المجموعة (الرياضيات)

تُعد مجموعة الأعداد الصحيحة واحدة من أكثر المجموعات شيوعًا.$${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$$ بالإضافة إلى الجمع . ^{[ 3 ]} لأي عددين صحيحين${\displaystyle a}$و​${\displaystyle b}$المجموع​​${\displaystyle a+b}$وهو أيضًا عدد صحيح؛ تشير خاصية الإغلاق هذه إلى أن${\displaystyle +}$هي عملية ثنائية على${\displaystyle \mathbb {Z} }$تُعتبر الخصائص التالية لجمع الأعداد الصحيحة بمثابة نموذج لبديهيات المجموعة في التعريف أدناه. ^{[ 4 ]}

• لجميع الأعداد الصحيحة${\displaystyle a}$،​${\displaystyle b}$و​ ${\displaystyle c}$، لدى المرء${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$. معبر عنها بالكلمات، إضافة${\displaystyle a}$ل${\displaystyle b}$أولاً، ثم إضافة النتيجة إلى${\displaystyle c}$يعطي نفس النتيجة النهائية مثل إضافة${\displaystyle a}$إلى مجموع${\displaystyle b}$و​ ${\displaystyle c}$تُعرف هذه الخاصية باسم التجميعية . ^{[ 4 ]}
• لو${\displaystyle a}$إذا كان أي عدد صحيح، فإن${\displaystyle 0+a=a}$و​${\displaystyle a+0=a}$يُطلق على الصفر اسم العنصر المحايد في عملية الجمع لأن إضافته إلى أي عدد صحيح ينتج عنه نفس العدد الصحيح. ^{[ 4 ]}
• لكل عدد صحيح${\displaystyle a}$، يوجد عدد صحيح${\displaystyle b}$بحيث${\displaystyle a+b=0}$و​${\displaystyle b+a=0}$العدد الصحيح${\displaystyle b}$يُطلق عليه العنصر المعكوس للعدد الصحيح${\displaystyle a}$ويرمز إليه بـ ${\displaystyle -a}$[ ⁴ ]^​​

الأعداد الصحيحة، بالإضافة إلى العملية ⁠${\displaystyle +}$تشكل هذه البنى كائنًا رياضيًا ينتمي إلى فئة واسعة تتشارك في جوانب هيكلية متشابهة. ولفهم هذه البنى بشكل مناسب كمجموعة، تم تطوير التعريف التالي.

المجموعة هي مجموعة${\displaystyle G}$بالإضافة إلى عملية ثنائية على${\displaystyle G}$، المشار إليه هنا بـ "${\displaystyle \cdot }$" ، الذي يجمع بين أي عنصرين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$ل${\displaystyle G}$لتشكيل عنصر من ⁠${\displaystyle G}$، المشار إليه${\displaystyle a\cdot b}$، بحيثيتم استيفاء المتطلبات الثلاثة التالية، والمعروفة باسم بديهيات المجموعة : ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ أ ]}

الترابط

للجميع​${\displaystyle a}$،​​${\displaystyle b}$،​​${\displaystyle c}$في​​${\displaystyle G}$، لدى المرء${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$⁠ .

عنصر الهوية

يوجد عنصر${\displaystyle e}$في${\displaystyle G}$بحيث يكون لكل${\displaystyle a}$في​${\displaystyle G}$، لدى المرء${\displaystyle e\cdot a=a}$و​​${\displaystyle a\cdot e=a}$⁠ .

مثل هذا العنصر${\displaystyle e}$هو عنصر فريد. ويسمى عنصر الهوية (أو أحيانًا العنصر المحايد ) للمجموعة.

العنصر العكسي

لكل${\displaystyle a}$في​${\displaystyle G}$، يوجد عنصر${\displaystyle b}$في${\displaystyle G}$بحيث${\displaystyle a\cdot b=e}$و​${\displaystyle b\cdot a=e}$، حيث${\displaystyle e}$هو عنصر الهوية.

لكل​${\displaystyle a}$، العنصر${\displaystyle b}$فريد من نوعه؛ ويُطلق عليه اسم معكوس${\displaystyle a}$ويُشار إليه عادةً بـ ⁠${\displaystyle a^{-1}}$⁠ .

ملاحظة: إن تفرد الهوية وتفرد العناصر العكسية ليسا جزءًا من البديهيات؛ بل هما نتيجتان للبديهيات الثلاث.

بصورة رسمية، الزمرة هي زوج مرتب من مجموعة وعملية ثنائية على هذه المجموعة تحقق بديهيات الزمرة . تسمى المجموعة بالمجموعة الأساسية للزمرة، وتسمى العملية بعملية الزمرة أو قانون الزمرة .

