نظرية المجموعة الهندسية

نظرية المجموعة الهندسية هي مجال في الرياضيات مخصص لدراسة المجموعات المولدة بشكل نهائي من خلال استكشاف الروابط بين الخصائص الجبرية لهذه المجموعات والخصائص الطوبولوجية والهندسية للفضاءات التي يمكن أن تعمل عليها هذه المجموعات بشكل غير تافه (أي عندما يتم تحقيق المجموعات المعنية كتناظرات هندسية أو تحويلات مستمرة لبعض الفضاءات).

من الأفكار المهمة الأخرى في نظرية الزمر الهندسية اعتبار الزمر المولدة نهائياً نفسها كائنات هندسية. ويتم ذلك عادةً بدراسة مخططات كايلي للزمر، والتي، بالإضافة إلى بنية المخطط ، تتمتع ببنية فضاء متري ، يُعطى بما يُسمى بالمقياس اللفظي .

تُعدّ نظرية الزمر الهندسية، كفرع مستقل، حديثة نسبياً، وقد برزت كفرع واضح المعالم في الرياضيات في أواخر ثمانينيات وأوائل تسعينيات القرن العشرين. وتتفاعل هذه النظرية بشكل وثيق مع الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد ، والهندسة الزائدية، والطوبولوجيا الجبرية ، ونظرية الزمر الحاسوبية ، والهندسة التفاضلية . كما تربطها صلات جوهرية بنظرية التعقيد ، والمنطق الرياضي ، ودراسة زمر لي ومجموعاتها الفرعية المنفصلة، ​​والأنظمة الديناميكية ، ونظرية الاحتمالات ، ونظرية K ، وغيرها من فروع الرياضيات.

في مقدمة كتابه " مواضيع في نظرية الزمر الهندسية" ، كتب بيير دي لا هارب : "من معتقداتي الشخصية أن الانبهار بالتناظرات والزمر هو أحد سبل التغلب على إحباطات محدودية الحياة: فنحن نميل إلى إدراك التناظرات التي تُمكّننا من إدراك ما هو أبعد من رؤيتنا. وبهذا المعنى، تُعدّ دراسة نظرية الزمر الهندسية جزءًا من الثقافة، وتُذكّرني بأمورٍ عديدة مارسها جورج دي رام في مناسباتٍ كثيرة، مثل تدريس الرياضيات، وإنشاد قصائد مالارميه ، أو تحية صديق". ^{[ 1 ] : 3}

نشأت نظرية الزمر الهندسية من نظرية الزمر التوافقية التي درست بشكل أساسي خصائص الزمر المنفصلة من خلال تحليل تمثيلات الزمر ، والتي تصف الزمر بأنها خارج قسمة الزمر الحرة . وقد دُرِس هذا المجال بشكل منهجي لأول مرة على يد والتر فون ديك ، تلميذ فيليكس كلاين ، في أوائل ثمانينيات القرن التاسع عشر ^{[ 2 ].} بينما وُجد شكل مبكر منها في حساب الإيكوسيان لويليام روان هاميلتون عام 1856 ، حيث درس زمرة التناظر الإيكوساهيدرالية من خلال الرسم البياني لحواف المجسم ذي الاثني عشر وجهًا. وحاليًا، تندرج نظرية الزمر التوافقية ضمن نظرية الزمر الهندسية. علاوة على ذلك، أصبح مصطلح "نظرية الزمر الهندسية" يشمل غالبًا دراسة الزمر المنفصلة باستخدام مناهج احتمالية، ونظرية القياس ، وحسابية، وتحليلية، وغيرها من المناهج التي تقع خارج نطاق أدوات نظرية الزمر التوافقية التقليدية.

في النصف الأول من القرن العشرين، أدخلت أعمال رائدة لماكس دين ، وجاكوب نيلسن ، وكورت ريديميستر ، وأوتو شراير ، وجيه إتش سي وايتهيد ، وإيغبرت فان كامبن ، وغيرهم، بعض الأفكار الطوبولوجية والهندسية في دراسة الزمر المنفصلة. ^{[ 3 ]} ومن بين النظريات الرائدة الأخرى في نظرية الزمر الهندسية نظرية الإلغاء الصغير ونظرية باس-سير . وقد قدم مارتن غريندلينغر نظرية الإلغاء الصغير في ستينيات القرن العشرين ^{[ 4 ] [ 5 ]} ، وطورها لاحقًا روجر ليندون وبول شوب . ^{[ 6 ]} وتدرس هذه النظرية مخططات فان كامبن ، التي تُقابل تمثيلات الزمر المنتهية، من خلال شروط الانحناء التوافقي، وتستنتج الخصائص الجبرية والخوارزمية للزمر من هذا التحليل. تستمد نظرية باس-سير، التي طُرحت في كتاب سير عام 1977، ^{[ 7 ]} معلومات جبرية هيكلية حول المجموعات من خلال دراسة تأثيرات المجموعات على الأشجار التبسيطية . وتشمل العوامل الخارجية التي سبقت نظرية المجموعات الهندسية دراسة الشبكات في مجموعات لي، وخاصة نظرية موستو للصلابة ، ودراسة مجموعات كلاين ، والتقدم المحرز في طوبولوجيا الأبعاد المنخفضة والهندسة الزائدية في سبعينيات وأوائل ثمانينيات القرن العشرين، والذي حفزه بشكل خاص برنامج الهندسة لويليام ثورستون .

