كثيرات حدود ليجندر

في هذا النهج، تُعرَّف كثيرات الحدود كنظام متعامد بالنسبة لدالة الوزن${\displaystyle w(x)=1}$خلال الفترة${\displaystyle [-1,1]}$. إنه،${\displaystyle P_{n}(x)}$هي متعددة حدود من الدرجة${\displaystyle n}$بحيث $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad {\text{if }}n\neq m.}$$

مع شرط التقييس الإضافي${\displaystyle P_{n}(1)=1}$يمكن تحديد جميع كثيرات الحدود بشكل فريد. ثم نبدأ عملية البناء:${\displaystyle P_{0}(x)=1}$هي متعددة الحدود الوحيدة المعيارية بشكل صحيح من الدرجة 0.${\displaystyle P_{1}(x)}$يجب أن يكون متعامدًا مع${\displaystyle P_{0}}$مما يؤدي إلى${\displaystyle P_{1}(x)=x}$، و${\displaystyle P_{2}(x)}$يتم تحديد ذلك من خلال اشتراط التعامد على${\displaystyle P_{0}}$و${\displaystyle P_{1}}$وهكذا دواليك.${\displaystyle P_{n}}$يتم تحديد ذلك من خلال اشتراط التعامد على جميع${\displaystyle P_{m}}$مع${\displaystyle m<n}$وهذا يعطي${\displaystyle n}$الشروط، التي، إلى جانب التقييس${\displaystyle P_{n}(1)=1}$يُصلح كل شيء${\displaystyle n+1}$المعاملات في${\displaystyle P_{n}(x)}$باستخدام العمل، يمكن تحديد جميع معاملات كل متعددة حدود بشكل منهجي، مما يؤدي إلى التمثيل الصريح في قوى${\displaystyle x}$موضح أدناه.

هذا تعريف لـ${\displaystyle P_{n}}$هذا هو أبسطها. فهو لا يعتمد على نظرية المعادلات التفاضلية. ثانيًا، تتحقق اكتمال كثيرات الحدود مباشرةً من اكتمال القوى 1.${\displaystyle x,x^{2},x^{3},\ldots }$وأخيرًا، من خلال تعريفها عبر التعامد بالنسبة لمقياس ليبيغ على${\displaystyle [-1,1]}$يُصنِّف هذا النظام كثيرات حدود ليجندر كواحدة من أنظمة كثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية الثلاثة . أما النظامان الآخران فهما كثيرات حدود لاغير ، وهي متعامدة على نصف الخط.${\displaystyle [0,\infty )}$مع الوزن${\displaystyle e^{-x}}$ومتعددات حدود هيرميت ، المتعامدة على الخط الكامل${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$مع الوزن${\displaystyle e^{-x^{2}}}$.

يمكن تعريف كثيرات حدود ليجندر أيضًا على أنها معاملات في توسيع رسمي بدلالة قوى${\displaystyle t}$الدالة المولدة ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\,.}$$

2

معامل${\displaystyle t^{n}}$هي متعددة الحدود في${\displaystyle x}$درجة علمية${\displaystyle n}$مع${\displaystyle |x|\leq 1}$. التوسع حتى${\displaystyle t^{1}}$أعطِ $${\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x.}$$ يصبح التوسع إلى رتب أعلى أكثر صعوبة، ولكنه من الممكن القيام بذلك بشكل منهجي، ويؤدي مرة أخرى إلى أحد الأشكال الصريحة الواردة أدناه.

من الممكن الحصول على أعلى${\displaystyle P_{n}}$مع ذلك، يمكن تحقيق ذلك دون اللجوء إلى التوسع المباشر لمتسلسلة تايلور . يتم اشتقاق المعادلة 2 بالنسبة إلى t من كلا الجانبين وإعادة ترتيبها للحصول على  $${\displaystyle {\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.}$$ باستبدال ناتج قسمة الجذر التربيعي بتعريفه في المعادلة 2 ، ومساواة معاملات قوى t في التوسع الناتج، نحصل على صيغة بونيه التكرارية. $${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.}$$ تسمح هذه العلاقة، إلى جانب أول كثيرتي حدود P ₀ و P ₁ ، بتوليد كل الباقي بشكل متكرر.