وبالتالي، تُعتبر المجموعة ومجموعتها الأساسية كيانين رياضيين مختلفين . ولتجنب الرموز المعقدة، يشيع استخدام الرمز نفسه للدلالة على كليهما. ويعكس هذا أيضًا طريقة تفكير غير رسمية: مفادها أن المجموعة هي نفسها المجموعة، إلا أنها مُثرية ببنية إضافية تُوفرها العملية.

على سبيل المثال، لننظر إلى مجموعة الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$، والتي تتضمن عمليات الجمع${\displaystyle a+b}$والضرب​​${\displaystyle ab}$رسميًا ،${\displaystyle \mathbb {R} }$هي مجموعة،${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$هي مجموعة، و${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$هو حقل . لكن من الشائع كتابة${\displaystyle \mathbb {R} }$للدلالة على أي من هذه الأشياء الثلاثة.

المجموعة المضافة للحقل${\displaystyle \mathbb {R} }$هي المجموعة التي مجموعتها الأساسية هي${\displaystyle \mathbb {R} }$والتي تتمثل عمليتها في الجمع. المجموعة الضربية للحقل${\displaystyle \mathbb {R} }$هي المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$والتي مجموعتها الأساسية هي مجموعة الأعداد الحقيقية غير الصفرية${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$والتي تتمثل عمليتها في الضرب.

وبشكل أعم، يُطلق على المجموعة اسم المجموعة الجمعية عندما تُرمز عملية المجموعة بالجمع؛ وفي هذه الحالة، يُشار عادةً إلى العنصر المحايد بـ ⁠${\displaystyle 0}$، ومعكوس عنصر${\displaystyle x}$يُشار إليه بـ ⁠${\displaystyle -x}$وبالمثل ، يُطلق على المجموعة اسم المجموعة الضربية عندما تُرمز عملية المجموعة بالضرب؛ وفي هذه الحالة، يُشار عادةً إلى العنصر المحايد بـ${\displaystyle 1}$، ومعكوس عنصر${\displaystyle x}$يُشار إليه بـ ⁠${\displaystyle x^{-1}}$في المجموعة الضربية ، عادةً ما يتم حذف رمز العملية بالكامل، بحيث يتم الإشارة إلى العملية عن طريق التجاور.${\displaystyle ab}$بدلاً من${\displaystyle a\cdot b}$⁠ .

لا يشترط تعريف المجموعة أن${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$لجميع العناصر${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$في​${\displaystyle G}$إذا تحقق هذا الشرط الإضافي، يُقال إن العملية تبديلية ، وتُسمى المجموعة مجموعة تبديلية . من المتعارف عليه أنه بالنسبة للمجموعة التبديلية، يُمكن استخدام الترميز الجمعي أو الضربي، بينما بالنسبة للمجموعة غير التبديلية ، يُستخدم الترميز الضربي فقط.

تُستخدم عدة رموز أخرى بشكل شائع للمجموعات التي لا تكون عناصرها أعدادًا. أما بالنسبة للمجموعة التي تكون عناصرها دوالًا ، فغالبًا ما تكون العملية هي تركيب الدوال .${\displaystyle f\circ g}$إذا كان الأمر كذلك، فيمكن الإشارة إلى العنصر المحايد بالرمز id. في الحالات الأكثر تحديدًا لمجموعات التحويل الهندسي ،ومجموعات التناظر ، ومجموعات التبديل ، ومجموعات التشاكل الذاتي ، يكون الرمز${\displaystyle \circ }$غالباً ما يتم حذفها، كما هو الحال بالنسبة للمجموعات الضربية. وقد تصادف العديد من أشكال الترميز الأخرى.

عناصر مجموعة التناظر للمربع ،${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$يتم تحديد الرؤوس عن طريق اللون أو الرقم.

${\displaystyle \mathrm {id} }$(الإبقاء عليه كما هو)

${\displaystyle r_{1}}$(دوران بمقدار 90 درجة باتجاه عقارب الساعة)

${\displaystyle r_{2}}$(دوران بمقدار 180 درجة)

${\displaystyle r_{3}}$(دوران بمقدار 270 درجة باتجاه عقارب الساعة)

${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$(انعكاس عمودي)

${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$(انعكاس أفقي)

${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$(انعكاس قطري)

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$(انعكاس قطري معاكس)

يكون شكلان في المستوى متطابقين إذا أمكن تحويل أحدهما إلى الآخر باستخدام مجموعة من الدورانات والانعكاسات والإزاحات . أي شكل متطابق مع نفسه. مع ذلك، تتطابق بعض الأشكال مع نفسها بأكثر من طريقة ، وتُسمى هذه التطابقات الإضافية بالتناظرات . للمربع ثمانية تناظرات، وهي: ^{[ 8 ]}

• عملية التطابق التي لا تُغير أي شيء، ويُرمز لها بـ${\displaystyle \operatorname {id} }$؛
• دوران المربع حول مركزه بزوايا 90° و180° و270° باتجاه عقارب الساعة، ويرمز لها بـ ⁠${\displaystyle r_{1}}$،​${\displaystyle r_{2}}$و​${\displaystyle r_{3}}$، على التوالي؛
• تأملات حول الخط الأوسط الأفقي والرأسي ( ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$و​​${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$أو من خلال القطرين (${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$و​​${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$) .