يُعزى ظهور نظرية الزمر الهندسية كفرع مستقل من فروع الرياضيات عادةً إلى أواخر ثمانينيات وأوائل تسعينيات القرن العشرين. وقد حفز هذا الظهور كتاب ميخائيل غروموف "الزمر الزائدية" الصادر عام ١٩٨٧ ^{[ ٨ ]} ، والذي قدم مفهوم الزمرة الزائدية (المعروفة أيضًا بالزمرة الزائدية اللفظية أو زمرة غروموف الزائدية أو الزمرة ذات الانحناء السالب )، والتي تجسد فكرة الزمرة المولدة نهائيًا ذات الانحناء السالب واسع النطاق، وكتابه اللاحق "الثوابت التقاربية للزمر اللانهائية" ^{[ ٩ ]} ، الذي حدد فيه برنامج غروموف لفهم الزمر المنفصلة حتى شبه التساوي القياسي . كان لعمل غروموف أثر تحويلي على دراسة الزمر المنفصلة ^{[ ١٠ ] [ ١١ ] [ ١٢ ]} ، وسرعان ما بدأ مصطلح "نظرية الزمر الهندسية" بالظهور بعد ذلك (انظر على سبيل المثال ^{[ ١٣ ]} ).

تشمل المواضيع والتطورات البارزة في نظرية الزمر الهندسية في التسعينيات والألفية الجديدة ما يلي:

• برنامج جروموف لدراسة الخصائص شبه المتساوية القياس للمجموعات.

يُعدّ برنامج غروموف [ ^{14 ] لتصنيف} الزمر المولدة نهائيًا وفقًا لهندستها واسعة النطاق موضوعًا واسعًا ذا تأثير كبير في هذا المجال . ويعني هذا رسميًا تصنيف الزمر المولدة نهائيًا وفقًا لمقياسها اللفظي حتى شبه التساوي . ويتضمن هذا البرنامج ما يلي:

1. دراسة الخصائص الثابتة تحت شبه التساوي القياسي . تشمل أمثلة هذه الخصائص للمجموعات المولدة نهائيًا ما يلي: معدل نمو المجموعة المولدة نهائيًا؛ دالة المحيط المتساوي أو دالة دين للمجموعة المعروضة نهائيًا ؛ عدد نهايات المجموعة ؛ القطعية الزائدة للمجموعة ؛ نوع التشاكل الموضعي لحدود غروموف للمجموعة القطعية الزائدة؛ ^{[ 15 ]} المخاريط التقاربية للمجموعات المولدة نهائيًا (انظر على سبيل المثال ^{[ 16 ] [ 17 ]} )؛ قابلية المجموعة المولدة نهائيًا للتقريب؛ كونها تبديلية تقريبًا (أي، امتلاكها مجموعة فرعية تبديلية ذات دليل منتهٍ)؛ كونها عديمة القوة تقريبًا ؛ كونها حرة تقريبًا ؛ كونها قابلة للعرض نهائيًا ؛ كونها مجموعة قابلة للعرض نهائيًا مع مسألة كلامية قابلة للحل ؛ وغيرها.
2. النظريات التي تستخدم ثوابت شبه التساوي لإثبات النتائج الجبرية حول المجموعات، على سبيل المثال: نظرية نمو كثير الحدود لجروموف ؛ نظرية نهايات ستالينجز ؛ نظرية صلابة موستو .
3. تُصنّف نظريات الصلابة شبه المتساوية القياس جبريًا جميع الزمر شبه المتساوية القياس بالنسبة لزمرة أو فضاء متري مُعطى. وقد بدأ هذا التوجه بفضل أعمال شوارتز حول الصلابة شبه المتساوية القياس للشبكات من الرتبة الأولى ^{[ 18 ]} ، وأعمال بنسون فارب ولي موشر حول الصلابة شبه المتساوية القياس لزمر باومسلاج-سوليتار ^{[ 19 ]} .

