دلتا كرونيكر

في الرياضيات ، دلتا كرونيكر (التي سميت على اسم ليوبولد كرونيكر ) هي دالة لمتغيرين ، عادةً ما يكونان مجرد أعداد صحيحة غير سالبة . تكون الدالة 1 إذا كان المتغيران متساويين، و0 بخلاف ذلك: أو مع استخدام أقواس إيفرسون : على سبيل المثال، لأن ، بينما لأن . $${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}$$$${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}$$${\displaystyle \delta _{12}=0}$${\displaystyle 1\neq 2}$${\displaystyle \delta _{33}=1}$${\displaystyle 3=3}$

يظهر دلتا كرونيكر بشكل طبيعي في العديد من مجالات الرياضيات والفيزياء والهندسة وعلوم الكمبيوتر، كوسيلة للتعبير بشكل مضغوط عن تعريفه أعلاه.

في الجبر الخطي ، تحتوي مصفوفة الهوية على مدخلات تساوي دلتا كرونيكر: حيث و خذ القيم ، ويمكن كتابة الحاصل الداخلي للمتجهات على النحو التالي . هنا يتم تعريف المتجهات الإقليدية على أنها n -tuples: و و يتم الحصول على الخطوة الأخيرة باستخدام قيم دلتا كرونيكر لتقليل المجموع على . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {أنا} }$$${\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle 1,2,\cdots ,n}$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i =1}^{ن}أ_{أنا}ب_{أنا}.}$$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})}$${\displaystyle j}$

من الشائع أن يقتصر كل من i و j على مجموعة من النموذج {1, 2, ..., n } أو {0, 1, ..., n − 1} ، ولكن يمكن تعريف دلتا كرونيكر على مجموعة عشوائية.

تم استيفاء المعادلات التالية: وبالتالي، يمكن اعتبار المصفوفة δ مصفوفة هوية.$${\displaystyle {\begin{align}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij} &=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{محاذاة}}}$$

هناك تمثيل مفيد آخر وهو الشكل التالي: ويمكن استنتاج ذلك باستخدام صيغة السلسلة الهندسية . $${\displaystyle \delta _{nm}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(nm)}}$$

استخدام قوس إيفرسون :$${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}$$

في كثير من الأحيان، يتم استخدام تدوين الوسيطة الفردية ، وهو ما يعادل الإعداد : ${\displaystyle \delta _{i}}$${\displaystyle j=0}$$${\displaystyle \delta _{i}=\delta _{i0}=\begin{cases}0,&{\text{if }}i\neq 0\\1,&{\text{if }}i=0\end{cases}}}$$

في الجبر الخطي ، يمكن اعتباره موترًا ، ويُكتب . في بعض الأحيان يُطلق على دلتا كرونيكر موتر الاستبدال. ^[1]${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

في دراسة معالجة الإشارات الرقمية (DSP)، تمثل دالة العينة الوحدوية حالة خاصة لدالة دلتا كرونيكر ثنائية الأبعاد حيث تتضمن مؤشرات كرونيكر الرقم صفر، وحيث يكون أحد المؤشرات صفرًا. في هذه الحالة: ${\displaystyle \delta[n]}$${\displaystyle \delta _{ij}}$$${\displaystyle \delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}~~~{\text{حيث}}-\infty <n<\infty }$$

أو بشكل عام حيث: $${\displaystyle \delta [nk]\equiv \delta [kn]\equiv \delta _{nk}\equiv \delta _{kn}{\text{حيث}}-\infty <n<\infty ,-\infty <k<\infty }$$

ومع ذلك، فهذه ليست سوى حالة خاصة. ففي حساب الموتر، من الشائع ترقيم متجهات الأساس في بُعد معين بدءًا من الفهرس 1، بدلاً من الفهرس 0. وفي هذه الحالة، لا توجد العلاقة، وفي الواقع، فإن دالة دلتا كرونيكر ودالة العينة الوحدوية هما دالتان مختلفتان تتداخلان في الحالة المحددة حيث تتضمن المؤشرات الرقم 0، وعدد المؤشرات هو 2، وقيمة أحد المؤشرات تساوي صفرًا. ${\displaystyle \delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}}$