هذه التناظرات عبارة عن دوال. كل منها يُرسل نقطة في المربع إلى النقطة المقابلة لها تحت التناظر. على سبيل المثال،${\displaystyle r_{1}}$يُرسل نقطةً إلى دورانها 90 درجة باتجاه عقارب الساعة حول مركز المربع، و${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$يُرسل نقطةً إلى انعكاسها عبر الخط العمودي الأوسط للمربع. يُعطي تركيب اثنين من هذه التناظرات تناظرًا آخر. تُحدد هذه التناظرات مجموعةً تُسمى المجموعة ثنائية السطوح من الدرجة الرابعة، ويُرمز لها بـ ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$المجموعة الأساسية للمجموعة هي مجموعة التناظرات المذكورة أعلاه ، وعملية المجموعة هي تركيب الدوال. يتم دمج تناظرين بتركيبهما كدوال، أي بتطبيق التناظر الأول على المربع، ثم تطبيق التناظر الثاني على ناتج التطبيق الأول.${\displaystyle a}$وثم${\displaystyle b}$تُكتب بشكل رمزي من اليمين إلى اليسار كما يلي:${\displaystyle b\circ a}$(تطبيق التناظر${\displaystyle b}$بعد إجراء التناظر${\displaystyle a}$" ). هذه هي الصيغة المعتادة لتركيب الدوال. ^{[ 9 ]}

يسرد جدول كايلي نتائج جميع هذه التركيبات الممكنة. على سبيل المثال، الدوران بمقدار 270 درجة في اتجاه عقارب الساعة (${\displaystyle r_{3}}$ثم ينعكس أفقيًا (${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$) هو نفسه إجراء انعكاس على طول القطر ( ).${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$) . باستخدام الرموز المذكورة أعلاه، والمميزة باللون الأزرق في جدول كايلي: $${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$$

جدول كايلي${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

${\displaystyle \circ }$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$
${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$
${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$
${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$
${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$
${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{2}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$
العناصر​${\displaystyle \mathrm {id} }$،​​${\displaystyle r_{1}}$،​​${\displaystyle r_{2}}$و​​${\displaystyle r_{3}}$تشكل زمرة جزئية مُظللة باللون الأحمر (المنطقة العلوية اليسرى) جدول كايلي الخاص بهايُظلل باللونالأخضر (في الصف الأخير) واللون الأصفر (في العمود الأخير) مشاركة  يسرى ويمنى لهذه الزمرة الجزئية على التوالي . نتيجة التركيب  ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}}$، التناظر​${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$، مُظلل باللونالأزرق (أسفل وسط الطاولة).

بالنظر إلى هذه المجموعة من التناظرات والعملية الموصوفة، يمكن فهم بديهيات المجموعة على النحو التالي:

• العملية الثنائية : التركيب عملية ثنائية. أي،${\displaystyle a\circ b}$هي تناظر لأي تناظرين${\displaystyle a}$و​${\displaystyle b}$على سبيل المثال ،$${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} }.}$$أي أن الدوران 270 درجة في اتجاه عقارب الساعة بعد الانعكاس الأفقي يساوي الانعكاس على طول القطر المقابل (${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$) . في الواقع، كل تركيبة أخرى من تناظرين لا تزال تعطي تناظرًا، كما يمكن التحقق من ذلك باستخدام جدول كايلي.
• خاصية التجميع : تتناول بديهية التجميع تركيب أكثر من تناظرين: بدءًا من ثلاثة عناصر${\displaystyle a}$،​​${\displaystyle b}$و​​${\displaystyle c}$من​​${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$هناك طريقتان محتملتان لاستخدام هذه التناظرات الثلاثة بهذا الترتيب لتحديد تناظر المربع. إحدى هاتين الطريقتين هي أولاً تركيب${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$في تناظر واحد، ثم لتركيب ذلك التناظر مع${\displaystyle c}$أما الطريقة الأخرى فهي التأليف أولاً${\displaystyle b}$و​${\displaystyle c}$ثم قم بتكوين التناظر الناتج مع${\displaystyle a}$هاتان الطريقتان يجب أن تعطيا دائمًا نفس النتيجة، أي$${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c).}$$على سبيل المثال،${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})}$يمكن التحقق من ذلك باستخدام جدول كايلي:$${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}}$$
• عنصر الهوية : عنصر الهوية هو${\displaystyle \mathrm {id} }$لأنه لا يغير أي تناظر${\displaystyle a}$عند وضعها إما على اليسار أو على اليمين.
• العنصر المعكوس : لكل تناظر عنصر معكوس :${\displaystyle \mathrm {id} }$، الانعكاسات​${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$،​​${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$،​​${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$،​​${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$ودوران 180 درجة${\displaystyle r_{2}}$هي معكوسة لنفسها، لأن تكرارها مرتين يعيد المربع إلى وضعه الأصلي.${\displaystyle r_{3}}$و${\displaystyle r_{1}}$كل منهما معكوس للآخر، لأن الدوران بزاوية 90 درجة ثم الدوران بزاوية 270 درجة (أو العكس) ينتج عنه دوران بزاوية 360 درجة لا يغير المربع. ويمكن التحقق من ذلك بسهولة في الجدول.

