معيار لوسون

معيار لوسون هو مقياس جودة يُستخدم في أبحاث الاندماج النووي . يقارن هذا المعيار معدل الطاقة المتولدة من تفاعلات الاندماج داخل وقود الاندماج بمعدل فقد الطاقة إلى البيئة. عندما يكون معدل الإنتاج أعلى من معدل الفقد، يُنتج النظام طاقة صافية. إذا تم امتصاص كمية كافية من هذه الطاقة بواسطة الوقود، يصبح النظام مكتفيًا ذاتيًا ويُقال إنه قد اشتعل .

تم تطوير هذا المفهوم لأول مرة بواسطة جون د. لوسون في ورقة بحثية سرية عام 1955 ^{[ 1 ]} والتي تم رفع السرية عنها ونشرها في عام 1957. ^{[ 2 ]} كما تم صياغتها في الأصل، فإن معيار لوسون يعطي الحد الأدنى المطلوب لحاصل ضرب كثافة البلازما (الإلكترون) n _e و " زمن احتواء الطاقة ".${\displaystyle \tau _{E}}$وهذا يؤدي إلى إنتاج صافي للطاقة.

أشارت التحليلات اللاحقة إلى أن مقياس الجدارة الأكثر فائدة هو حاصل الضرب الثلاثي للكثافة ووقت الحصر ودرجة حرارة البلازما T. كما أن لحاصل الضرب الثلاثي قيمة دنيا مطلوبة، وقد يشير اسم "معيار لوسون" إلى هذه القيمة.

في 8 أغسطس 2021، أكد باحثون في مرفق الإشعال الوطني التابع لمختبر لورانس ليفرمور الوطني في كاليفورنيا نجاحهم في تحقيق أول إشعال ناجح لتفاعل اندماج نووي، متجاوزين بذلك معايير لوسون في التجربة. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

يتمثل المفهوم الأساسي لمعيار لوسون في دراسة توازن الطاقة لأي محطة طاقة اندماجية تستخدم البلازما الساخنة. ويوضح ذلك ما يلي:

القدرة الصافية = الكفاءة × (الاندماج - فقدان الإشعاع - فقدان التوصيل)

1. الطاقة الصافية هي الطاقة الزائدة عن تلك اللازمة داخليًا لاستمرار العملية في أي محطة طاقة اندماجية.
2. الكفاءة هي مقدار الطاقة اللازمة لتشغيل الجهاز ومدى جودة جمعه للطاقة من التفاعلات.
3. الاندماج هو معدل الطاقة المتولدة من تفاعلات الاندماج.
4. فقدان الإشعاع هو الطاقة المفقودة على شكل ضوء (بما في ذلك الأشعة السينية ) يغادر البلازما.
5. فقدان التوصيل هو الطاقة المفقودة عندما تغادر الجسيمات البلازما، حاملةً معها الطاقة.

قام لوسون بحساب معدل الاندماج بافتراض أن مفاعل الاندماج يحتوي على سحابة بلازما ساخنة ذات منحنى غاوسي لطاقات الجسيمات الفردية، وتوزيع ماكسويل-بولتزمان الذي يتميز بدرجة حرارة البلازما. وبناءً على هذا الافتراض، قدّر الحد الأول، وهو طاقة الاندماج المنتجة، باستخدام معادلة الاندماج الحجمي. ^{[ 5 ]}

الاندماج = كثافة عدد جزيئات الوقود أ × كثافة عدد جزيئات الوقود ب × المقطع العرضي (درجة الحرارة) × الطاقة لكل تفاعل

1. الاندماج هو معدل طاقة الاندماج التي تنتجها البلازما
2. الكثافة العددية هي الكثافة بالجسيمات لكل وحدة حجم من أنواع الوقود المعنية (أو نوع واحد من الوقود فقط، في بعض الحالات).
3. المقطع العرضي هو مقياس لاحتمالية حدوث حدث اندماج نووي، والذي يعتمد على درجة حرارة البلازما.
4. الطاقة لكل تفاعل هي الطاقة المنطلقة في كل تفاعل اندماجي

تُحسب هذه المعادلة عادةً كمعدل لمجموعة من الأيونات ذات التوزيع الطبيعي . والنتيجة هي كمية الطاقة التي ينتجها البلازما في أي لحظة زمنية.