في حين تستخدم دالة العينة الوحدوية المنفصلة ودالة دلتا كرونيكر نفس الحرف، إلا أنهما تختلفان في الطرق التالية. بالنسبة لدالة العينة الوحدوية المنفصلة، ​​من التقليدي وضع فهرس عدد صحيح واحد بين أقواس مربعة؛ على النقيض من ذلك، يمكن أن تحتوي دلتا كرونيكر على أي عدد من الفهارس. علاوة على ذلك، فإن الغرض من دالة العينة الوحدوية المنفصلة يختلف عن دالة دلتا كرونيكر. في معالجة الإشارات الرقمية، تُستخدم دالة العينة الوحدوية المنفصلة عادةً كدالة إدخال لنظام منفصل لاكتشاف دالة النظام للنظام والتي سيتم إنتاجها كمخرجات للنظام. على النقيض من ذلك، فإن الغرض النموذجي لدالة دلتا كرونيكر هو تصفية المصطلحات من اتفاقية مجموع أينشتاين .

يتم تعريف دالة العينة الوحدوية المنفصلة بشكل أكثر بساطة على النحو التالي: $${\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n{\text{ هو عدد صحيح آخر}}\end{cases}}}$$

بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يتم الخلط بين دالة دلتا ديراك ودالة دلتا كرونيكر ودالة العينة الوحدوية. يتم تعريف دلتا ديراك على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{cases}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\delta (t)dt=1&\forall \varepsilon >0\\\delta (t)=0&\forall t\neq 0\end{cases}}}$$

على عكس دالة دلتا كرونيكر ودالة العينة الوحدوية ، فإن دالة دلتا ديراك ليس لها مؤشر عدد صحيح، بل لها قيمة غير صحيحة متصلة واحدة t . ${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle \delta[n]}$${\displaystyle \delta(t)}$

ولزيادة الخلط بين الأمور، تُستخدم دالة النبضة الوحدوية أحيانًا للإشارة إلى دالة دلتا ديراك ، أو دالة العينة الوحدوية . ${\displaystyle \delta(t)}$${\displaystyle \delta[n]}$

تتمتع دلتا كرونيكر بما يسمى بخاصية الغربلة والتي بالنسبة لـ : وإذا تم النظر إلى الأعداد الصحيحة كمساحة قياس ، وُهبت بمقياس العد ، فإن هذه الخاصية تتطابق مع الخاصية المحددة لدالة دلتا ديراك وفي الواقع تم تسمية دلتا ديراك على اسم دلتا كرونيكر بسبب هذه الخاصية التناظرية. ^[2] في معالجة الإشارات، عادةً ما يكون السياق (الوقت المنفصل أو المستمر) هو الذي يميز "وظائف" كرونيكر وديراك. ووفقًا للاتفاقية، يشير عمومًا إلى الوقت المستمر (ديراك)، في حين أن الوسائط مثل ، ، ، ، ، وعادةً ما تكون محجوزة للوقت المنفصل (كرونيكر). ممارسة شائعة أخرى هي تمثيل التسلسلات المنفصلة بأقواس مربعة؛ وبالتالي: . دلتا كرونيكر ليست نتيجة أخذ عينات مباشرة من دالة دلتا ديراك. ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}.}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)\,dx=f(y),}$$${\displaystyle \delta (t)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \delta [n]}$

يشكل دلتا كرونيكر عنصر الهوية المضاعفة لجبر الوقوع . ^[3]

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يمكن استخدام كل من دلتا كرونيكر ودالة دلتا ديراك لتمثيل توزيع منفصل . إذا كان دعم التوزيع يتكون من نقاط ، مع احتمالات مقابلة ، فيمكن كتابة دالة كتلة الاحتمال للتوزيع باستخدام دلتا كرونيكر، على النحو التالي:${\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{1},\cdots ,x_{n}\}}$${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}$ ${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle \mathbf {x} }$$${\displaystyle p(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta _{xx_{i}}.}$$

على نحو مكافئ، يمكن كتابة دالة كثافة الاحتمال للتوزيع باستخدام دالة دلتا ديراك على النحو التالي: ${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}$$

في ظل ظروف معينة، يمكن أن تنشأ دلتا كرونيكر من أخذ عينات من دالة دلتا ديراك. على سبيل المثال، إذا حدثت نبضة دلتا ديراك بالضبط عند نقطة أخذ العينات وتم ترشيحها بشكل مثالي بتردد منخفض (مع قطع عند التردد الحرج) وفقًا لنظرية أخذ العينات نيستكويست-شانون ، فإن الإشارة الناتجة في الوقت المنفصل ستكون دالة دلتا كرونيكر.