على عكس مجموعة الأعداد الصحيحة المذكورة أعلاه، حيث لا يهم ترتيب العملية، فإنه يهم في ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$، على سبيل المثال،${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$لكن​${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$بمعنى آخر ،${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ليست أبيلية.

تُشير بديهيات المجموعة إلى أن العنصر المحايد فريد؛ أي أنه لا يوجد سوى عنصر محايد واحد: أي عنصرين محايدين${\displaystyle e}$و${\displaystyle f}$تكون عناصر المجموعة متساوية، لأن بديهيات المجموعة تستلزم ذلك .${\displaystyle e=e\cdot f=f}$لذلك ، من المعتاد الحديث عن عنصر الهوية في المجموعة. ^{[ 29 ]}

تُشير بديهيات المجموعة أيضًا إلى أن معكوس كل عنصر فريد. ليكن عنصر المجموعة${\displaystyle a}$امتلك كليهما${\displaystyle b}$و${\displaystyle c}$كمعكوسات. ثم

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ and }}a{\text{ are inverses of each other)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ is an inverse of }}a{\text{)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element and }}b=c{\text{)}}\end{aligned}}}$

لذلك، من المعتاد الحديث عن معكوس العنصر. ^{[ 29 ]}

العناصر المعطاة${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$من مجموعة${\displaystyle G}$يوجد حل فريد${\displaystyle x}$في${\displaystyle G}$إلى المعادلة${\displaystyle a\cdot x=b}$، أي${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$[ ^{ج ] [ 30 ] ويترتب على ذلك} أنه لكل${\displaystyle a}$في${\displaystyle G}$، الوظيفة${\displaystyle G\to G}$التي ترسم كل${\displaystyle x}$ل${\displaystyle a\cdot x}$هي دالة تقابل ؛ وتسمى الضرب من اليسار بواسطة${\displaystyle a}$أو ترجمة من قبل${\displaystyle a}$.

وبالمثل، بالنظر إلى${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$في${\displaystyle G}$الحل الفريد${\displaystyle x}$ل${\displaystyle x\cdot a=b}$يكون${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$لكل${\displaystyle a}$، الوظيفة${\displaystyle G\to G}$التي ترسم كل${\displaystyle x}$ل${\displaystyle x\cdot a}$هي دالة تقابل تسمى الضرب من اليمين بواسطة${\displaystyle a}$أو الترجمة الصحيحة بواسطة${\displaystyle a}$.

يمكن "تخفيف" بديهيات المجموعة الخاصة بالعنصر المحايد والمعكوسات لتؤكد فقط وجود عنصر محايد يساري ومعكوسات يسارية . انطلاقًا من هذه البديهيات أحادية الجانب ، يمكن إثبات أن العنصر المحايد اليساري هو أيضًا عنصر محايد يميني، وأن المعكوس اليساري هو أيضًا معكوس يميني لنفس العنصر. ولأنها تُعرّف نفس البنى تمامًا كمجموعات، فإن البديهيات مجتمعةً لا تُعدّ أضعف. ^{[ 31 ]}

على وجه الخصوص، بافتراض الترابطية ووجود هوية يسارية${\displaystyle e}$(أي، ⁠${\displaystyle e\cdot f=f}$) ومعكوس يساري${\displaystyle f^{-1}}$لكل عنصر${\displaystyle f}$(أي، ⁠${\displaystyle f^{-1}\cdot f=e}$وبناءً على ذلك ، فإن كل معكوس أيسر هو أيضًا معكوس أيمن لنفس العنصر كما يلي. ^{[ 31 ]} في الواقع، لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left identity)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associativity)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(left identity)}}\\&=e&&{\text{(left inverse)}}\end{aligned}}}$

وبالمثل، فإن الهوية اليسرى هي أيضاً هوية يمنى: ^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(right inverse)}}\\&=f&&{\text{(left identity)}}\end{aligned}}}$

لا تصح هذه النتائج إذا أُزيل أيٌّ من هذه البديهيات (التجميعية، ووجود عنصر محايد يساري، ووجود معكوس يساري). بالنسبة لبنية ذات تعريف أقل صرامة (مثل شبه زمرة )، قد يكون لدينا، على سبيل المثال، أن العنصر المحايد اليساري ليس بالضرورة عنصرًا محايدًا يمينيًا.