يرتبط نهج الدالة المولدة بشكل مباشر بتوسيع متعدد الأقطاب في علم الكهرباء الساكنة، كما هو موضح أدناه، وهي الطريقة التي تم بها تعريف كثيرات الحدود لأول مرة بواسطة ليجندر في عام 1782.

أما التعريف الثالث فيكون من حيث حلول معادلة ليجندر التفاضلية :

$${\displaystyle (1-x^{2})P_{n}''(x)-2xP_{n}'(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.}$$

1

تحتوي هذه المعادلة التفاضلية على نقاط شاذة منتظمة عند x = ±1، لذا إذا تم البحث عن حل باستخدام طريقة فروبينيوس أو متسلسلة القوى القياسية، فإن المتسلسلة حول نقطة الأصل لن تتقارب إلا عندما | x | < 1 بشكل عام. عندما يكون n عددًا صحيحًا، فإن الحل Pn ₍ x ) المنتظم عند x = 1 يكون منتظمًا أيضًا عند x = −1 ، وتنتهي متسلسلة هذا الحل (أي أنها متعددة حدود). يتضح تعامد هذه الحلول واكتمالها بشكل أفضل من منظور نظرية ستورم-ليوفيل . نعيد كتابة المعادلة التفاضلية كمسألة قيم ذاتية. $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}P(x)\right)=-\lambda P(x)\,,}$$ مع القيمة الذاتية${\displaystyle \lambda }$بدلا من${\displaystyle n(n+1)}$هذه معادلة ستورم-ليوفيل مع${\displaystyle p=1-x^{2},q=0,w=1}$.

إذا اشترطنا أن يكون الحل منتظمًا عند ${\displaystyle x=\pm 1}$، المؤثر التفاضلي على اليسار هيرميتي . وقد وُجد أن القيم الذاتية تأخذ الشكل n ( n +1) ، مع${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$والدوال الذاتية هي${\displaystyle P_{n}(x)}$. إن تعامد واكتمال هذه المجموعة من الحلول ينبعان مباشرة من الإطار الأوسع لنظرية ستورم-ليوفيل.

تقبل المعادلة التفاضلية حلاً آخر غير متعدد الحدود، وهو دوال ليجندر من النوع الثاني${\displaystyle Q_{n}}$يُطلق على تعميم المعادلة ( 1 ) ذي المعلمتين اسم معادلة ليجندر التفاضلية العامة ، والتي تُحل باستخدام كثيرات حدود ليجندر المرتبطة بها . دوال ليجندر هي حلول لمعادلة ليجندر التفاضلية (سواء كانت معممة أم لا) ذات معلمات غير صحيحة . 

في السياقات الفيزيائية، تنشأ معادلة ليجندر التفاضلية بشكل طبيعي عند حل معادلة لابلاس ( والمعادلات التفاضلية الجزئية ذات الصلة ) بفصل المتغيرات في الإحداثيات الكروية . من هذا المنطلق، فإن الدوال الذاتية للجزء الزاوي من مؤثر لابلاس هي التوافقيات الكروية ، والتي تُمثل كثيرات حدود ليجندر (حتى ثابت ضربي) المجموعة الجزئية التي تبقى ثابتة عند الدوران حول المحور القطبي. تظهر كثيرات الحدود على النحو التالي:${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$أين${\displaystyle \theta }$هي الزاوية القطبية. يوفر هذا النهج لكثيرات حدود ليجندر صلة وثيقة بالتناظر الدوراني . العديد من خصائصها التي تُكتشف بصعوبة بالغة من خلال أساليب التحليل - على سبيل المثال، نظرية الجمع - يُمكن اكتشافها بسهولة أكبر باستخدام أساليب التناظر ونظرية الزمر ، وتكتسب معنى فيزيائيًا وهندسيًا عميقًا.