ثم قام لوسون بتقدير ^{[ 5 ]} خسائر الإشعاع باستخدام المعادلة التالية:

$${\displaystyle P_{B}=1.4\times 10^{-34}\cdot n^{2}\cdot T^{1/2}\;{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {cm} ^{3}}}}$$

حيث n هي كثافة عدد الجسيمات في السحابة و T هي درجة الحرارة . في تحليله، يتجاهل لوسون فقدان الطاقة بالتوصيل. في الواقع، هذا شبه مستحيل؛ فجميع الأنظمة تقريبًا تفقد الطاقة من خلال انتقال الجسيمات، حيث تغادر الكتلة البلازما حاملةً معها طاقتها.

من خلال مساواة فقدان الإشعاع ومعدلات الاندماج الحجمي، قدّر لوسون الحد الأدنى لدرجة الحرارة اللازمة لاندماج تفاعل الديوتيريوم - التريتيوم (DT).

${\displaystyle _{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{3}\mathrm {T} \rightarrow \,_{2}^{4}\mathrm {He} \left(3.5\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{0}^{1}\mathrm {n} \left(14.1\,\mathrm {MeV} \right)}$

لتكون 30 مليون درجة (2.6 كيلو إلكترون فولت)، ولتفاعل الديوتيريوم - الديوتيريوم (DD).

${\displaystyle _{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{2}\mathrm {D} \rightarrow \,_{1}^{3}\mathrm {T} \left(1.0\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{1}^{1}\mathrm {p} \left(3.0\,\mathrm {MeV} \right)}$

لتصل درجة حرارتها إلى 150 مليون درجة (12.9 كيلو إلكترون فولت). ^{[ 2 ] [ 6 ]}

مدة الحبس${\displaystyle \tau _{E}}$يقيس معدل فقدان النظام للطاقة إلى بيئته. كلما زاد معدل فقدان الطاقة،${\displaystyle P_{\mathrm {loss} }}$كلما قصر زمن احتواء الطاقة، زادت كثافة الطاقة.${\displaystyle W}$(محتوى الطاقة لكل وحدة حجم) مقسومًا على كثافة فقد الطاقة${\displaystyle P_{\mathrm {loss} }}$(معدل فقد الطاقة لكل وحدة حجم):

${\displaystyle \tau _{E}={\frac {W}{P_{\mathrm {loss} }}}}$

لكي يعمل مفاعل الاندماج النووي في حالة مستقرة، يجب الحفاظ على درجة حرارة ثابتة لبلازما الاندماج. ولذلك، يجب إضافة الطاقة الحرارية بنفس معدل فقدان البلازما للطاقة للحفاظ على ظروف الاندماج. ويمكن توفير هذه الطاقة من خلال تفاعلات الاندماج نفسها، وذلك بحسب نوع التفاعل، أو من خلال توفير تسخين إضافي عبر طرق متنوعة.

للتوضيح، سيتم هنا اشتقاق معيار لوسون لتفاعل الديوتيريوم-التريتيوم، ولكن يمكن تطبيق المبدأ نفسه على أنواع وقود الاندماج الأخرى. وسيُفترض أيضًا أن جميع الأنواع لها نفس درجة الحرارة، وأنه لا توجد أيونات أخرى غير أيونات الوقود (لا شوائب ولا رماد هيليوم)، وأن الديوتيريوم والتريتيوم موجودان في الخليط الأمثل بنسبة 50-50. وبالتالي، فإن كثافة ^{الأيونات} تساوي كثافة الإلكترونات، وتُعطى كثافة طاقة كل من الإلكترونات والأيونات معًا، وفقًا لقانون الغاز المثالي ، بالعلاقة التالية:

${\displaystyle W=3nT}$

أين${\displaystyle T}$هي درجة الحرارة بوحدة الإلكترون فولت (eV) و${\displaystyle n}$هي كثافة الجسيمات.

معدل الحجم${\displaystyle f}$(عدد التفاعلات لكل وحدة حجم لكل وحدة زمن) لتفاعلات الاندماج النووي هو

${\displaystyle f=n_{\mathrm {d} }n_{\mathrm {t} }\langle \sigma v\rangle ={\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle }$

أين${\displaystyle \sigma }$هو المقطع العرضي للانصهار ،${\displaystyle v}$هي السرعة النسبية ، و${\displaystyle \langle \rangle }$يشير إلى متوسط ​​توزيع سرعة ماكسويل عند درجة الحرارة${\displaystyle T}$.