إذا تم اعتباره موترًا من النوع ، فيمكن كتابة موتر كرونيكر بمؤشر متغير ومؤشر معاكس :${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle \delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}}$$

يمثل هذا الموتر:

• تعتبر خريطة الهوية (أو مصفوفة الهوية)، والتي تعتبر بمثابة خريطة خطية أو${\displaystyle V\to V}$${\displaystyle V^{*}\to V^{*}}$
• الانكماش الأثري أو الموتر ، والذي يعتبر بمثابة تعيين${\displaystyle V^{*}\otimes V\to K}$
• الخريطة التي تمثل الضرب القياسي كمجموع للضرب الخارجي .${\displaystyle K\to V^{*}\otimes V}$

الدلتا كرونيكر المعممة أودلتا كرونيكر متعددة المؤشراتمن الدرجة الأولىهي نوعغير متماثلتمامًافيمؤشراته العليا، وكذلك فيمؤشراته السفلية. ${\displaystyle 2p}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

هناك تعريفان مختلفان بعامل قيد الاستخدام. فيما يلي، يتم تقديم الإصدار الذي يحتوي على مكونات غير صفرية تم قياسها لتكون . يحتوي الإصدار الثاني على مكونات غير صفرية وهي ، مع التغييرات الناتجة في عوامل القياس في الصيغ، مثل عوامل القياس في § خصائص دلتا كرونيكر المعممة أدناه تختفي. ^[4]${\displaystyle p!}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \pm 1/p!}$${\displaystyle 1/p!}$

من حيث المؤشرات، يتم تعريف دلتا كرونيكر المعممة على النحو التالي: ^{[5] [6]} $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}{\phantom {-}}1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an even permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\{\phantom {-}}0&\quad {\text{in all other cases}}.\end{cases}}}$$

لتكن المجموعة المتماثلة من الدرجة ، إذن: ${\displaystyle \mathrm {S} _{p}}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.}$$

استخدام التناظر المضاد : $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{[\nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}]}^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{[\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}]}.}$$

من حيث المحدد : ^[7]${\displaystyle p\times p}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}.}$$

باستخدام توسع لابلاس ( صيغة لابلاس ) للمحدد، يمكن تعريفه بشكل متكرر : ^[8] حيث يشير الكارون، ، إلى فهرس تم حذفه من التسلسل. $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{p}}\\&=\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\check {}}}$

عندما (بعد فضاء المتجه)، من حيث رمز ليفي-سيفيتا : وبشكل عام، بالنسبة لـ ، باستخدام اتفاقية مجموع أينشتاين : ${\displaystyle p=n}$$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\,.}$$${\displaystyle m=n-p}$$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\tfrac {1}{m!}}\varepsilon ^{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\mu _{1}\dots \mu _{p}}\varepsilon _{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\nu _{1}\dots \nu _{p}}\,.}$$

تعتمد تقلصات دلتا كرونيكر على أبعاد المساحة. على سبيل المثال، حيث d هو بُعد المساحة. ومن هذه العلاقة يتم الحصول على دلتا المتقلصة بالكامل على النحو التالي: تعميم الصيغ السابقة هو ^{[ بحاجة لمصدر ]}$${\displaystyle \delta _{\mu _{1}}^{\nu _{1}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=(d-1)\delta _{\nu _{2}}^{\mu _{2}},}$$$${\displaystyle \delta _{\mu _{1}\mu _{2}}^{\nu _{1}\nu _{2}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=2d(d-1).}$$ $${\displaystyle \delta _{\mu _{1}\dots \mu _{n}}^{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=n!{\frac {(d-p+n)!}{(d-p)!}}\delta _{\nu _{n+1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{n+1}\dots \mu _{p}}.}$$

يمكن استخدام دلتا كرونيكر المعممة لمكافحة التناظر : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}.\end{aligned}}}$$

من المعادلات أعلاه وخصائص الموتر غير المتماثل ، يمكننا استنباط خصائص دلتا كرونيكر المعممة: والتي هي النسخة المعممة من الصيغ المكتوبة في § الخصائص . الصيغة الأخيرة تعادل صيغة كوشي بينيه . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}}$$