يمكن الحصول على النتيجة نفسها بمجرد افتراض وجود عنصر محايد أيمن وعنصر معكوس أيمن.

مع ذلك، فإن مجرد افتراض وجود عنصر محايد أيسر ومعكوس أيمن (أو العكس) لا يكفي لتعريف مجموعة. على سبيل المثال، لننظر إلى المجموعة${\displaystyle G=\{e,f\}}$مع المشغل${\displaystyle \,\!\cdot }$مُرضٍ${\displaystyle e\cdot e=f\cdot e=e}$و​${\displaystyle e\cdot f=f\cdot f=f}$. يمتلك هذا الهيكل عنصرًا محايدًا يساريًا (أي، ⁠${\displaystyle e}$) ، ولكل عنصر معكوس يميني (وهو${\displaystyle e}$(لكلا العنصرين). علاوة على ذلك، فإن هذه العملية تجميعية (لأن حاصل ضرب أي عدد من العناصر يساوي دائمًا العنصر الموجود في أقصى اليمين في ذلك الناتج، بغض النظر عن ترتيب تطبيق هذه العمليات). ومع ذلك،${\displaystyle (G,\cdot )}$ليست مجموعة، لأنها تفتقر إلى هوية صحيحة.

التشاكلات الزمرية ^{[ e ]} هي دوال تحافظ على بنية الزمرة؛ ويمكن استخدامها لربط زمرتين. التشاكل من زمرة${\displaystyle (G,\cdot )}$إلى مجموعة${\displaystyle (H,*)}$هي دالة${\displaystyle \varphi :G\to H}$بحيث

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$لجميع العناصر${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$في​${\displaystyle G}$⁠ .

من الطبيعي أن يُشترط ذلك أيضاً${\displaystyle \varphi }$احترام الهويات ،${\displaystyle \varphi (1_{G})=1_{H}}$، والمعكوسات،${\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}$للجميع${\displaystyle a}$في​${\displaystyle G}$ومع ذلك، لا يلزم تضمين هذه المتطلبات الإضافية في تعريف التشاكلات، لأنها مضمنة بالفعل في شرط احترام عملية المجموعة. ^{[ 32 ]}

التماثل المحايد لمجموعة${\displaystyle G}$هو التشاكل${\displaystyle \iota _{G}:G\to G}$التي تحدد كل عنصر من${\displaystyle G}$إلى نفسه. تشاكل عكسي لتشاكل${\displaystyle \varphi :G\to H}$هو تشاكل${\displaystyle \psi :H\to G}$بحيث${\displaystyle \psi \circ \varphi =\iota _{G}}$و​${\displaystyle \varphi \circ \psi =\iota _{H}}$أي بحيث${\displaystyle \psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g}$للجميع${\displaystyle g}$في${\displaystyle G}$ومثل ذلك${\displaystyle \varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h}$للجميع${\displaystyle h}$في​${\displaystyle H}$التشاكل هو تماثل له تماثل عكسي؛ أو بعبارة أخرى، هو تماثل تقابلي . الزمر${\displaystyle G}$و${\displaystyle H}$تُسمى متماثلة إذا وُجد تماثل .${\displaystyle \varphi :G\to H}$في هذه الحالة ،${\displaystyle H}$يمكن الحصول عليها من${\displaystyle G}$ببساطة عن طريق إعادة تسمية عناصرها وفقًا للوظيفة${\displaystyle \varphi }$; ثم أي عبارة صحيحة لـ${\displaystyle G}$ينطبق هذا على${\displaystyle H}$، بشرط إعادة تسمية أي عناصر محددة مذكورة في البيان.

تشكل مجموعة جميع المجموعات، بالإضافة إلى التشاكلات بينها، فئة ، وهي فئة المجموعات . ^{[ 33 ]}

التماثل الأحادي​${\displaystyle \phi :G'\to G}$العوامل بشكل أساسي كتماثل متبوع بتضمين،${\displaystyle G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G}$لبعض المجموعات الفرعية${\displaystyle H}$من​​${\displaystyle G}$. التشاكلات الحقنية هي التشاكلات الأحادية في فئة المجموعات.

بصورة غير رسمية، المجموعة الفرعية هي مجموعة${\displaystyle H}$محصور داخل واحد أكبر ،${\displaystyle G}$⁠ : يحتوي على مجموعة فرعية من عناصر ⁠${\displaystyle G}$، بنفس العملية. ^{[ 34 ]} وهذا يعني تحديدًا أن العنصر المحايد لـ${\displaystyle G}$يجب أن يكون موجودًا في${\displaystyle H}$وكلما​${\displaystyle h_{1}}$و${\displaystyle h_{2}}$كلاهما في${\displaystyle H}$إذن ، كذلك هم${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}}$و​${\displaystyle h_{1}^{-1}}$، لذا فإن عناصر${\displaystyle H}$، مجهزة بعملية المجموعة على${\displaystyle G}$يقتصر على${\displaystyle H}$، تشكل بالفعل مجموعة. في هذه الحالة، خريطة التضمين${\displaystyle H\to G}$هو تماثل.