• نظرية الزمر الزائدية اللفظية والزمر الزائدية النسبية . ومن أهم التطورات في هذا المجال عمل زليل سيلا في تسعينيات القرن الماضي، والذي أدى إلى حل مشكلة التشاكل للزمر الزائدية اللفظية. ^{[ 20 ]} وقد طُرح مفهوم الزمر الزائدية النسبية لأول مرة من قِبل غروموف عام 1987 ^{[ 8 ]} ، ثم طوّره فارب ^{[ 21 ]} وبريان بوديتش [ ^{22 ]} في تسعينيات القرن الماضي. واكتسبت دراسة الزمر الزائدية النسبية أهمية بالغة في العقد الأول من الألفية الثانية ^.
• التفاعلات مع المنطق الرياضي ودراسة نظرية الرتبة الأولى للمجموعات الحرة. وقد تحقق تقدم هام بشكل خاص في حدسيات تارسكي الشهيرة ، بفضل أعمال سيلا ^{[ 23 ]} ، بالإضافة إلى أعمال أولغا خارلامبوفيتش وأليكسي مياسنيكوف ^{[ 24 ]} . كما برزت دراسة المجموعات الحدية وإدخال لغة وآليات الهندسة الجبرية غير التبادلية .
• التفاعلات مع علوم الحاسوب، ونظرية التعقيد، ونظرية اللغات الرسمية. ويتجلى هذا الموضوع في تطوير نظرية المجموعات التلقائية ، ^{[ 25 ]} وهو مفهوم يفرض شروطًا هندسية ولغوية معينة على عملية الضرب في مجموعة مولدة نهائيًا.
• دراسة المتباينات متساوية المحيط، ودوال دين، وتعميماتها للمجموعات ذات العرض المحدود. ويشمل ذلك، على وجه الخصوص، أعمال جان كاميل بيرجيه، وألكسندر أولشانسكي، وإلياهو ريبس، ومارك سابير ^{[ 26 ] [ 27 ]} التي تُحدد بشكل أساسي دوال دين الممكنة للمجموعات ذات العرض المحدود، بالإضافة إلى نتائج تُقدم طرقًا صريحة لإنشاء مجموعات ذات دوال دين كسرية. ^{[ 28 ]}
• طُرحت نظرية التفكيكات التورالية أو تفكيكات JSJ للمتشعبات ثلاثية الأبعاد في الأصل ضمن إطار نظرية الزمر بواسطة بيتر كروفولر. ^{[ 29 ]} وقد طوّر العديد من المؤلفين هذا المفهوم لكل من الزمر ذات العرض المحدود والزمر المولدة بشكل محدود. ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}
• ترتبط هذه الدراسة بالتحليل الهندسي ، ودراسة جبر C* المرتبط بالمجموعات المنفصلة، ​​ونظرية الاحتمال الحر. ويتجلى هذا الموضوع، على وجه الخصوص، في التقدم الكبير الذي أحرز في حدسية نوفيكوف وحدسية باوم -كونيس ، وتطوير ودراسة المفاهيم ذات الصلة بنظرية المجموعات، مثل التقارب الطوبولوجي، والبعد التقاربي، والتضمين المنتظم في فضاءات هيلبرت ، وخاصية التضاؤل ​​السريع، وما إلى ذلك (انظر على سبيل المثال ^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]} ).
• التفاعلات مع نظرية التحليل شبه المطابق على الفضاءات المترية، لا سيما فيما يتعلق بتخمين كانون حول توصيف المجموعات الزائدية ذات حدود غروموف المتماثلة مع الكرة ثنائية الأبعاد. ^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}
• قواعد التقسيم الجزئي المحدود ، وكذلك فيما يتعلق بتخمين كانون . ^{[ 41 ]}
• التفاعلات مع الديناميكيات الطوبولوجية في سياقات دراسة تأثيرات المجموعات المنفصلة على مختلف الفضاءات المدمجة وتكثيف المجموعات، وخاصة طرق مجموعة التقارب ^{[ 42 ] [ 43 ]}
• تطوير نظرية أفعال الجماعات${\displaystyle \mathbb {R} }$-الأشجار (وخاصة آلة Rips )، وتطبيقاتها. ^{[ 44 ]}
• دراسة تأثيرات المجموعة على فضاءات CAT(0) والمجمعات المكعبة CAT(0)، ^{[ 45 ]} مستوحاة من أفكار من هندسة ألكسندروف.
• التفاعلات مع الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد والهندسة الزائدية، وخاصة دراسة مجموعات 3-متعددة الشعب (انظر، على سبيل المثال، ^{[ 46 ]} )، ومجموعات فئات التعيين للأسطح، ومجموعات الجدائل ومجموعات كلاين .