تُعطى صيغة رودريغز بتعبير موجز بشكل خاص لكثيرات حدود ليجندر : $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,.}$$

تُمكّن هذه الصيغة من اشتقاق عدد كبير من خصائص${\displaystyle P_{n}}$ومن بين هذه التمثيلات الصريحة مثل $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{\!2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\[1ex]P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{\!k},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\[1ex]P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=\lceil n/2\rceil }^{n}{\frac {(-1)^{k+n}(2k)!}{(2k-n)!(n-k)!k!}}x^{2k-n},\\[1ex]P_{n}(x)&={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cdot \cos(t)\right)}^{n}\,dt&{\text{if }}|x|>1,\\x^{n}&{\text{if }}|x|=1,\\\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\cdot x^{n}\cdot |x|\cdot \int _{|x|}^{1}{\frac {t^{-n-1}}{\sqrt {t^{2}-x^{2}}}}\cdot {\frac {\cos \left(n\cdot \arccos(t)\right)}{\sin \left(\arccos(t)\right)}}\,dt&{\text{if }}0<|x|<1,\\\displaystyle (-1)^{n/2}\cdot 2^{-n}\cdot {\binom {n}{n/2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ even}},\\0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ odd}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

التعبير عن متعددة الحدود كمتسلسلة قوى،${\textstyle P_{n}(x)=\sum a_{n,k}x^{k}}$، معاملات قوى${\displaystyle x}$ويمكن أيضًا حسابها باستخدام التكرارات

$${\displaystyle a_{n,k}=-{\frac {(n-k+2)(n+k-1)}{k(k-1)}}a_{n,k-2}.}$$أو

${\displaystyle a_{n,k}=-{\frac {n+k-1}{n-k}}a_{n-2,k}.}$

يتم تحديد متعددة حدود ليجندر من خلال القيم المستخدمة للثابتين${\textstyle a_{n,0}}$و${\textstyle a_{n,1}}$، أين${\textstyle a_{n,0}=0}$لو${\displaystyle n}$غريب و${\textstyle a_{n,1}=0}$لو${\displaystyle n}$هو زوجي. ^{[ 2 ]}

في التمثيل الرابع،${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$يرمز إلى أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي${\displaystyle n/2}$. التمثيل الخامس، والذي يمكن استنتاجه مباشرة من صيغة التكرار، يعبر عن كثيرات حدود ليجندر بواسطة أحاديات بسيطة ويتضمن الشكل المعمم لمعامل ذي الحدين .

إن عكس التمثيل كمتسلسلة قوى هو ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle x^{m}=\sum _{s=0}^{\lfloor m/2\rfloor }(2m-4s+1){\frac {(2s+2)(2s+4)\cdots 2\lfloor m/2\rfloor }{(2m-2s+1)(2m-2s-1)(2m-2s-3)\cdots (1+2\lfloor (m+1)/2\rfloor )}}P_{m-2s}(x).}$

ل${\displaystyle m=0,1,2,\ldots }$، حيث يكون الناتج الفارغ في البسط (العامل الأخير أقل من العامل الأول) مساوياً لـ 1.

أولى كثيرات حدود ليجندر هي:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle P_{n}(x)}$
0	${\textstyle 1}$
1	${\textstyle x}$
2	${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)}$
3	${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)}$
4	${\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)}$
5	${\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)}$
6	${\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5\right)}$
7	${\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x\right)}$
8	${\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35\right)}$
9	${\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x\right)}$
10	${\textstyle {\tfrac {1}{256}}\left(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63\right)}$

يتم عرض الرسوم البيانية لهذه كثيرات الحدود (حتى n = 5 ) أدناه:

التوحيد القياسي${\displaystyle P_{n}(1)=1}$يُحدد هذا الإجراء تطبيع كثيرات حدود ليجندر (بالنسبة إلى معيار L2 على الفترة −1 ≤ x ≤ 1 ). ويمكن استخدام صيغة رودريغز لإعطاء تكامل التطبيع ^.$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{n}(x)^{2}\,dx={\frac {2}{2n+1}}.}$$ ويمكن بعد ذلك كتابة عبارات التطبيع والتعامد بشكل مختصر في معادلة واحدة: $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},}$$ حيث تشير δ _mn إلى دلتا كرونكر .