معدل التسخين الحجمي الناتج عن الانصهار هو${\displaystyle f}$أوقات${\displaystyle E_{\mathrm {ch} }}$طاقة نواتج الاندماج المشحونة (لا يمكن للنيوترونات أن تساعد في تسخين البلازما). في حالة تفاعل الديوتيريوم-التريتيوم،${\displaystyle E_{\mathrm {ch} }=3.5\,\mathrm {MeV} }$.

يشترط معيار لوسون أن يتجاوز التسخين الناتج عن الاندماج الخسائر:

${\displaystyle fE_{\rm {ch}}\geq P_{\rm {loss}}}$

بالتعويض بالكميات المعروفة نحصل على:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle E_{\rm {ch}}\geq {\frac {3nT}{\tau _{E}}}}$

ينتج عن إعادة ترتيب المعادلة ما يلي:

${\displaystyle n\tau _{\rm {E}}\geq L\equiv {\frac {12T}{E_{\rm {ch}}\langle \sigma v\rangle }}}$

1

الكمية${\displaystyle T/\langle \sigma v\rangle }$هي دالة لدرجة الحرارة ولها قيمة دنيا مطلقة. استبدال الدالة بقيمتها الدنيا يوفر حدًا أدنى مطلقًا للمنتج${\displaystyle n\tau _{E}}$هذا هو معيار لوسون.

بالنسبة لتفاعل الديوتيريوم - التريتيوم ، فإن القيمة الفيزيائية لا تقل عن

${\displaystyle n\tau _{E}\geq 1.5\cdot 10^{20}{\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {m} ^{3}}}}$

يحدث الحد الأدنى للمنتج بالقرب من${\displaystyle T=26\,\mathrm {keV} }$.

يُعدّ "الناتج الثلاثي" للكثافة ودرجة الحرارة وزمن الحصر، nT τ _E ، مقياسًا أكثر فائدةً للجودة. في معظم مفاهيم الحصر، سواءً كان حصرًا بالقصور الذاتي أو حصرًا مرآويًا أو حصرًا حلقيًا، يمكن تغيير الكثافة ودرجة الحرارة ضمن نطاق واسع نسبيًا، بينما يظل أقصى ضغط يمكن بلوغه p ثابتًا. في هذه الحالة، تتناسب كثافة طاقة الاندماج طرديًا مع ^p² < σ v >/ T² . وبالتالي ^، تُبلغ أقصى طاقة اندماج متاحة من جهاز معين عند درجة الحرارة T حيث تكون <σ v >/ T² في أقصى قيمة ^لها . وبمتابعة الاشتقاق السابق، يمكن استنتاج المتباينة التالية بسهولة:  

${\displaystyle nT\tau _{\rm {E}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}}$

الكمية${\displaystyle {\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}}$كما أنها دالة لدرجة الحرارة، حيث تصل إلى أدنى قيمة مطلقة عند درجة حرارة أقل قليلاً من${\displaystyle {\frac {T}{\langle \sigma v\rangle }}}$.

بالنسبة لتفاعل DT، تحدث القيمة الدنيا عند درجة حرارة T  =  14 كيلو إلكترون فولت. ويمكن تقريب  متوسط ​​<σ v > في نطاق درجة الحرارة هذا على النحو التالي ^{[ 7 ].}

${\displaystyle \left\langle \sigma v\right\rangle =1.1\cdot 10^{-24}T^{2}\;{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}\,{\rm {,}}\quad {\rm {T\,in\,keV}}{\rm {,}}}$

لذا فإن القيمة الدنيا لقيمة حاصل الضرب الثلاثي عند درجة حرارة  14  كيلو إلكترون  فولت هي حوالي

${\displaystyle {\begin{matrix}nT\tau _{E}&\geq &{\frac {12\cdot 14^{2}\cdot {\rm {keV}}^{2}}{1.1\cdot 10^{-24}{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}14^{2}\cdot 3500\cdot {\rm {keV}}}}\approx 3\cdot 10^{21}{\mbox{keV s}}/{\mbox{m}}^{3}\\\end{matrix}}(3.5\cdot 10^{28}{\mbox{K s}}/{\mbox{m}}^{3})}$

لم يُحقق هذا الرقم بعد في أي مفاعل، على الرغم من أن أحدث أجيال المفاعلات قد اقتربت منه. فقد سجل مفاعل JT-60 كثافة طاقة تبلغ 1.53 × 10²¹ كيلو إلكترون فولت ^{/ سم³} . ^{[ 8 ]} على سبيل المثال، حقق مفاعل TFTR الكثافات وفترات عمر الطاقة اللازمة لتحقيق درجة حرارة لوسون عند درجات الحرارة التي يمكنه توليدها، ولكنه لا يستطيع توليد هذه الدرجات في الوقت نفسه. ويهدف مفاعل ITER إلى تحقيق كلا الأمرين.

