السرعة النسبية

نبدأ بالحركة النسبية في النظرية الكلاسيكية (أو غير النسبية ، أو تقريب نيوتن )، حيث تكون جميع السرعات أقل بكثير من سرعة الضوء. يرتبط هذا الحد بتحويل غاليليو . يوضح الشكل رجلاً على سطح قطار، عند حافته الخلفية. في تمام الساعة الواحدة ظهرًا، بدأ الرجل بالسير للأمام بسرعة 10  كيلومترات في الساعة. يتحرك القطار بسرعة 40  كيلومترًا في الساعة. يصور الشكل الرجل والقطار في وقتين مختلفين: أولًا، عند بدء الرحلة، وثانيًا بعد ساعة واحدة في تمام الساعة الثانية ظهرًا. يشير الشكل إلى أن الرجل يبعد 50  كيلومترًا عن نقطة البداية بعد أن سافر (سيرًا وبالقطار) لمدة ساعة. هذا، بحسب التعريف، يساوي 50  كيلومترًا في الساعة، مما يعني أن طريقة حساب السرعة النسبية بهذه الطريقة هي جمع السرعتين.

يُظهر الرسم التخطيطي الساعات والمساطر لتذكير القارئ بأنه على الرغم من أن المنطق الكامن وراء هذه الحسابات يبدو سليمًا، إلا أنه يقوم على افتراضات خاطئة حول كيفية عمل الساعات والمساطر. (انظر تجربة القطار والمنصة الفكرية ). ولإدراك أن هذا النموذج الكلاسيكي للحركة النسبية يخالف النسبية الخاصة ، نعمم المثال في معادلة:

${\displaystyle \underbrace {\mathbf {v} _{M\mid E}} _{\text{50 km/h}}=\underbrace {\mathbf {v} _{M\mid T}} _{\text{10 km/h}}+\underbrace {\mathbf {v} _{T\mid E}} _{\text{40 km/h}},}$

أين:

${\displaystyle \mathbf {v} _{M\mid E}}$هل سرعة الجسم M بالنسبة للأرض E ؟

${\displaystyle \mathbf {v} _{M\mid T}}$هل سرعة القطار M بالنسبة للقطار T ؟

${\displaystyle \mathbf {v} _{T\mid E}}$هي سرعة القطار T بالنسبة للأرض E.

تشمل التعبيرات الصحيحة تمامًا لـ "سرعة A بالنسبة إلى B" ما يلي: "سرعة A بالنسبة إلى B" و"سرعة A في نظام الإحداثيات حيث يكون B دائمًا في حالة سكون". ويحدث انتهاك النسبية الخاصة لأن هذه المعادلة للسرعة النسبية تتنبأ بشكل خاطئ بأن المراقبين المختلفين سيقيسون سرعات مختلفة عند رصد حركة الضوء. ^{[ ملاحظة 1 ]}

يوضح الشكل جسمين A و B يتحركان بسرعة ثابتة. معادلات الحركة هي:

${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {v} _{A}t,}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\mathbf {r} _{Bi}+\mathbf {v} _{B}t,}$

حيث يشير الرمز السفلي i إلى الإزاحة الابتدائية (عند الزمن t يساوي صفرًا). الفرق بين متجهي الإزاحة،${\displaystyle \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}}$يمثل موقع النقطة B كما يُرى من النقطة A.

${\displaystyle \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}=\underbrace {\mathbf {r} _{Bi}-\mathbf {r} _{Ai}} _{\text{الفصل الأولي}}+\underbrace {(\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A})t} _{\text{نسبي سرعة}}.}$

لذلك:

${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A}.}$

بعد إجراء التغييرات${\displaystyle \mathbf {v} _{A|C}=\mathbf {v} _{A}}$و${\displaystyle \mathbf {v} _{B|C}=\mathbf {v} _{B}}$لدينا:

${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B\mid C}-\mathbf {v} _{A\mid C}\Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid C}=\mathbf {v} _{B\mid A}+\mathbf {v} _{A\mid C}.}$

لبناء نظرية للحركة النسبية تتوافق مع نظرية النسبية الخاصة، يجب علينا اعتماد اصطلاح مختلف. بالاستمرار في العمل في الحد النيوتني (غير النسبي) ، نبدأ بتحويل غاليليو في بُعد واحد: ^{[ ملاحظة 2 ]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle t'=t}$

حيث يمثل x' الموضع كما يراه إطار مرجعي يتحرك بسرعة v في الإطار المرجعي "غير المميز" (x). ^{[ ملاحظة 3 ]} بأخذ تفاضل المعادلة الأولى من المعادلتين أعلاه، نحصل على:${\displaystyle dx'=dx-v\,dt}$وما قد يبدو وكأنه البيان البديهي ^{[ ملاحظة 4 ]} الذي${\displaystyle dt'=dt}$لدينا:

${\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v}$

لاستعادة التعبيرات السابقة للسرعة النسبية، نفترض أن الجسيم A يتبع المسار المحدد بواسطة dx/dt في الإطار المرجعي غير المميز (وبالتالي dx ′ / dt ′ في الإطار المميز). وبالتالي${\displaystyle dx/dt=v_{A\mid O}}$و${\displaystyle dx'/dt=v_{A\mid O'}}$، أين${\displaystyle O}$و${\displaystyle O'}$يشير هذا إلى حركة الجسم A كما يراها مراقب في الإطار غير المُؤشَّر والإطار المُؤشَّر، على التوالي. تذكر أن v هي حركة جسم ساكن في الإطار المُؤشَّر، كما تُرى من الإطار غير المُؤشَّر. وبالتالي لدينا${\displaystyle v=v_{O'\mid O}}$، و:

${\displaystyle v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O'\mid O},}$

حيث يتمتع الشكل الأخير بالتناظر المطلوب (الذي يسهل تعلمه).

في حالة تحرك جسمين في اتجاهين متوازيين، فإن الصيغة النسبية للسرعة النسبية تشبه في شكلها صيغة جمع السرعات النسبية.

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

تُعطى السرعة النسبية بالصيغة التالية:

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\right|}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

في حالة تحرك جسمين في اتجاهين متعامدين، تكون السرعة النسبية النسبية${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$ويتم حسابه بالصيغة التالية:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}$

أين

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

تُعطى السرعة النسبية بالصيغة التالية

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}}{c}}}$

الصيغة العامة للسرعة النسبية${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$يتم إعطاء قيمة جسم أو مراقب B في الإطار المرجعي لجسم أو مراقب آخر A بواسطة الصيغة التالية: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }+\mathbf {v} _{\mathrm {A} }(\gamma _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\right]}$

أين

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

تُعطى السرعة النسبية بالصيغة التالية

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\sqrt {1-{\frac {\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}{\left(c^{2}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }\right)^{2}}}}}\cdot c}$