أن تكون كثيرات الحدود كاملة يعني ما يلي. بالنظر إلى أي دالة متصلة على أجزاء،${\displaystyle f(x)}$مع وجود عدد محدود من الانقطاعات في الفترة [ −1, 1 ] ، فإن متتالية المجاميع $${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)}$$ يتقارب في المتوسط ​​إلى${\displaystyle f(x)}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$بشرط أن نأخذ $${\displaystyle a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.}$$

تُشكّل خاصية الاكتمال هذه أساس جميع التوسعات التي نوقشت في هذه المقالة، وغالبًا ما تُذكر بالشكل التالي: $${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {2\ell +1}{2}}P_{\ell }(x)P_{\ell }(y)=\delta (x-y),}$$ مع −1 ≤ x ≤ 1 و −1 ≤ y ≤ 1 .

تم تقديم كثيرات حدود ليجندر لأول مرة في عام 1782 بواسطة أدريان ماري ليجندر ^{[ 5 ]} كمعاملات في توسيع الجهد النيوتوني$${\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),}$$ حيث يُمثل r و r ′ طولَي المتجهين x و x ′ على التوالي، و γ الزاوية بين هذين المتجهين. تتقارب المتسلسلة عندما يكون r > r ′ . يُعطي هذا التعبير الجهد التثاقلي المرتبط بكتلة نقطية أو جهد كولوم المرتبط بشحنة نقطية . قد يكون التوسع باستخدام كثيرات حدود ليجندر مفيدًا، على سبيل المثال، عند تكامل هذا التعبير على توزيع مستمر للكتلة أو الشحنة.

تظهر كثيرات حدود ليجندر في حل معادلة لابلاس للجهد الساكن ، ∇²Φ ( x ) = 0 ، في منطقة خالية من الشحنات في الفضاء، باستخدام طريقة فصل المتغيرات ، حيث تتمتع الشروط الحدية بتناظر محوري ⁽ لا تعتمد على زاوية سمتية ). حيث ẑ هو محور التناظر و θ هي الزاوية بين موضع الراصد ومحور ẑ (زاوية السمت)، ويكون حل الجهد هو $${\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,.}$$

يتم تحديد A _l و B _{l وفقًا لشروط الحدود لكل مسألة.} ^{[ 6 ]}

وتظهر هذه الظاهرة أيضاً عند حل معادلة شرودنغر في ثلاثة أبعاد لقوة مركزية.

تُعدّ كثيرات حدود ليجندر مفيدة أيضًا في توسيع الدوال من الشكل (هذا هو نفسه كما في السابق، مكتوب بشكل مختلف قليلاً): $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x),}$$ والتي تنشأ بشكل طبيعي في متسلسلات متعددة الأقطاب . الجانب الأيسر من المعادلة هو الدالة المولدة لكثيرات حدود ليجندر.

على سبيل المثال، يتغير الجهد الكهربائي Φ( r , θ ) (في الإحداثيات الكروية ) الناتج عن شحنة نقطية تقع على المحور z عند z = a (انظر الرسم البياني على اليمين) وفقًا لما يلي: $${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.}$$

إذا كان نصف قطر نقطة الرصد P أكبر من a ، فيمكن توسيع الجهد في كثيرات حدود ليجندر. $${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta ),}$$ حيث عرّفنا η = a / r < 1 و x = cos θ . يُستخدم هذا التوسع لتطوير توسع متعدد الأقطاب العادي .

على النقيض من ذلك، إذا كان نصف قطر نقطة الرصد P أصغر من a ، فإنه يمكن توسيع الجهد باستخدام كثيرات حدود ليجندر كما سبق، ولكن مع تبديل a و r . هذا التوسيع هو أساس توسيع متعدد الأقطاب الداخلي .