أما بالنسبة لأجهزة التوكاماك ، فهناك دافع خاص لاستخدام الضرب الثلاثي. تجريبياً، وُجد أن زمن احتواء الطاقة τE يتناسب تقريباً مع n¹ ^/³ / P² ^{/ ³} . في بلازما مشتعلة بالقرب من درجة الحرارة المثلى، تتساوى قدرة التسخين P ^{مع قدرة الاندماج، وبالتالي تتناسب مع n²T²} . _يتناسب الضرب الثلاثي مع  

${\displaystyle {\begin{matrix}nT\tau _{E}&\propto &nT\left(n^{1/3}/P^{2/3}\right)\\&\propto &nT\left(n^{1/3}/\left(n^{2}T^{2}\right)^{2/3}\right)\\&\propto &T^{-1/3}\\\end{matrix}}}$

يعتمد حاصل الضرب الثلاثي بشكل طفيف فقط على درجة الحرارة، حيث T  ^{= 1/3} . وهذا ما يجعل حاصل الضرب الثلاثي مقياسًا مناسبًا لكفاءة نظام الحصر.

ينطبق معيار لوسون على الاندماج بالقصور الذاتي (ICF) وكذلك على الاندماج بالحصر المغناطيسي (MCF)، ولكن في حالة القصور الذاتي، يُعبَّر عنه بشكل أكثر فائدة بصيغة مختلفة. وهو تقريب جيد لزمن الحصر بالقصور الذاتي.${\displaystyle \tau _{E}}$هو الزمن الذي يستغرقه الأيون لقطع مسافة R بسرعة حرارية

${\displaystyle v_{th}={\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}$

حيث يرمز m _i إلى متوسط ​​الكتلة الأيونية. زمن الحصر بالقصور الذاتي${\displaystyle \tau _{E}}$وبالتالي يمكن تقريبها على النحو التالي

${\displaystyle {\begin{matrix}\tau _{E}&\approx &{\frac {R}{v_{th}}}\\\\&=&{\frac {R}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}\\\\&=&R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{\rm {B}}T}}}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}}$

وبإدخال التعبير أعلاه في العلاقة ( 1 )، نحصل على

${\displaystyle {\begin{matrix}n\tau _{E}&\approx &n\cdot R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{B}T}}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {k_{\rm {B}}T}{\langle \sigma v\rangle }}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle \cdot m_{i}^{1/2}}}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle }}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}}$

يجب أن يكون هذا الناتج أكبر من قيمة مرتبطة بالحد الأدنى لـ T  ^3/2 /<σv>. ويُعبَّر عن الشرط نفسه تقليديًا بدلالة كثافة الكتلة ρ  =  < nm _i >:

${\displaystyle \rho \cdot R\geq 1\mathrm {g} /\mathrm {cm} ^{2}}$

يتطلب تحقيق هذا المعيار عند كثافة الديوتيريوم-تريتيوم الصلب (0.2 جم/سم³ ) نبضة ليزر ذات طاقة هائلة غير معقولة. بافتراض أن الطاقة المطلوبة تتناسب طرديًا مع كتلة بلازما الاندماج ( E laser  ~ ρR³ ~ ρ⁻² )، فإن ضغط الوقود إلى 10³ أو 10⁴ ضعف كثافته الصلبة سيقلل الطاقة المطلوبة بمعامل 10⁶ أو 10⁸ ، مما يجعلها ضمن نطاق معقول. مع ضغط بمقدار 10³ ، ستكون الكثافة المضغوطة 200 جم/سم³ ، ويمكن أن يصل نصف القطر المضغوط إلى 0.05 مم. سيكون نصف قطر الوقود قبل الضغط 0.5 مم. قد يكون حجم الحبيبة الأولية ضعف حجمها الأصلي تقريبًا، نظرًا لأن معظم كتلتها ستُزال أثناء الضغط.  

