الاستقلال الخطي

تكون مجموعة المتجهات غير المنتهية مستقلة خطيًا إذا كانت كل مجموعة جزئية منتهية منها مستقلة خطيًا. وينطبق هذا التعريف أيضًا على مجموعات المتجهات المنتهية، لأن المجموعة المنتهية هي مجموعة جزئية منتهية من نفسها، وكل مجموعة جزئية من مجموعة مستقلة خطيًا تكون مستقلة خطيًا أيضًا.

وعلى العكس من ذلك، فإن مجموعة لا نهائية من المتجهات تكون مرتبطة خطيًا إذا كانت تحتوي على مجموعة فرعية محدودة مرتبطة خطيًا، أو بشكل مكافئ، إذا كان أحد المتجهات في المجموعة عبارة عن تركيبة خطية من متجهات أخرى في المجموعة.

تكون عائلة المتجهات المفهرسة مستقلة خطيًا إذا لم تحتوي على المتجه نفسه مرتين، وإذا كانت مجموعة متجهاتها مستقلة خطيًا. وإلا، يُقال إن العائلة مرتبطة خطيًا .

تُشكّل مجموعة المتجهات المستقلة خطيًا والتي تولد فضاءً متجهيًا ما أساسًا لهذا الفضاء. على سبيل المثال، الفضاء المتجهي لجميع كثيرات الحدود في x على الأعداد الحقيقية له المجموعة الجزئية (غير المحدودة) {1، x ، x² ^، ...} كأساس.

يترك${\displaystyle V}$ليكن فضاءً متجهيًا. مجموعة${\displaystyle X\subseteq V}$تكون مستقلة خطيًا إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$هو عنصر أساسي من

${\displaystyle \{Y\subseteq V\mid X\subseteq \operatorname {Span} (Y)\}}$

بحسب ترتيب الإدراج . في المقابل،${\displaystyle X}$تكون المجموعة مرتبطة خطيًا إذا كان لها مجموعة جزئية فعلية يكون مداها مجموعة شاملة لـ${\displaystyle X}$.

قد يقول شخص يصف موقع مكان ما: "يقع على بُعد 3 أميال شمالاً و4 أميال شرقاً من هنا". هذه المعلومة كافية لوصف الموقع، لأن نظام الإحداثيات الجغرافية يُمكن اعتباره فضاءً متجهياً ثنائي الأبعاد (مع إهمال الارتفاع وانحناء سطح الأرض). وقد يُضيف الشخص: "يقع المكان على بُعد 5 أميال شمال شرق هنا". هذه العبارة الأخيرة صحيحة ، ولكنها ليست ضرورية لتحديد الموقع.

في هذا المثال، يكون المتجه "3 أميال شمالاً" والمتجه "4 أميال شرقاً" مستقلين خطياً. أي أنه لا يمكن وصف متجه الشمال بدلالة متجه الشرق، والعكس صحيح. أما المتجه الثالث "5 أميال شمال شرق" فهو عبارة عن توليفة خطية من المتجهين الآخرين، مما يجعل مجموعة المتجهات مستقلة خطياً ، أي أنه لا حاجة لأحد المتجهات الثلاثة لتحديد موقع معين على المستوى.

تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه في حال عدم تجاهل الارتفاع، يصبح من الضروري إضافة متجه ثالث إلى مجموعة المتجهات المستقلة خطيًا. وبشكل عام، يلزم وجود n متجهًا مستقلًا خطيًا لوصف جميع المواقع في فضاء ذي n بُعد.

إذا كان هناك متجه واحد أو أكثر من سلسلة متجهات معينة${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$هو المتجه الصفري${\displaystyle \mathbf {0} }$ثم المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$هي بالضرورة مرتبطة خطيًا (وبالتالي، فهي ليست مستقلة خطيًا). لفهم السبب، لنفترض أن${\displaystyle i}$هو فهرس (أي عنصر من${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$) بحيث${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .}$ثم دع${\displaystyle a_{i}:=1}$(أو بدلاً من ذلك، السماح${\displaystyle a_{i}}$(سيكون مساوياً لأي عدد قياسي آخر غير صفري، وهذا سينجح أيضاً) ثم اجعل جميع الأعداد القياسية الأخرى${\displaystyle 0}$(بشكل صريح، هذا يعني أنه لأي مؤشر${\displaystyle j}$بخلاف${\displaystyle i}$(أي لـ)${\displaystyle j\neq i}$)، يترك${\displaystyle a_{j}:=0}$وبالتالي${\displaystyle a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} }$). تبسيط${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}}$أعطِ:

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

لأن ليس كل الكميات القياسية تساوي صفرًا (على وجه الخصوص،${\displaystyle a_{i}\neq 0}$وهذا يثبت أن المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$هي مرتبطة خطيًا.

ونتيجة لذلك، لا يمكن أن ينتمي المتجه الصفري إلى أي مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا .

والآن، لننظر في الحالة الخاصة حيث يكون تسلسل${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$له طول${\displaystyle 1}$(أي الحالة التي${\displaystyle k=1}$تكون مجموعة المتجهات التي تتكون من متجه واحد فقط مرتبطة خطيًا إذا وفقط إذا كان هذا المتجه يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، إذا${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$أي متجه هو التسلسل${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$(وهي سلسلة من الطول${\displaystyle 1}$تكون العلاقة خطية إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$أو بدلاً من ذلك، المجموعة${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$تكون مستقلة خطيًا إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} .}$

يتناول هذا المثال الحالة الخاصة التي يوجد فيها متجهان فقط${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \mathbf {v} }$من فضاء متجهي حقيقي أو مركب. المتجهات${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \mathbf {v} }$تكون العلاقات خطية إذا وفقط إذا كان أحد الشروط التالية على الأقل صحيحًا:

1. ${\displaystyle \mathbf {u} }$هو مضاعف عددي لـ${\displaystyle \mathbf {v} }$(بشكل صريح، هذا يعني وجود كمية قياسية)${\displaystyle c}$بحيث${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$) أو
2. ${\displaystyle \mathbf {v} }$هو مضاعف عددي لـ${\displaystyle \mathbf {u} }$(بشكل صريح، هذا يعني وجود كمية قياسية)${\displaystyle c}$بحيث${\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }$).

لو${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ثم عن طريق الضبط${\displaystyle c:=0}$لدينا${\displaystyle c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u} }$(هذه المساواة قائمة بغض النظر عن قيمة${\displaystyle \mathbf {v} }$(وهو)، مما يدل على أن (1) صحيح في هذه الحالة بالذات. وبالمثل، إذا${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$إذن (2) صحيح لأن${\displaystyle \mathbf {v} =0\mathbf {u} .}$ لو${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$(على سبيل المثال، إذا كان كلاهما يساوي متجه الصفر)${\displaystyle \mathbf {0} }$إذاً، فإنّ كلاً من (1) و(2) صحيحان (باستخدام${\displaystyle c:=1}$(لكلاهما).

لو${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$ثم${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$لا يمكن ذلك إلا إذا${\displaystyle c\neq 0}$و${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$في هذه الحالة، من الممكن ضرب كلا الطرفين في${\textstyle {\frac {1}{c}}}$وختاما${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$ هذا يدل على أنه إذا${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$و${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$إذاً، يكون (1) صحيحاً إذا وفقط إذا كان (2) صحيحاً؛ أي أنه في هذه الحالة بالذات، إما أن يكون كل من (1) و(2) صحيحين (وتكون المتجهات مرتبطة خطياً) أو يكون كل من (1) و(2) خاطئين (وتكون المتجهات غير مرتبطة خطياً ) .${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$لكن بدلاً من ذلك${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ثم واحد على الأقل من${\displaystyle c}$و${\displaystyle \mathbf {v} }$يجب أن يكون صفرًا. علاوة على ذلك، إذا كان واحد فقط من${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \mathbf {v} }$يكون${\displaystyle \mathbf {0} }$(بينما الآخر غير صفري) فإن واحداً فقط من (1) و (2) يكون صحيحاً (مع كون الآخر خاطئاً).

المتجهات${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \mathbf {v} }$تكون المتغيرات مستقلة خطيًا إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathbf {u} }$ليس مضاعفًا قياسيًا لـ${\displaystyle \mathbf {v} }$و${\displaystyle \mathbf {v} }$ليس مضاعفًا قياسيًا لـ${\displaystyle \mathbf {u} }$.

ثلاثة متجهات: لنفترض مجموعة المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1),}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$و${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4),}$ثم يبحث شرط التبعية الخطية عن مجموعة من القيم العددية غير الصفرية، بحيث

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

أو

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

يمكن اختزال معادلة المصفوفة هذه عن طريق طرح الصف الأول من الصف الثاني للحصول على،

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

استمر في اختزال الصفوف عن طريق (أ) قسمة الصف الثاني على 5، ثم (ب) الضرب في 3 وإضافته إلى الصف الأول، أي

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

بإعادة ترتيب هذه المعادلة يمكننا الحصول على

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.}$

مما يدل على وجود قيم غير صفرية لـ _aᵢ بحيث${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4)}$يمكن تعريفها من حيث${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$و${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2).}$ وبالتالي، فإن المتجهات الثلاثة مرتبطة خطياً.

متجهان: لننظر الآن في العلاقة الخطية بين المتجهين.${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$و${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$وتحقق،

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

أو

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

ينتج عن نفس عملية اختزال الصفوف المذكورة أعلاه،

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

هذا يدل على أن${\displaystyle a_{i}=0,}$وهذا يعني أن المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$و${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2)}$مستقلة خطيًا.

لتحديد ما إذا كانت المتجهات الثلاثة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.}$

إذا كانت المتغيرات مرتبطة خطيًا، فإنها تشكل معادلة المصفوفة.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

قم باختزال هذه المعادلة للحصول على،

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

أعد ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة v ₃ واحصل على:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.}$

يمكن حل هذه المعادلة بسهولة لتحديد قيمة a _i غير الصفرية ،

${\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,}$

أين${\displaystyle a_{3}}$يمكن اختيارها بشكل عشوائي. وبالتالي، فإن المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},}$و${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$هي مرتبطة خطيًا.