يمكن أيضًا توسيع الدوال المثلثية cos nθ ، والتي تُعرف أيضًا باسم كثيرات حدود تشيبيشيف T _n (cos θ ) ≡ cos nθ ، باستخدام كثيرات حدود ليجندر P _n (cos θ ) . وفيما يلي الرتب الأولى: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T_{0}(\cos \theta )&=1&&=P_{0}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{1}(\cos \theta )&=\cos \theta &&=P_{1}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{2}(\cos \theta )&=\cos 2\theta &&={\tfrac {1}{3}}{\bigl (}4P_{2}(\cos \theta )-P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{3}(\cos \theta )&=\cos 3\theta &&={\tfrac {1}{5}}{\bigl (}8P_{3}(\cos \theta )-3P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{4}(\cos \theta )&=\cos 4\theta &&={\tfrac {1}{105}}{\bigl (}192P_{4}(\cos \theta )-80P_{2}(\cos \theta )-7P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{5}(\cos \theta )&=\cos 5\theta &&={\tfrac {1}{63}}{\bigl (}128P_{5}(\cos \theta )-56P_{3}(\cos \theta )-9P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{6}(\cos \theta )&=\cos 6\theta &&={\tfrac {1}{1155}}{\bigl (}2560P_{6}(\cos \theta )-1152P_{4}(\cos \theta )-220P_{2}(\cos \theta )-33P_{0}(\cos \theta ){\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

يمكن تلخيص ذلك على النحو التالي:${\displaystyle n>0}$مثل

${\displaystyle T_{n}(x)=2^{2n-n'}{\hat {n}}!\sum _{t=0}^{\hat {n}}(n-2t+1/2){\frac {(n-t-1)!}{2^{2t}t!(n-1)!}}\times {\frac {(-1)\cdot 1\cdot 3\cdots (2t-3)}{(1+2n')(3+2n')\cdots (2n-2t+1)}}P_{n-2t}(x).}$

أين${\displaystyle {\hat {n}}\equiv \lfloor n/2\rfloor }$، ${\displaystyle n'\equiv \lfloor (n+1)/2\rfloor }$، وحيث يتم تفسير المنتجات التي تحتوي على خطوات من اثنين في البسط والمقام على أنها 1 إذا كانت فارغة، أي إذا كان العامل الأخير أصغر من العامل الأول.

ومن الخصائص الأخرى صيغة sin ( n + 1) θ ، وهي $${\displaystyle {\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n}P_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \theta ).}$$

شبكة عصبية متكررة تحتوي على متجه ذاكرة ذي أبعاد d ،${\displaystyle \mathbf {m} \in \mathbb {R} ^{d}}$يمكن تحسينها بحيث تخضع أنشطتها العصبية للنظام الخطي الثابت مع الزمن والمُعطى بواسطة تمثيل فضاء الحالة التالي : $${\displaystyle \theta {\dot {\mathbf {m} }}(t)=A\mathbf {m} (t)+Bu(t),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left[a\right]_{ij}\in \mathbb {R} ^{d\times d}{\text{,}}\quad &&a_{ij}=\left(2i+1\right){\begin{cases}-1&i<j\\(-1)^{i-j+1}&i\geq j\end{cases}},\\B&=\left[b\right]_{i}\in \mathbb {R} ^{d\times 1}{\text{,}}\quad &&b_{i}=(2i+1)(-1)^{i}.\end{aligned}}}$$

في هذه الحالة، النافذة المنزلقة لـ${\displaystyle u}$عبر الماضي${\displaystyle \theta }$يمكن تقريب وحدات الزمن بشكل أفضل من خلال توليفة خطية من الأول${\displaystyle d}$كثيرات حدود ليجندر المُزاحة، مُرجّحة معًا بعناصر${\displaystyle \mathbf {m} }$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$: $${\displaystyle u(t-\theta ')\approx \sum _{\ell =0}^{d-1}{\widetilde {P}}_{\ell }\left({\frac {\theta '}{\theta }}\right)\,m_{\ell }(t),\quad 0\leq \theta '\leq \theta .}$$

عند دمج هذه الشبكات مع أساليب التعلم العميق ، يمكن تدريبها لتتفوق على وحدات الذاكرة طويلة المدى والبنى ذات الصلة، مع استخدام موارد حاسوبية أقل. ^{[ 7 ]}

كما ذُكر أعلاه، تخضع كثيرات حدود ليجندر لعلاقة التكرار الثلاثية المعروفة باسم صيغة بونيه التكرارية، والتي تُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}$$ و $${\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{n}}{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)}$$ أو، باستخدام التعبير البديل، الذي ينطبق أيضًا عند نقاط النهاية $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\,.}$$