في مثال تناظرات المربع، يشكل العنصر المحايد والدوران مجموعة فرعية .${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$كما هو موضح باللون الأحمر في جدول كايلي للمثال: أي دورانين مُركّبين يظلان دورانًا، ويمكن عكس الدوران (أي أن يكون معكوسًا) بالدوران المُكمّل له، 270° للدوران 90°، و180° للدوران 180°، و90° للدوران 270°.يوفر اختبار المجموعة الجزئية شرطًا ضروريًا وكافيًا لمجموعة جزئية غير فارغة .${\displaystyle H}$من مجموعة​${\displaystyle G}$لكي تكون مجموعة فرعية: يكفي التحقق من ذلك${\displaystyle g^{-1}\cdot h\in H}$لجميع العناصر${\displaystyle g}$و${\displaystyle h}$في​${\displaystyle H}$إن معرفة المجموعات الفرعية لأي مجموعة ^{أمر مهم لفهم المجموعة} ككل.

بالنظر إلى أي مجموعة جزئية${\displaystyle S}$من مجموعة${\displaystyle G}$، المجموعة الفرعية الناتجة عن${\displaystyle S}$يتكون من جميع نواتج عناصر${\displaystyle S}$ومعكوساتها. وهي أصغر مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$يحتوي على${\displaystyle S}$[ ^{35 ]} فيمثال تناظرات المربع، المجموعة الفرعية المتولدة ^بواسطة${\displaystyle r_{2}}$و${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$يتكون من هذين العنصرين، عنصر الهوية ⁠${\displaystyle \mathrm {id} }$، والعنصر​${\displaystyle f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}}$⁠ . مرة أخرى، هذه مجموعة فرعية، لأن الجمع بين أي اثنين من هذه العناصر الأربعة أو معكوساتها (وهي، في هذه الحالة بالذات، نفس العناصر) ينتج عنصرًا من هذه المجموعة الفرعية.

في كثير من الحالات، يُستحسن اعتبار عنصرين من عناصر المجموعة متماثلين إذا اختلفا بعنصر من مجموعة جزئية معينة. على سبيل المثال، في مجموعة التناظر للمربع، بمجرد إجراء أي انعكاس، لا يمكن للدوران وحده إعادة المربع إلى وضعه الأصلي، لذا يمكن اعتبار جميع مواضع المربع المنعكسة متكافئة، وغير متكافئة مع المواضع غير المنعكسة؛ فعمليات الدوران غير ذات صلة بمسألة ما إذا كان قد تم إجراء انعكاس أم لا. تُستخدم المجموعات المشاركة لإضفاء الطابع الرسمي على هذه الفكرة: مجموعة جزئية${\displaystyle H}$يحدد المجموعات المشاركة اليسرى واليمنى، والتي يمكن اعتبارها ترجمات لـ${\displaystyle H}$بواسطة عنصر مجموعة عشوائي${\displaystyle g}$. من الناحية الرمزية، فإن المجموعات المشاركة اليسرى واليمنى لـ${\displaystyle H}$، يحتوي على عنصر${\displaystyle g}$⁠ , are

${\displaystyle gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}}$و​${\displaystyle Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}}$[ ^{36 ]}​^​

المجموعات المشاركة اليسرى لأي مجموعة جزئية${\displaystyle H}$تشكيل قسم من​${\displaystyle G}$أي أن اتحاد جميع المجموعات المشاركة اليسرى يساوي${\displaystyle G}$ويكون مجموعتان مشاركتان يساريتان إما متساويتين أو لهما تقاطع فارغ . ^{[ 37 ]} الحالة الأولى${\displaystyle g_{1}H=g_{2}H}$يحدث ذلك تحديداً عندما${\displaystyle g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H}$أي عندما يختلف العنصران بمقدار عنصر من${\displaystyle H}$تنطبق اعتبارات مماثلة على المجموعات المشاركة اليمنى لـ${\displaystyle H}$. المشاركات اليسرى لـ${\displaystyle H}$قد تكون هذه المجموعات متطابقة أو غير متطابقة مع مجموعاتها المشاركة اليمنى. إذا كانت متطابقة (أي إذا كانت جميعها متطابقة)${\displaystyle g}$في${\displaystyle G}$يرضي​${\displaystyle gH=Hg}$ثم​${\displaystyle H}$ويُقال إنها مجموعة فرعية طبيعية .

