الدوال الكسرية لليجندر

في الرياضيات ، تُعرف الدوال الكسرية لليجندر بأنها متتالية من الدوال المتعامدة على الفترة [ 0, ∞) . ويتم الحصول عليها من خلال تركيب تحويل كايلي مع كثيرات حدود ليجندر . 

تُعرَّف دالة ليجندر النسبية من الدرجة n على النحو التالي:$${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)}$$ أين${\displaystyle P_{n}(x)}$هي متعددة حدود ليجندر. هذه الدوال هي دوال ذاتية لمسألة ستورم-ليوفيل الشاذة : $${\displaystyle (x+1){\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\left[\left(x+1\right)v(x)\right]\right)+\lambda v(x)=0}$$ مع القيم الذاتية $${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,}$$

يمكن استخلاص العديد من الخصائص من خصائص كثيرات حدود ليجندر من النوع الأول. أما الخصائص الأخرى فهي فريدة للدوال نفسها.

السلوك المقيد

يمكن إثبات ذلك $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(x+1)R_{n}(x)={\sqrt {2}}}$$ و $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\partial _{x}((x+1)R_{n}(x))=0}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{0}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,1\\R_{1}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,{\frac {x-1}{x+1}}\\R_{2}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,{\frac {x^{2}-4x+1}{(x+1)^{2}}}\\R_{3}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,{\frac {x^{3}-9x^{2}+9x-1}{(x+1)^{3}}}\\R_{4}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,{\frac {x^{4}-16x^{3}+36x^{2}-16x+1}{(x+1)^{4}}}\end{aligned}}}$$

• تشونغ تشينغ، وانغ؛ بن يو، قوه (2005). "طريقة طيفية مختلطة لتدفق السوائل اللزجة غير القابلة للضغط في شريط لا نهائي" . الرياضيات الحسابية والتطبيقية . 24 (3). Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional. دوى : 10.1590/S0101-82052005000300002 .