يُعدّ استخدام متعددات حدود ليجندر مفيدًا في التكامل. $${\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={\frac {d}{dx}}{\bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x){\bigr )}\,.}$$

يتضح مما سبق أيضاً أن $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{\bigl (}2(n-2)+1{\bigr )}P_{n-2}(x)+{\bigl (}2(n-4)+1{\bigr )}P_{n-4}(x)+\cdots }$$ أو ما يعادل ذلك $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)={\frac {2P_{n}(x)}{\left\|P_{n}\right\|^{2}}}+{\frac {2P_{n-2}(x)}{\left\|P_{n-2}\right\|^{2}}}+\cdots }$$ حيث ‖ P _n ‖ هو المعيار على الفترة −1 ≤ x ≤ 1$${\displaystyle \|P_{n}\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}{\bigl (}P_{n}(x){\bigr )}^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}\,.}$$وبشكل عام، يمكن التعبير عن جميع رتب المشتقات كمجموع لكثيرات حدود ليجندر: ^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}&{\frac {d^{q}}{dx^{q}}}P_{q+2j}(x)={\frac {2^{q-1}}{(q-1)!}}\sum _{i=0}^{j}(4i+1){\frac {(q+j-i-1)!\Gamma \left(q+j+i+{\frac {1}{2}}\right)}{(j-i)!\Gamma (j+i+3/2)}}P_{2i}(x)\\&\quad ={\frac {1}{2^{q-2}(q-1)!}}\sum _{i=0}^{j}(4i+1){\frac {(q+j-i-1)!(2q+2j+2i-1)!}{(j-i)!(2j+2i+2)!}}{\frac {(j+i+1)!}{(q+j+i-1)!}}P_{2i}(x)\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}&{\frac {d^{q}}{dx^{q}}}P_{q+2j+1}(x)={\frac {2^{q-1}}{(q-1)!}}\sum _{i=0}^{j}(4i+3){\frac {(q+j-i-1)!\Gamma (q+j+i+3/2)}{(j-i)!\Gamma (j+i+5/2)}}P_{2i+1}(x)\\&\quad ={\frac {1}{2^{q-2}(q-1)!}}\sum _{i=0}^{j}(4i+3){\frac {(q+j-i-1)!(2q+2j+2i+1)!}{(j-i)!(2j+2i+4)!}}{\frac {(j+i+2)!}{(q+j+i)!}}P_{2i+1}(x)\end{aligned}}\end{aligned}}}$$

تقاربياً، لـ${\displaystyle \ell \to \infty }$يمكن كتابة كثيرات حدود ليجندر على شكل صيغة هيلب : ^{[ 14 ] : 194، النظرية 8.21.2}$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }(\cos \theta )&={\sqrt {\frac {\theta }{\sin \left(\theta \right)}}}\left\{J_{0}{\left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right]}-{\frac {\left({\frac {1}{\theta }}-\cot \theta \right)}{8(\ell +{\frac {1}{2}})}}J_{1}{\left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right]}\right\}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-2}\right)\\[1ex]&={\sqrt {\frac {2}{\pi \ell \sin \left(\theta \right)}}}\cos \left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta -{\tfrac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-3/2}\right),\quad \theta \in (0,\pi ),\end{aligned}}}$$ وبالنسبة للحجج ذات المقدار الأكبر من 1 ^{[ 20 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }\left(\cosh \xi \right)&={\sqrt {\frac {\xi }{\sinh \xi }}}I_{0}\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\xi \right)\left(1+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\right)\,,\\P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{\frac {\ell +1}{2}}}{(1-e)^{\frac {\ell }{2}}}}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\end{aligned}}}$$ حيث J ₀ و J ₁ و I ₀ هي دوال بيسل .