في​${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$، مجموعة تناظرات المربع، مع مجموعتها الفرعية${\displaystyle R}$من الدورات، المجموعات المشاركة اليسرى${\displaystyle gR}$إما أن تكون مساوية لـ${\displaystyle R}$، إذا${\displaystyle g}$هو عنصر من${\displaystyle R}$نفسها، أو ما يعادلها بطريقة أخرى${\displaystyle U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}}$(مُظلل باللون الأخضر في جدول كايلي الخاص بـ ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$) . المجموعة الفرعية${\displaystyle R}$هذا طبيعي، لأن${\displaystyle f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }}$وينطبق الأمر نفسه على العناصر الأخرى للمجموعة. (في الواقع، في حالة ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$تكون جميع المجموعات المشاركة الناتجة عن الانعكاسات متساوية :${\displaystyle f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R}$. )

لنفترض أن${\displaystyle N}$هي مجموعة فرعية طبيعية من مجموعة${\displaystyle G}$، و $${\displaystyle G/N=\{gN\mid g\in G\}}$$ يرمز إلى مجموعة المشاركات. عندئذٍ يوجد قانون مجموعة فريد على${\displaystyle G/N}$والتي من أجلها الخريطة${\displaystyle G\to G/N}$إرسال كل عنصر${\displaystyle g}$ل${\displaystyle gN}$هو تشاكل. تحديدًا، هو حاصل ضرب مجموعتين مشاركتين${\displaystyle gN}$و${\displaystyle hN}$هو​${\displaystyle (gh)N}$، المجموعة المشاركة${\displaystyle eN=N}$يمثل هوية ⁠${\displaystyle G/N}$، وعكس${\displaystyle gN}$في مجموعة القسمة هو ⁠${\displaystyle (gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N}$. المجموعة​${\displaystyle G/N}$تُقرأ على النحو التالي : "${\displaystyle G}$modulo​​${\displaystyle N}$يُطلق على ^{[ 38 ]} اسم مجموعة القسمة أو مجموعة العوامل . ويمكن بدلاً من ذلك وصف مجموعة القسمة بخاصية شاملة .

جدول كايلي لمجموعة القسمة${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$

${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle U}$
${\displaystyle R}$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle U}$
${\displaystyle U}$	${\displaystyle U}$	${\displaystyle R}$

عناصر مجموعة القسمة${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$نكون${\displaystyle R}$و​${\displaystyle U=f_{\mathrm {v} }R}$يوضح الجدول عملية التجميع على ناتج القسمة. على سبيل المثال ،${\displaystyle U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R}$. كلتا المجموعتين الفرعيتين${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$والناتج${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$هي أبيلية، لكن${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ليس كذلك. في بعض الأحيان يمكن إعادة بناء مجموعة من مجموعة فرعية وقسمة (بالإضافة إلى بعض البيانات الإضافية)، عن طريق بناء المنتج شبه المباشر ؛${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$هذا مثال.

تنص نظرية التشاكل الأولى على أن أي تشاكل شامل${\displaystyle \phi :G\to H}$تُحلل بشكل قانوني كتشاكل خارج القسمة متبوعًا بتشاكل :${\displaystyle G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H}$. التشاكلات الشاملة هي التشاكلات العليا في فئة المجموعات.

كل مجموعة متماثلة مع خارج قسمة مجموعة حرة ، من نواحٍ عديدة.

على سبيل المثال، مجموعة الزوايا الثنائية${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$يتم توليدها عن طريق الدوران الصحيح${\displaystyle r_{1}}$والانعكاس${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$في خط عمودي (كل عنصر من${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$هو ناتج منتهٍ لنسخ هذه العناصر ومعكوساتها). ومن ثم يوجد تشاكل شامل .${\displaystyle \phi }$من المجموعة المجانية${\displaystyle \langle r,f\rangle }$على مولدين لـ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$إرسال${\displaystyle r}$ل${\displaystyle r_{1}}$و${\displaystyle f}$إلى​${\displaystyle f_{1}}$. العناصر في${\displaystyle \ker \phi }$تُسمى هذه العلاقات ؛ ومن الأمثلة عليها :${\displaystyle r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}}$في الواقع ، اتضح أن${\displaystyle \ker \phi }$هي أصغر مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle \langle r,f\rangle }$تحتوي على هذه العناصر الثلاثة؛ بعبارة أخرى، جميع العلاقات هي نتائج لهذه العناصر الثلاثة. يُرمز إلى خارج قسمة المجموعة الحرة على هذه المجموعة الجزئية الطبيعية بـ ⁠${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle }$يُطلق على هذا اسم عرض تقديمي لـ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$بواسطة المولدات والعلاقات، لأن نظرية التشاكل الأولى لـ${\displaystyle \phi }$ينتج عنه تماثل${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}}$[ ³⁹ ]^​​

يمكن استخدام عرض مجموعة لإنشاء مخطط كايلي ، وهو تمثيل بياني لمجموعة منفصلة . ^{[ 40 ]}

تتمتع العديد من أنظمة الأعداد، كالأعداد الصحيحة والنسبية ، ببنية زمرية طبيعية. في بعض الحالات، كما هو الحال مع الأعداد النسبية، تُنتج عمليتا الجمع والضرب معًا بنى زمرية. تُعدّ هذه الأنظمة العددية أسلافًا لبنى جبرية أكثر عمومية تُعرف بالحلقات والحقول . كما تُشكّل مفاهيم جبرية مجردة أخرى ، كالوحدات النمطية والفضاءات المتجهة والجبر، زمرًا أيضًا.

