معادلات معدل ثنائي الليزر

تُحاكي معادلات معدل ثنائي الليزر الأداء الكهربائي والبصري لثنائي الليزر. ويربط هذا النظام من المعادلات التفاضلية العادية عدد أو كثافة الفوتونات وحاملات الشحنة ( الإلكترونات ) في الجهاز بتيار الحقن وبمعاملات الجهاز والمادة مثل عمر حامل الشحنة ، وعمر الفوتون، والكسب البصري .

يمكن حل معادلات المعدل عن طريق التكامل العددي للحصول على حل في المجال الزمني ، أو استخدامها لاشتقاق مجموعة من معادلات الحالة المستقرة أو الإشارة الصغيرة للمساعدة في فهم الخصائص الثابتة والديناميكية لأشعة الليزر شبه الموصلة بشكل أكبر .

يمكن صياغة معادلات معدل ثنائي الليزر بتعقيد أكبر أو أقل لنمذجة جوانب مختلفة من سلوك ثنائي الليزر بدقة متفاوتة.

في الصيغة متعددة الأنماط، تمثل معادلات المعدل ^{[ 1 ]} نموذجًا لليزر ذي أنماط بصرية متعددة . تتطلب هذه الصيغة معادلة واحدة لكثافة حاملات الشحنة، ومعادلة واحدة لكثافة الفوتونات في كل نمط من أنماط تجويف الليزر البصري .

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}={\frac {I}{eV}}-{\frac {N}{\tau _{n}}}-\sum _{\mu =1}^{\mu =M}\Gamma _{\mu }G_{\mu }P_{\mu }}$

${\displaystyle {\frac {dP_{\mu }}{dt}}=(\Gamma _{\mu }G_{\mu } - {\frac {1}{\tau _{p}}})P_{\mu }+\beta _{\mu } {\frac {N}{\tau _{r}}}}$

أين: ${\displaystyle {N}}$هي كثافة حاملات الشحنة،${\displaystyle {P}}$هي كثافة الفوتون،${\displaystyle {I}}$التيار المطبق،${\displaystyle {e}}$هي الشحنة الأولية ،${\displaystyle {V}}$يمثل حجم المنطقة النشطة ،${\displaystyle {\tau _{n}}}$عمر الناقل،${\displaystyle {G}}$هو معامل الكسب (s ⁻¹ )،${\displaystyle {\Gamma }}$هو عامل الحصر،${\displaystyle {\tau _{p}}}$عمر الفوتون،${\displaystyle {\beta }}$هو عامل الانبعاث التلقائي،${\displaystyle {\tau _{r}}}$هو ثابت زمن إعادة التركيب الإشعاعي،${\displaystyle {M}}$يمثل عدد الأنماط التي تم نمذجتها، وμ هو رقم النمط، والرمز السفلي${\displaystyle {\mu }}$تمت إضافته إلى${\displaystyle {G}}$،${\displaystyle {\Gamma }}$، و${\displaystyle {\beta }}$للإشارة إلى أن هذه الخصائص قد تختلف باختلاف الأوضاع.

يمثل الحد الأول على الجانب الأيمن من معادلة معدل حاملات الشحنة معدل الإلكترونات المحقونة (${\displaystyle {I/eV}}$أما الحد الثاني فهو معدل استنزاف حاملات الشحنة الناتج عن جميع عمليات إعادة التركيب (الموصوفة بزمن الاضمحلال).${\displaystyle {\tau _{n}}}$) والحد الثالث هو استنزاف الناقل بسبب إعادة التركيب المحفز ، وهو يتناسب مع كثافة الفوتون وكسب الوسط.

في معادلة معدل كثافة الفوتونات، الحد الأول${\displaystyle {\Gamma _{\mu }G_{\mu }P_{\mu }}}$هو معدل زيادة كثافة الفوتونات نتيجة للانبعاث المحفز (وهو نفس الحد في معادلة معدل الناقل، بإشارة موجبة ومضروبًا في عامل الحصر).${\displaystyle {\Gamma }}$أما الحد الثاني فهو معدل خروج الفوتونات من التجويف، سواء للامتصاص الداخلي أو للخروج من المرايا، ويُعبر عنه بثابت زمن الاضمحلال.${\displaystyle {\tau _{p}}}$أما الحد الثالث فهو مساهمة الانبعاث التلقائي من إعادة التركيب الإشعاعي للحامل في نمط الليزر.