الجميع${\displaystyle n}$أصفار${\displaystyle P_{n}(x)}$هي حقيقية، ومختلفة عن بعضها البعض، وتقع في الفترة${\displaystyle (-1,1)}$علاوة على ذلك، إذا اعتبرناهم يقسمون الفترة${\displaystyle [-1,1]}$داخل${\displaystyle n+1}$الفترات الفرعية، كل فترة فرعية ستحتوي على صفر واحد بالضبط من${\displaystyle P_{n+1}}$يُعرف هذا بخاصية التداخل. وبسبب خاصية التكافؤ، من الواضح أنه إذا${\displaystyle x_{k}}$هو صفر من${\displaystyle P_{n}(x)}$وكذلك${\displaystyle -x_{k}}$تلعب هذه الأصفار دورًا هامًا في التكامل العددي القائم على التربيع الغاوسي . ويُعدّ التربيع المحدد القائم على${\displaystyle P_{n}}$تُعرف هذه الطريقة باسم تربيع غاوس-ليجندر .

أصفار${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$تتوزع بشكل شبه منتظم على نطاق${\displaystyle \theta \in (0,\pi )}$بمعنى أن هناك صفرًا واحدًا${\displaystyle \theta \in \left({\frac {\pi (k+1/2)}{n+1/2}},{\frac {\pi (k+1)}{n+1/2}}\right)}$لكل${\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1}$[ ^{21 ]} يمكن إثبات ذلك بالنظر إلى الصيغة الأولى لـ Dirichlet-Mehler ^{. [ 22 ]}

انطلاقاً من هذه الخاصية والحقائق التي${\displaystyle P_{n}(\pm 1)\neq 0}$وبناءً على ذلك${\displaystyle P_{n}(x)}$لديه${\displaystyle n-1}$القيم الصغرى والعظمى المحلية في${\displaystyle (-1,1)}$أو بعبارة أخرى،${\displaystyle dP_{n}(x)/dx}$لديه${\displaystyle n-1}$أصفار في${\displaystyle (-1,1)}$.

يشير التكافؤ والتطبيع إلى القيم عند الحدود${\displaystyle x=\pm 1}$يكون $${\displaystyle P_{n}(1)=1\,,\quad P_{n}(-1)=(-1)^{n}}$$ في الأصل${\displaystyle x=0}$يمكن إثبات أن القيم معطاة بواسطة $${\displaystyle P_{2n}(0)={\frac {(-1)^{n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}}}{\frac {(2n)!}{\left(n!\right)^{2}}}=(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}$$$${\displaystyle P_{2n+1}(0)=0}$$

تُعرَّف كثيرات حدود ليجندر المُزاحة على النحو التالي :$${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)\,.}$$ هنا، الدالة "المُحَوِّلة" x ↦ 2 x − 1 هي تحويل خطي يقوم بتحويل الفترة [ 0, 1 ] إلى الفترة [ −1, 1 ] بشكل تقابلي ، مما يعني أن كثيرات الحدود P̃ _n ( x ) متعامدة على [ 0, 1 ] : $${\displaystyle \int _{0}^{1}{\widetilde {P}}_{m}(x){\widetilde {P}}_{n}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}\,.}$$

يُعطى التعبير الصريح لكثيرات حدود ليجندر المُزاحة كما يلي: $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}\,.}$$

الصيغة المماثلة لصيغة رودريغز لكثيرات حدود ليجندر المزاحة هي $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2}-x\right)^{n}\,.}$$

أولى كثيرات حدود ليجندر المزاحة هي:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)}$
0	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle 2x-1}$
2	${\displaystyle 6x^{2}-6x+1}$
3	${\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}$
4	${\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}$
5	${\displaystyle 252x^{5}-630x^{4}+560x^{3}-210x^{2}+30x-1}$

دوال ليجندر الكسرية هي سلسلة من الدوال المتعامدة على الفترة [0, ∞). ويتم الحصول عليها من خلال تركيب تحويل كايلي مع كثيرات حدود ليجندر.

تُعرَّف دالة ليجندر النسبية من الدرجة n على النحو التالي:$${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)\,.}$$

إنها دوال ذاتية لمسألة ستورم-ليوفيل المفردة : $${\displaystyle \left(x+1\right){\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\left[\left(x+1\right)v(x)\right]\right)+\lambda v(x)=0}$$ مع القيم الذاتية$${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,.}$$