظر أدناه). ربما كان كتاب Opus palatinum de triangulis لجورج يواكيم ريتيكوس ، أحد طلاب كوبرنيكوس ، هو الأول في أوروبا الذي عرَّف الدوال المثلثية مباشرةً من حيث المثلثات القائمة بدلًا من الدوائر، مع جداول لجميع الدوال المثلثية الست؛ وقد أنهى هذا العمل تلميذ ريتيكوس فالنتين أوتو في عام 1596.

في ورقة بحثية نُشرت عام 1682، أثبت لايبنتز أن sin x ليست دالة جبرية لـ x . ^{[48] حسب} روجر كوتس مشتق الجيب في كتابه Harmonia Mensurarum (1722). ^[49] كان كتاب ليونهارد أويلر Introductio in analysin infinitorum (1748) مسؤولاً بشكل أساسي عن تأسيس المعالجة التحليلية للوظائف المثلثية في أوروبا، كما عرَّفها على أنها متسلسلة لا نهائية وقدم " صيغة أويلر "، بالإضافة إلى الاختصارات الحديثة تقريبًا sin. و cos. و tang. و cot. و sec. و cosec. ^[38]

This section needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources in this section. Unsourced material may be challenged and removed. (August 2024) (Learn how and when to remove this message)

لا توجد خوارزمية قياسية لحساب الجيب وجيب التمام. لا يتناول IEEE 754 ، وهو المعيار الأكثر استخدامًا على نطاق واسع لتحديد حساب الفاصلة العائمة الموثوقة، حساب الدوال المثلثية مثل الجيب. والسبب هو أنه لا توجد خوارزمية فعّالة معروفة لحساب الجيب وجيب التمام بدقة محددة، وخاصة للمدخلات الكبيرة. ^[50]

يمكن موازنة الخوارزميات المستخدمة في حساب الجيب مع القيود مثل السرعة أو الدقة أو قابلية النقل أو نطاق قيم الإدخال المقبولة. وقد يؤدي هذا إلى نتائج مختلفة لخوارزميات مختلفة، وخاصة في الظروف الخاصة مثل المدخلات الضخمة للغاية، على سبيل المثال . sin(1022)

أحد طرق تحسين البرمجة الشائعة، المستخدمة بشكل خاص في الرسومات ثلاثية الأبعاد، هو إجراء حساب مسبق لجدول قيم الجيب، على سبيل المثال قيمة واحدة لكل درجة، ثم بالنسبة للقيم الواقعة بينهما، اختر أقرب قيمة محسوبة مسبقًا، أو قم بالاستقراء خطيًا بين أقرب قيمتين لتقريبها. يتيح هذا البحث عن النتائج من جدول بدلاً من حسابها في الوقت الفعلي. مع بنيات وحدة المعالجة المركزية الحديثة، قد لا تقدم هذه الطريقة أي ميزة. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

تُستخدم خوارزمية CORDIC بشكل شائع في الآلات الحاسبة العلمية .

تتوفر دوال الجيب وجيب التمام، إلى جانب الدوال المثلثية الأخرى، على نطاق واسع عبر لغات البرمجة والمنصات. وفي الحوسبة، يتم اختصارها عادةً إلى sinو cos.

تحتوي بعض بنيات وحدة المعالجة المركزية على تعليمات مدمجة للجيب، بما في ذلك وحدات FPU من Intel x87 منذ 80387.

في لغات البرمجة، تكون sinو cosعادةً إما دالة مدمجة أو موجودة داخل مكتبة الرياضيات القياسية للغة. على سبيل المثال، تحدد مكتبة C القياسية دوال الجيب داخل math.h : و و و . معلمة كل منها هي قيمة فاصلة عائمة ، تحدد الزاوية بالراديان. تعيد كل دالة نفس نوع البيانات الذي تقبله. يتم أيضًا تعريف العديد من الدوال المثلثية الأخرى في math.h ، مثل جيب التمام وجيب القوس وجيب القطع الزائد (sinh). وبالمثل، يحدد بايثون و داخل الوحدة النمطية المضمنة . تتوفر أيضًا دوال الجيب وجيب التمام المعقدة داخل الوحدة النمطية، على سبيل المثال . تستدعي دوال الرياضيات في CPython مكتبة C ، وتستخدم تنسيق النقطة العائمة بدقة مزدوجة . sin(double)sinf(float)sinl(long double)math.sin(x)math.cos(x)mathcmathcmath.sin(z) math

توفر بعض مكتبات البرامج تنفيذات للجيب وجيب التمام باستخدام زاوية الإدخال بنصف دورة ، حيث تكون نصف الدورة زاوية مقدارها 180 درجة أو راديان. إن تمثيل الزوايا بنصف دورة أو نصف دورة له مزايا دقة ومزايا كفاءة في بعض الحالات. ^{[51] [52]} في MATLAB وOpenCL وR وJulia وCUDA وARM، تسمى هذه الوظائف و . ^{[51] [53] [52] [54] [55] [56]} على سبيل المثال، سيتم التقييم إلى حيث يتم التعبير عن x بنصف دورة، وبالتالي يمكن تفسير الإدخال النهائي للوظيفة، πx بالراديان بواسطة sin . ${\displaystyle \pi }$sinpicospisinpi(x)${\displaystyle \sin(\pi x),}$

تنبع ميزة الدقة من القدرة على تمثيل الزوايا الرئيسية مثل الدوران الكامل ونصف الدوران وربع الدوران بشكل مثالي دون فقدان في نظام النقطة العائمة الثنائي أو النقطة الثابتة. وعلى النقيض من ذلك، فإن تمثيل و و في نظام النقطة العائمة الثنائي أو النقطة الثابتة المقدرة ثنائيًا ينطوي دائمًا على فقدان الدقة نظرًا لأن الأرقام غير النسبية لا يمكن تمثيلها بعدد محدود من الأرقام الثنائية. ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi }$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

تتمتع الدورات أيضًا بميزة الدقة وميزة الكفاءة لحساب modulo لفترة واحدة. يمكن حساب نصف دورة modulo 1 أو modulo 2 بدون خسارة وبكفاءة في كل من النقطة العائمة والنقطة الثابتة. على سبيل المثال، يتطلب حساب modulo 1 أو modulo 2 لقيمة نقطة ثابتة مقياس نقطة ثنائية فقط تحويل بت أو عملية AND بتية. على النقيض من ذلك، ينطوي حساب modulo على عدم دقة في تمثيل . ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

بالنسبة للتطبيقات التي تتضمن مستشعرات زاوية، يوفر المستشعر عادةً قياسات زاوية في شكل متوافق بشكل مباشر مع الدورات أو نصف الدورات. على سبيل المثال، قد يحسب مستشعر الزاوية من 0 إلى 4096 على مدار دورة كاملة واحدة. ^[57] إذا تم استخدام نصف الدورات كوحدة للزاوية، فإن القيمة التي يوفرها المستشعر تتطابق بشكل مباشر وبدون فقدان مع نوع بيانات النقطة الثابتة مع 11 بت إلى يمين النقطة الثنائية. على النقيض من ذلك، إذا تم استخدام الراديان كوحدة لتخزين الزاوية، فسيتم تكبد عدم الدقة وتكلفة ضرب عدد صحيح المستشعر الخام بتقريب إلى . ${\textstyle {\frac {\pi }{2048}}}$

• الوسائط المتعلقة بـ دالة الجيب في ويكيميديا ​​كومنز