${\displaystyle {G_{\mu }}}$، مكسب${\displaystyle \mu }$^{يمكن نمذجة الوضع th} من خلال اعتماد مكافئ للكسب على الطول الموجي على النحو التالي:

${\displaystyle G_{\mu }={\frac {\alpha N[1-(2{\frac {\lambda (t)-\lambda _{\mu }}{\delta \lambda _{g}}})^{2}]-\alpha N_{0}}{1+\epsilon \sum _{\mu =1}^{\mu =M}P_{\mu }}}}$

أين: ${\displaystyle {\alpha }}$يمثل معامل الكسب و ε هو عامل ضغط الكسب (انظر أدناه).${\displaystyle {\lambda _{\mu }}}$هو الطول الموجي لـ${\displaystyle \mu }$الوضع ^{الثالث ،}${\displaystyle \delta \lambda _{g}}$يمثل FWHM العرض الكامل عند نصف القيمة القصوى لمنحنى الكسب، والذي يُعطى مركزه بواسطة

${\displaystyle \lambda (t)=\lambda _{0}+{\frac {k(N_{th}-N(t))}{N_{th}}}}$

أين${\displaystyle \lambda _{0}}$يمثل الطول الموجي المركزي لـ${\displaystyle {N=N_{th}}}$و k هو ثابت الإزاحة الطيفية (انظر أدناه).${\displaystyle N_{th}}$تمثل كثافة حاملات الشحنة عند العتبة، وتُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle N_{th}=N_{tr}+{\frac {1}{\alpha \tau _{p}\Gamma }}}$

أين${\displaystyle N_{tr}}$هي كثافة حاملات الشحنة عند الشفافية.

${\displaystyle \beta _{\mu }}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle \beta _{\mu }={\frac {\beta _{0}}{1+(2(\lambda _{s}-\lambda _{\mu })/\delta \lambda _{s})^{2}}}}$

أين

${\displaystyle \beta _{0}}$هو عامل الانبعاث التلقائي،${\displaystyle \lambda _{s}}$يمثل الطول الموجي المركزي للانبعاث التلقائي و${\displaystyle \delta \lambda _{s}}$يمثل FWHM الانبعاث التلقائي. وأخيرًا،${\displaystyle \lambda _{}}$هو الطول الموجي لـ${\displaystyle \mu }$^{الوضع th} ويُعطى بواسطة

${\displaystyle \lambda _{\mu }=\lambda _{0}-\mu \delta \lambda +{\frac {(n-1)\delta \lambda }{2}}}$

أين${\displaystyle \delta \lambda }$هو تباعد الأنماط.

مصطلح الربح،${\displaystyle G}$لا يمكن أن يكون هذا مستقلاً عن كثافة الطاقة العالية الموجودة في ثنائيات الليزر شبه الموصلة. هناك عدة ظواهر تؤدي إلى "انضغاط" الكسب، وهي تعتمد على القدرة الضوئية. الظاهرتان الرئيسيتان هما احتراق الثقوب المكاني واحتراق الثقوب الطيفي .

يحدث احتراق الثقوب المكانية نتيجةً لطبيعة الموجة المستقرة للأنماط الضوئية. وتؤدي زيادة قدرة الليزر إلى انخفاض كفاءة انتشار حاملات الشحنة، مما يعني أن زمن إعادة التركيب المحفز يصبح أقصر مقارنةً بزمن انتشار حاملات الشحنة. وبالتالي، تُستنفد حاملات الشحنة بشكل أسرع عند قمة الموجة، مما يتسبب في انخفاض كسب النمط.

يرتبط احتراق الثقوب الطيفية بآليات توسيع ملف تعريف الكسب مثل التشتت القصير داخل النطاق والذي يرتبط بكثافة الطاقة.

لمراعاة انضغاط الكسب الناتج عن كثافة الطاقة العالية في ليزرات أشباه الموصلات، يتم تعديل معادلة الكسب بحيث تصبح مرتبطة بمقلوب القدرة الضوئية. ومن ثم، يُضاف الحد التالي إلى مقام معادلة الكسب  :

${\displaystyle 1+\epsilon \sum _{\mu =1}^{\mu =M}P_{\mu }}$

يحدث انزياح الطول الموجي الديناميكي في ليزرات أشباه الموصلات نتيجة لتغير معامل الانكسار في المنطقة الفعالة أثناء تعديل شدة الضوء. ويمكن تقييم هذا الانزياح بتحديد تغير معامل الانكسار في المنطقة الفعالة نتيجة لحقن حاملات الشحنة. وقد أظهر تحليل شامل للانزياح الطيفي أثناء التعديل المباشر أن معامل انكسار المنطقة الفعالة يتناسب طرديًا مع كثافة حاملات الشحنة، وبالتالي يتناسب الطول الموجي طرديًا مع التيار المحقون.

تجريبياً، يمكن الحصول على تطابق جيد مع تغير الطول الموجي من خلال:

${\displaystyle \delta \lambda =k\left({\sqrt {\frac {I_{0}}{I_{th}}}}-1\right)}$

أين${\displaystyle I_{0}}$هو التيار المحقون و${\displaystyle I_{th}}$هو تيار عتبة الليزر.