عملية متساوية الإنتروبيا

تعمل معظم أجهزة التدفق المستقر في ظل ظروف كظيمة، والعملية المثالية لهذه الأجهزة هي العملية متساوية الإنتروبيا. يُطلق على المعامل الذي يصف مدى كفاءة الجهاز في محاكاة جهاز متساوي الإنتروبيا مماثل اسم الكفاءة متساوية الإنتروبيا أو الكفاءة الكظيمة. ^{[ 13 ]}

الكفاءة الأيزنتروبية للتوربينات:

${\displaystyle \eta _{\text{t}}={\frac {\text{العمل الفعلي للتوربين}}{\text{العمل المتساوي الإنتروبيا للتوربين}}}={\frac {W_{a}}{W_{s}}}\cong {\frac {h_{1}-h_{2a}}{h_{1}-h_{2s}}}.}$

الكفاءة الأيزنتروبية للضواغط:

${\displaystyle \eta _{\text{c}}={\frac {\text{شغل الضاغط المتساوي الإنتروبيا}}{\text{شغل الضاغط الفعلي}}}={\frac {W_{s}}{W_{a}}}\cong {\frac {h_{2s}-h_{1}}{h_{2a}-h_{1}}}.}$

الكفاءة الأيزنتروبية للفوهات:

${\displaystyle \eta _{\text{n}}={\frac {\text{الطاقة الحركية الفعلية عند مخرج الفوهة}}{\text{الطاقة الحركية المتساوية الإنتروبيا عند مخرج الفوهة}}}={\frac {V_{2a}^{2}}{V_{2s}^{2}}}\cong {\frac {h_{1}-h_{2a}}{h_{1}-h_{2s}}}.}$

بالنسبة لجميع المعادلات المذكورة أعلاه:

${\displaystyle h_{1}}$هي المحتوى الحراري النوعي عند حالة الدخول،

${\displaystyle h_{2a}}$يمثل المحتوى الحراري النوعي عند حالة الخروج للعملية الفعلية،

${\displaystyle h_{2s}}$هي المحتوى الحراري النوعي عند حالة الخروج للعملية متساوية الإنتروبيا.

ملاحظة: لا تنطبق افتراضات الانتروبيا المتساوية إلا على الدورات المثالية. أما الدورات الحقيقية فتتضمن خسائر كامنة نتيجةً لعدم كفاءة الضواغط والتوربينات والقانون الثاني للديناميكا الحرارية. لا تُعتبر الأنظمة الحقيقية متساوية الانتروبيا تمامًا، ولكن يُعدّ سلوك الانتروبيا المتساوية تقريبًا كافيًا للعديد من أغراض الحساب.

بالنسبة لنظام مغلق، فإن التغير الكلي في طاقة النظام هو مجموع الشغل المبذول والحرارة المضافة:

${\displaystyle dU=\delta W+\delta Q.}$

الشغل العكسي الذي يُبذل على نظام ما عن طريق تغيير حجمه هو

${\displaystyle \delta W=-p\,dV,}$

أين${\displaystyle p}$هو الضغط ، و${\displaystyle V}$هو الحجم . التغير في المحتوى الحراري (${\displaystyle H=U+pV}$) معطى بواسطة

${\displaystyle dH=dU+p\,dV+V\,dp.}$

ثم بالنسبة لعملية قابلة للانعكاس وثابتة حرارياً (أي لا يحدث انتقال للحرارة)،${\displaystyle \delta Q_{\text{rev}}=0}$وهكذا${\displaystyle dS=\delta Q_{\text{rev}}/T=0}$جميع العمليات الأديباتية العكوسة هي عمليات متساوية الإنتروبيا. وهذا يؤدي إلى ملاحظتين مهمتين:

${\displaystyle dU=\delta W+\delta Q=-p\,dV+0,}$

${\displaystyle dH=\delta W+\delta Q+p\,dV+V\,dp=-p\,dV+0+p\,dV+V\,dp=V\,dp.}$

بعد ذلك، يمكن حساب الكثير من العمليات المتساوية الإنتروبيا للغاز المثالي. بالنسبة لأي تحول للغاز المثالي، من الصحيح دائمًا أن

${\displaystyle dU=nC_{v}\,dT}$، و${\displaystyle dH=nC_{p}\,dT.}$

باستخدام النتائج العامة المستخلصة أعلاه لـ${\displaystyle dU}$و${\displaystyle dH}$، ثم

${\displaystyle dU=nC_{v}\,dT=-p\,dV,}$

${\displaystyle dH=nC_{p}\,dT=V\,dp.}$

لذا، بالنسبة للغاز المثالي، يمكن كتابة نسبة السعة الحرارية على النحو التالي:

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}=-{\frac {dp/p}{dV/V}}.}$

للحصول على غاز مثالي من الناحية الحرارية${\displaystyle \gamma }$ثابت. وبالتالي، عند إجراء التكامل للمعادلة أعلاه، بافتراض غاز مثالي حراريًا، نحصل على

${\displaystyle pV^{\gamma }={\text{constant}},}$

إنه،

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }.}$

باستخدام معادلة الحالة للغاز المثالي،${\displaystyle pV=nRT}$،

${\displaystyle TV^{\gamma -1}={\text{constant}}.}$

(دليل:${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}\Rightarrow PV\,V^{\gamma -1}={\text{constant}}\Rightarrow nRT\,V^{\gamma -1}={\text{constant}}.}$لكن nR ثابت بحد ذاته، لذا${\displaystyle TV^{\gamma -1}={\text{constant}}}$.)

${\displaystyle {\frac {p^{\gamma -1}}{T^{\gamma }}}={\text{constant}}}$

أيضًا، من أجل الثبات${\displaystyle C_{p}=C_{v}+R}$(لكل مول)،

${\displaystyle {\frac {V}{T}}={\frac {nR}{p}}}$و${\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}}$

${\displaystyle S_{2}-S_{1}=nC_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-nR\ln \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {S_{2}-S_{1}}{n}}=C_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {T_{2}V_{1}}{T_{1}V_{2}}}\right)=C_{v}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)+R\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}$

وبالتالي، بالنسبة للعمليات متساوية الإنتروبيا مع الغاز المثالي،

${\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(R/C_{v})}}$أو${\displaystyle V_{2}=V_{1}\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{(C_{v}/R)}}$

${\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(\gamma -1)}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{(\gamma -1)}}$
${\displaystyle \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {P_{2}}{P_{1}}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{\gamma }}$
${\displaystyle \left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {P_{1}}{P_{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}}$
${\displaystyle \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$

مشتق من

${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}},}$

${\displaystyle PV=mR_{s}T,}$

${\displaystyle P=\rho R_{s}T,}$

أين:

${\displaystyle P}$= الضغط،

${\displaystyle V}$= الحجم،

${\displaystyle \gamma }$= نسبة الحرارة النوعية =${\displaystyle C_{p}/C_{v}}$،

${\displaystyle T}$= درجة الحرارة،

${\displaystyle m}$= الكتلة،

${\displaystyle R_{s}}$= ثابت الغاز للغاز المحدد =${\displaystyle R/M}$،

${\displaystyle R}$= ثابت الغازات العام،

${\displaystyle M}$= الوزن الجزيئي للغاز المحدد،

${\displaystyle \rho }$= الكثافة،

${\displaystyle C_{p}}$= الحرارة النوعية المولية عند ضغط ثابت،

${\displaystyle C_{v}}$= الحرارة النوعية المولية عند حجم ثابت.