يُعدّ حاصل ضرب قدرة الاندماج في الكثافة مؤشرًا جيدًا لتحديد درجة الحرارة المثلى للحصر المغناطيسي، ولكن في حالة الحصر بالقصور الذاتي، يُرجّح أن يكون الاحتراق الجزئي للوقود أكثر فائدة. يجب أن يكون الاحتراق متناسبًا مع معدل التفاعل النوعي ( ^n² < σv > ) مضروبًا في زمن الحصر (الذي يتناسب مع T⁻¹ ^/² ) مقسومًا على كثافة الجسيمات n . 

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{burn-up fraction }}&\propto &n^{2}\langle \sigma v\rangle T^{-1/2}/n\\&\propto &\left(nT\right)\langle \sigma v\rangle /T^{3/2}\\\end{matrix}}}$

وبالتالي فإن درجة الحرارة المثلى للاندماج بالقصور الذاتي تزيد من <σv>/ T ^3/2 ، وهي أعلى قليلاً من درجة الحرارة المثلى للاندماج المغناطيسي.

يعتمد تحليل لوسون على معدل الاندماج وفقدان الطاقة في البلازما الحرارية. وهناك فئة من أجهزة الاندماج لا تستخدم البلازما الحرارية، بل تُسرّع الأيونات الفردية مباشرةً إلى الطاقات المطلوبة. ومن أشهر الأمثلة على ذلك: جهاز ميغما ، وجهاز فيوزر ، وجهاز بوليويل .

عند تطبيق تحليل لوسون على جهاز الاندماج النووي، يُستخدم كحجة على أن فقدان الطاقة بالتوصيل والإشعاع هما العائقان الرئيسيان أمام الوصول إلى الطاقة الصافية. يستخدم جهاز الاندماج النووي انخفاض الجهد لتسريع الأيونات وتصادمها، مما يؤدي إلى الاندماج النووي. ^{[ 9 ]} يتولد انخفاض الجهد بواسطة أقفاص سلكية، وهذه الأقفاص تنقل الجسيمات بعيدًا.

تُعدّ البوليويلات تحسينات على هذا التصميم، وهي مصممة لتقليل فقد الطاقة عن طريق إزالة الأقفاص السلكية التي تُسببه. ^{[ 10 ]} ومع ذلك، يُقال إن الإشعاع لا يزال يُمثل عائقًا رئيسيًا. ^{[ 11 ]}

• عامل كسب طاقة الاندماج ( Q )

^أ من السهل التخلي عن هذه الافتراضات. السؤال الأصعب هو كيفية تعريف${\displaystyle n}$عندما يختلف الأيون والإلكترون في الكثافة ودرجة الحرارة. ونظرًا لأن هذا حساب لإنتاج الطاقة وفقدانها بواسطة الأيونات، ولأن أي مفهوم لحصر البلازما يجب أن يتضمن قوى ضغط البلازما، يبدو من المناسب تعريف الكثافة الفعالة (للإلكترون).${\displaystyle n}$من خلال الضغط (الكلي)${\displaystyle p}$مثل${\displaystyle n=p/2T_{\mathrm {i} }}$عامل${\displaystyle 2}$تم تضمينه لأن${\displaystyle n}$يشير عادةً إلى كثافة الإلكترونات وحدها، ولكن${\displaystyle p}$يشير هنا إلى الضغط الكلي. بافتراض وجود نوعين بكثافات أيونية${\displaystyle n_{1,2}}$الأرقام الذرية${\displaystyle Z_{1,2}}$درجة حرارة الأيونات${\displaystyle T_{\mathrm {i} }}$ودرجة حرارة الإلكترون${\displaystyle T_{\mathrm {e} }}$من السهل إثبات أن طاقة الاندماج النووي تصل إلى أقصى حد لها بواسطة مزيج الوقود المعطى بواسطة${\displaystyle n_{1}/n_{2}=(1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/(1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })}$القيم لـ${\displaystyle n\tau }$،${\displaystyle nT\tau }$ويجب ضرب كثافة الطاقة في العامل${\displaystyle (1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })\cdot (1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/4}$على سبيل المثال، مع البروتونات والبورون (${\displaystyle Z=5}$) كوقود، وهو عامل آخر من عوامل${\displaystyle 3}$يجب تضمينها في الصيغ. من ناحية أخرى، بالنسبة للإلكترونات الباردة، يجب قسمة جميع الصيغ على${\displaystyle 4}$(بدون عامل إضافي لـ${\displaystyle Z>1}$).

• الاشتقاق الرياضي ، مؤرشف عام 2019 من الأصل