• إدخال الأساليب الاحتمالية لدراسة الخصائص الجبرية للكائنات النظرية للمجموعات "العشوائية" (المجموعات، عناصر المجموعة، المجموعات الجزئية، إلخ). ومن أهم التطورات في هذا المجال عمل غروموف الذي استخدم الأساليب الاحتمالية لإثبات ^{[ 47 ]} وجود مجموعة مولدة نهائيًا لا يمكن تضمينها بشكل منتظم في فضاء هيلبرت. وتشمل التطورات البارزة الأخرى إدخال ودراسة مفهوم تعقيد الحالة العامة ^{[ 48 ]} للخوارزميات النظرية للمجموعات وغيرها من الخوارزميات الرياضية، ونتائج الصلابة الجبرية للمجموعات العامة. ^{[ 49 ]}
• دراسة مجموعات الأوتوماتا ومجموعات المونودرومي المتكررة كمجموعات من التشاكلات الذاتية للأشجار الجذرية اللانهائية. وعلى وجه الخصوص، تظهر مجموعات غريغورتشوك للنمو المتوسط، وتعميماتها، في هذا السياق. ^{[ 50 ] [ 51 ]}
• دراسة الخصائص النظرية للقياس لتأثيرات المجموعات على فضاءات القياس ، ولا سيما تقديم وتطوير مفاهيم تكافؤ القياس وتكافؤ المدار ، بالإضافة إلى تعميمات نظرية القياس لصلابة موستو. ^{[ 52 ] [ 53 ]}
• دراسة التمثيلات الوحدوية للمجموعات المنفصلة وخاصية كازدان (T) ^{[ 54 ]}
• دراسة Out ( Fn ₎ ( مجموعة التشاكل الخارجي لمجموعة حرة من الرتبة n ) والتشاكلات الفردية للمجموعات الحرة. وقد لعبت مقدمة ودراسة الفضاء الخارجي لكولر-فوغتمان ^{[ 55 ]} ونظرية مسارات القطارات ^{[ 56 ]} لتشاكلات المجموعات الحرة دورًا بارزًا في هذا السياق.
• تطور نظرية باس-سير ، ولا سيما نتائج إمكانية الوصول المختلفة ^{[ 57 ] [ 58 ] [ 59 ]} ونظرية الشبكات الشجرية. ^{[ 60 ]} تعميمات نظرية باس-سير مثل نظرية معقدات المجموعات. ^{[ 45 ]}
• دراسة المسارات العشوائية على المجموعات ونظرية الحدود ذات الصلة، ولا سيما مفهوم حدود بواسون (انظر على سبيل المثال ^{[ 61 ]} ). دراسة قابلية التقارب والمجموعات التي لا يزال وضع قابلية تقاربها غير معروف.
• التفاعلات مع نظرية الزمر المنتهية، ولا سيما التقدم في دراسة نمو الزمر الفرعية . ^{[ 62 ]}
• دراسة المجموعات الفرعية والشبكات في المجموعات الخطية ، مثل${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$، ومجموعات لي الأخرى، عبر الطرق الهندسية (مثل المباني )، والأدوات الجبرية الهندسية (مثل المجموعات الجبرية وأنواع التمثيل)، والطرق التحليلية (مثل التمثيلات الوحدوية على فضاءات هيلبرت) والطرق الحسابية.
• علم التماثل الجماعي ، باستخدام الأساليب الجبرية والطوبولوجية، وخاصة التفاعل مع الطوبولوجيا الجبرية واستخدام أفكار نظرية مورس في السياق التوافقي؛ الأساليب التماثلية والتماثلية واسعة النطاق أو الخشنة (انظر على سبيل المثال ^{[ 63 ] ).}
• التقدم في مواضيع نظرية المجموعات التوافقية التقليدية، مثل مشكلة بيرنسايد ، ^{[ 64 ] [ 65 ]} ودراسة مجموعات كوكسيتر ومجموعات أرتين ، وما إلى ذلك (الأساليب المستخدمة لدراسة هذه الأسئلة حاليًا غالبًا ما تكون هندسية وطوبولوجية).

تُدرس الأمثلة التالية غالبًا في نظرية الزمر الهندسية:

• معضلة بينغ بونغ ، ​​وهي طريقة مفيدة لعرض مجموعة ما كمنتج مجاني
• مجموعة متفهمة
• تحول نيلسن
• تحول تيتز

• صفحة جون ماكاموند لنظرية الزمر الهندسية
• ما هي نظرية الزمر الهندسية؟ بقلم دانيال وايز
• المشكلات المفتوحة في نظرية المجموعات التوافقية والهندسية
• موضوع نظرية الزمر الهندسية على موقع arxiv.org