يمكن التعبير عن تقليل الترتيب عن طريق جمع المؤشرات من خلال الهوية ^[9] $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}={\frac {(n-s)!}{(n-p)!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}.}$$

باستخدام كل من قاعدة الجمع للحالة والعلاقة مع رمز ليفي-سيفيتا، يتم اشتقاق قاعدة الجمع لرمز ليفي-سيفيتا : تظهر النسخة رباعية الأبعاد للعلاقة الأخيرة في نهج بينروز المغزلي للنسبية العامة ^[10] والذي عممه لاحقًا، بينما كان يطور مخططات أيتكين، ^[11] ليصبح جزءًا من تقنية تدوين بينروز الرسومي . ^[12] أيضًا، تُستخدم هذه العلاقة على نطاق واسع في نظريات ازدواجية S ، وخاصةً عند كتابتها بلغة الأشكال التفاضلية وثنائيات هودج . ${\displaystyle p=n}$$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\frac {1}{(n-p)!}}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}.}$$

بالنسبة لأي عدد صحيح ، باستخدام حساب البقايا القياسي ، يمكننا كتابة تمثيل تكاملي لدلتا كرونيكر على النحو التالي، حيث يتجه محيط التكامل عكس اتجاه عقارب الساعة حول الصفر. هذا التمثيل يعادل أيضًا تكاملًا محددًا بواسطة دوران في المستوى المركب. ${\displaystyle n}$$${\displaystyle \delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{x-n-1}\,dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }\,d\varphi }$$

يتم تعريف دالة مشط كرونيكر مع الفترة (باستخدام تدوين DSP ) على النحو التالي: حيث و هما عددان صحيحان. وبالتالي فإن مشط كرونيكر يتكون من سلسلة لا نهائية من النبضات الوحدوية التي تفصل بينها N وحدة، ويتضمن النبضة الوحدوية عند الصفر. ويمكن اعتباره نظيرًا منفصلًا لمشط ديراك . ${\displaystyle N}$$${\displaystyle \Delta _{N}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN],}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$

يُطلق على دلتا كرونيكر أيضًا درجة رسم خرائط سطح إلى آخر. ^[13] افترض أن رسم الخرائط يحدث من السطح S _uvw إلى S _xyz التي تمثل حدود المناطق، R _uvw و R _xyz والتي ترتبط ببساطة بمراسلات فردية. في هذا الإطار، إذا كانت s و t معلمات لـ S _uvw ، و S _uvw إلى S _uvw موجهة بواسطة العمودي الخارجي n : بينما يكون العمودي في اتجاه $${\displaystyle u=u(s,t),\quad v=v(s,t),\quad w=w(s,t),}$$$${\displaystyle (u_{s}\mathbf {i} +v_{s}\mathbf {j} +w_{s}\mathbf {k} )\times (u_{t}\mathbf {i} +v_{t}\mathbf {j} +w_{t}\mathbf {k} ).}$$

ليكن x = x ( u , v , w ) , y = y ( u , v , w ) , z = z ( u , v , w ) محددًا وناعمًا في مجال يحتوي على S _uvw , ودع هذه المعادلات تحدد تعيين S _uvw على S _xyz . عندئذٍ تكون درجة التعيين δ هي1/4π⁠ مرات الزاوية الصلبة للصورة S لـ S _uvw بالنسبة للنقطة الداخلية لـ S _xyz ، O. إذا كانت O هي أصل المنطقة، R _xyz ، فإن الدرجة، δ تُعطى بالتكامل: $${\displaystyle \delta ={\frac {1}{4\pi }}\iint _{R_{st}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}{\begin{vmatrix}x&y&z\\{\frac {\partial x}{\partial s}}&{\frac {\partial y}{\partial s}}&{\frac {\partial z}{\partial s}}\\{\frac {\partial x}{\partial t}}&{\frac {\partial y}{\partial t}}&{\frac {\partial z}{\partial t}}\end{vmatrix}}\,ds\,dt.}$$

• مقياس ديراك
• وظيفة المؤشر
• رمز ليفي-شيفيتا
• مقياس مينكوفسكي
• رمز "ت هوفت"
• وظيفة الوحدة
• بوابة XNOR