الحساب النمطي للمعامل${\displaystyle n}$يُعرّف أي عنصرين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$والتي تختلف بمقدار مضاعفات${\displaystyle n}$ليكون متكافئًا، ويرمز له بـ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$كل عدد صحيح يكافئ أحد الأعداد الصحيحة من${\displaystyle 0}$إلى​${\displaystyle n-1}$وتُعدِّل عمليات الحساب النمطي العمليات الحسابية العادية باستبدال نتيجة أي عملية بنظيرها المكافئ . ويُعرَّف الجمع النمطي بهذه الطريقة للأعداد الصحيحة من${\displaystyle 0}$إلى​${\displaystyle n-1}$يشكل مجموعة، ويرمز لها بـ${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$أو​${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$، مع${\displaystyle 0}$كعنصر هوية و${\displaystyle n-a}$باعتباره العنصر العكسي لـ${\displaystyle a}$⁠ .

من الأمثلة الشائعة جمع الساعات على وجه الساعة ، حيث يُختار الرقم 12 بدلاً من 0 لتمثيل الوحدة. إذا كان عقرب الساعات على${\displaystyle 9}$وهو متقدم${\displaystyle 4}$ساعات، وينتهي الأمر على${\displaystyle 1}$كما هو موضح في الرسم التوضيحي. ويُعبَّر عن ذلك بالقول إن${\displaystyle 9+4}$متطابق مع${\displaystyle 1}$"modulo ⁠${\displaystyle 12}$أو بالرموز، $${\displaystyle 9+4\equiv 1{\pmod {12}}.}$$

لأي عدد أولي${\displaystyle p}$⁠ , هناك أيضًا المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد ⁠${\displaystyle p}$[ ⁴⁵ ] ^{يمكن تمثيل} عناصرها ^بواسطة${\displaystyle 1}$إلى​${\displaystyle p-1}$عملية المجموعة، الضرب بتردد ⁠${\displaystyle p}$، يستبدل الناتج المعتاد بممثله، وباقي القسمة على${\displaystyle p}$على سبيل المثال، بالنسبة إلى${\displaystyle p=5}$، يمكن تمثيل عناصر المجموعة الأربعة بواسطة${\displaystyle 1,2,3,4}$في هذه المجموعة ،${\displaystyle 4\cdot 4\equiv 1{\pmod {5}}}$لأن المنتج المعتاد${\displaystyle 16}$يعادل ⁠${\displaystyle 1}$: عند القسمة على${\displaystyle 5}$ينتج عنه باقي قدره${\displaystyle 1}$. أسبقية${\displaystyle p}$يضمن أن يكون ناتج ضرب ممثلين اثنين غير قابل للقسمة على${\displaystyle p}$وبالتالي فإن حاصل الضرب المعياري غير صفري. ^{[ م ]} يُرمز إلى عنصر الوحدة بـ ${\displaystyle 1}$وتتبع خاصية التجميع من الخاصية المقابلة للأعداد الصحيحة. وأخيرًا، تتطلب بديهية العنصر العكسي أنه عند إعطاء عدد صحيح${\displaystyle a}$غير قابل للقسمة على${\displaystyle p}$يوجد عدد صحيح${\displaystyle b}$بحيث $${\displaystyle a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},}$$ أي بحيث${\displaystyle p}$يقسم بالتساوي${\displaystyle a\cdot b-1}$. العكس${\displaystyle b}$يمكن إيجادها باستخدام متطابقة بيزو وحقيقة أن القاسم المشترك الأكبر${\displaystyle \gcd(a,p)}$يساوي​ ${\displaystyle 1}$[ ⁴⁶ ] ^{في هذه} الحالة${\displaystyle p=5}$أعلاه، معكوس العنصر المُمثَّل بواسطة${\displaystyle 4}$هل هذا ما يمثله ⁠${\displaystyle 4}$، ومعكوس العنصر المُمثَّل بواسطة${\displaystyle 3}$يمثلها ⁠ ${\displaystyle 2}$، كما​${\displaystyle 3\cdot 2=6\equiv 1{\pmod {5}}}$وبالتالي ، تتحقق جميع بديهيات المجموعة. هذا المثال مشابه لـ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)}$أعلاه: يتكون من تلك العناصر الموجودة في الحلقة تحديداً${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$التي لها معكوس ضربي. ^{[ 47 ]} هذه المجموعات، التي يُرمز لها بـ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$⁠ ، وهي أساسية لتشفير المفتاح العام . ^{[ ن ]}