وظيفة الطول

في المجال الرياضي لنظرية الزمر الهندسية ، دالة الطول هي دالة تُسند رقماً لكل عنصر من عناصر المجموعة .

دالة الطول L  : G → R ⁺ على مجموعة G هي دالة تحقق ما يلي: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}   

${\displaystyle {\begin{align}L(e)&=0,\\L(g^{-1})&=L(g)\\L(g_{1}g_{2})&\leq L(g_{1})+L(g_{2}),\quad \forall g_{1},g_{2}\in G.\end{محاذاة}}}$

قارن ذلك مع بديهيات المقياس والجبر المُصفّى .

ومن الأمثلة المهمة على الطول كلمة "metric" : بالنظر إلى عرض مجموعة بواسطة المولدات والعلاقات، فإن طول العنصر هو طول أقصر كلمة تعبر عنه.

تتميز مجموعات كوكسيتر (بما في ذلك المجموعة المتناظرة ) بدوال طول ذات أهمية توافقية، حيث تستخدم الانعكاسات البسيطة كمولدات (وبالتالي فإن طول كل انعكاس بسيط يساوي  1). انظر أيضًا: طول عنصر مجموعة فايل .

يُعد أطول عنصر في مجموعة كوكسيتر مهمًا وفريدًا حتى الاقتران (حتى الاختيار المختلف للانعكاسات البسيطة).

لا تشكل المجموعة ذات دالة الطول مجموعة مُرشّحة ، مما يعني أن مجموعات المستوى الفرعي${\displaystyle S_{i}:=\{g\mid L(g)\leq i\}}$لا تشكل مجموعات فرعية بشكل عام.

ومع ذلك، فإن جبر المجموعة لمجموعة ذات طول دالة يشكل جبرًا مُرشَّحًا : البديهية${\displaystyle L(gh)\leq L(g)+L(h)}$يتوافق مع بديهية الترشيح.

تتضمن هذه المقالة مواد من دالة الطول على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .