دورة لينوار

في نموذج الغاز المثالي لدورة لينوار التقليدية، تتضمن المرحلة الأولى (1-2) إضافة الحرارة بطريقة ثابتة الحجم. وينتج عن ذلك ما يلي بالنسبة للقانون الأول للديناميكا الحرارية: ${\displaystyle {}_{1}Q_{2}=mc_{v}\left({T_{2}-T_{1}}\right)}$

لا يوجد شغل أثناء العملية لأن الحجم يبقى ثابتاً: ${\displaystyle {}_{1}W_{2}=\int _{1}^{2}{p\,dV}=0}$

ومن تعريف الحرارة النوعية عند ثبات الحجم للغاز المثالي: ${\displaystyle c_{v}={\frac {R}{\gamma -1}}}$

حيث R هو ثابت الغاز المثالي، و γ هي نسبة الحرارة النوعية (حوالي 287 جول/(كجم·كلفن) و1.4 للهواء على التوالي). يمكن حساب الضغط بعد إضافة الحرارة من قانون الغاز المثالي.${\displaystyle p_{2}v_{2}=RT_{2}}$

تتضمن المرحلة الثانية (2-3) تمددًا أديباتيًا عكسيًا للسائل عائدًا إلى ضغطه الأصلي. ويمكن تحديد أن القانون الثاني للديناميكا الحرارية، بالنسبة لعملية متساوية الإنتروبيا، ينتج عنه ما يلي: ${\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{3}}}=\left({\frac {p_{2}}{p_{3}}}\right)^{\textstyle {{\gamma -1} \over \gamma }}=\left({\frac {V_{3}}{V_{2}}}\right)^{\gamma -1}}$

أين${\displaystyle p_{3}=p_{1}}$بالنسبة لهذه الدورة تحديدًا، ينتج عن القانون الأول للديناميكا الحرارية ما يلي فيما يتعلق بعملية التمدد هذه:${\displaystyle {}_{2}W_{3}=\int _{2}^{3}{p\,dV}}$لأن العملية الأديباتية: ${\displaystyle {}_{2}Q_{3}=0}$

تتضمن المرحلة الأخيرة (3-1) طرد الحرارة عند ضغط ثابت للعودة إلى الحالة الأصلية. من القانون الأول للديناميكا الحرارية نجد ما يلي:${\displaystyle {}_{3}Q_{1}-{}_{3}W_{1}=U_{1}-U_{3}}$.

من تعريف العمل:${\displaystyle {}_{3}W_{1}=\int _{3}^{1}{p\,dV}=p_{1}\left({V_{1}-V_{3}}\right)}$، نستعيد ما يلي مقابل الحرارة المنبعثة خلال هذه العملية:${\displaystyle {}_{3}Q_{1}=\left({U_{1}+p_{1}V_{1}}\right)-\left({U_{3}+p_{3}V_{3}}\right)=H_{1}-H_{3}}$.

ونتيجة لذلك، يمكننا تحديد كمية الحرارة المطرودة على النحو التالي:${\displaystyle {}_{3}Q_{1}=mc_{p}\left({T_{1}-T_{3}}\right)}$بالنسبة للغاز المثالي،${\displaystyle c_{p}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}}}$.

تُحدد الكفاءة الإجمالية للدورة من خلال إجمالي الشغل الناتج عن مدخلات الحرارة، والذي يساوي في دورة لينوار

${\displaystyle \eta _{\rm {th}}={\frac {{}_{2}W_{3}+{}_{3}W_{1}}{{}_{1}Q_{2}}}.}$

لاحظ أننا نكتسب شغلاً أثناء عملية التمدد، لكننا نفقد بعضاً منه أثناء عملية طرد الحرارة. وبدلاً من ذلك، يمكن استخدام القانون الأول للديناميكا الحرارية للتعبير عن الكفاءة بدلالة الحرارة الممتصة والحرارة المطرودة.

${\displaystyle \eta _{\rm {th}}=1-{\frac {{}_{3}Q_{1}}{{}_{1}Q_{2}}}=1-\gamma \left({\frac {T_{3}-T_{1}}{T_{2}-T_{1}}}\right).}$

وباستخدام ذلك، بالنسبة للعملية متساوية الضغط، T ₃ / T ₁ = V ₃ / V ₁ ، وبالنسبة للعملية الكظيمة، T ₂ / T ₃ = ( V ₃ / V ₁ ) ^{γ − 1} ، يمكن التعبير عن الكفاءة بدلالة نسبة الضغط .

${\displaystyle \eta _{\rm {th}}=1-\gamma \left({\frac {r-1}{r^{\gamma }-1}}\right),}$

حيث تُعرَّف r = V3 / V1 بأنها _أكبر من 1. وبمقارنة كفاءة دورة أوتو بيانيًا، يتضح أن دورة أوتو أكثر كفاءة عند نسبة ضغط معينة. وبدلاً من ذلك، باستخدام العلاقة الموضحة في العملية 2-3، يمكن التعبير عن الكفاءة بدلالة rp = _{p2 /} p3 _{، وهي} نسبة الضغط ، ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \eta _{\rm {th}}=1-\gamma \left({\frac {r_{p}^{1/\gamma }-1}{r_{p}-1}}\right).}$