تعتمد طريقة بديلة على حقيقة أن${\displaystyle n}$المتجهات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$تكون مستقلة خطيًا إذا وفقط إذا كان محدد المصفوفة المكونة من أخذ المتجهات كأعمدة لها غير صفري.

في هذه الحالة، تكون المصفوفة المكونة من المتجهات هي

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.}$

يمكننا كتابة توليفة خطية من الأعمدة على النحو التالي:

${\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

نهتم بمعرفة ما إذا كان A Λ = 0 لبعض المتجهات غير الصفرية Λ. يعتمد هذا على محدد${\displaystyle A}$وهو

${\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.}$

بما أن المحدد لا يساوي صفرًا، فإن المتجهات${\displaystyle (1,1)}$و${\displaystyle (-3,2)}$مستقلة خطيًا.

وإلا، فلنفترض أن لدينا${\displaystyle m}$متجهات${\displaystyle n}$إحداثيات، مع${\displaystyle m<n.}$إذن ، A هي مصفوفة من الرتبة n × m و Λ هو متجه عمودي ذو${\displaystyle m}$المدخلات، ونحن مهتمون مرة أخرى بـ A Λ  = 0. وكما رأينا سابقًا، فإن هذا يعادل قائمة من${\displaystyle n}$المعادلات. لننظر إلى الأولى${\displaystyle m}$صفوف من${\displaystyle A}$، الأول${\displaystyle m}$المعادلات؛ أي حل للقائمة الكاملة للمعادلات يجب أن يكون صحيحًا أيضًا للقائمة المختصرة. في الواقع، إذا كانت ⟨ i ₁ ,..., i _m ⟩ أي قائمة من${\displaystyle m}$إذا كانت الصفوف، فإن المعادلة يجب أن تكون صحيحة لتلك الصفوف.

${\displaystyle A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .}$

وعلاوة على ذلك، فإن العكس صحيح. أي أنه يمكننا اختبار ما إذا كان${\displaystyle m}$تعتمد المتجهات خطيًا عن طريق اختبار ما إذا كانت

${\displaystyle \det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0}$

لجميع القوائم الممكنة لـ${\displaystyle m}$صفوف. (في حالة${\displaystyle m=n}$وهذا يتطلب مُحددًا واحدًا فقط، كما هو مذكور أعلاه. إذا${\displaystyle m>n}$إذاً، فإن هذه نظرية تنص على أن المتجهات يجب أن تكون مرتبطة خطياً. هذه الحقيقة ذات قيمة بالنسبة للنظرية؛ أما في الحسابات العملية، فتتوفر طرق أكثر كفاءة.

إذا كان عدد المتجهات أكبر من عدد الأبعاد، فإن المتجهات تكون مرتبطة خطيًا. ويتضح ذلك في المثال أعلاه لثلاثة متجهات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

يفترض${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هما عددان حقيقيان بحيث

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$

أوجد المشتقة الأولى للمعادلة أعلاه:

${\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0}$

لجميع قيم​${\displaystyle t.}$علينا أن نوضح ذلك${\displaystyle a=0}$و${\displaystyle b=0.}$وللقيام بذلك، نطرح المعادلة الأولى من الثانية، فنحصل على${\displaystyle be^{2t}=0}$. منذ${\displaystyle e^{2t}}$ليس صفرًا لبعض${\displaystyle t}$،${\displaystyle b=0.}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle a=0}$أيضًا. لذلك، وفقًا لتعريف الاستقلال الخطي،${\displaystyle e^{t}}$و${\displaystyle e^{2t}}$مستقلة خطيًا.

تُسمى مجموعة من المتجهات مرتبطة خطيًا إذا كان بالإمكان تعريف متجه واحد على الأقل منها كتركيبة خطية للمتجهات الأخرى. وإلا، تُسمى المجموعة مستقلة خطيًا . أي تركيبة خطية هي تركيبة خطية؛ لذا فإن كل مجموعة مرتبطة خطيًا هي مجموعة مرتبطة خطيًا. وبالعكس، فإن كل مجموعة مستقلة خطيًا هي مجموعة مستقلة خطيًا. تجدر الإشارة إلى أن المجموعة المستقلة خطيًا ليست بالضرورة مستقلة خطيًا.

لنفترض مجموعة من${\displaystyle m}$المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$من الحجم${\displaystyle n}$كلٌّ منها، ولننظر في مجموعة${\displaystyle m}$المتجهات المعززة${\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}$من الحجم${\displaystyle n+1}$كلٌّ منها. تكون المتجهات الأصلية مستقلة خطيًا إذا وفقط إذا كانت المتجهات المُوسَّعة مستقلة خطيًا. ^{[ 3 ] : 256}

فضاءان متجهان جزئيان${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$فضاء متجهي${\displaystyle X}$يقال إن المتغيرات مستقلة خطيًا إذا${\displaystyle M\cap N=\{0\}.}$^{[ 4 ]} بشكل عام، مجموعة${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$من الفضاءات الفرعية لـ${\displaystyle X}$يقال إن المتغيرات مستقلة خطيًا إذا${\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}}$لكل فهرس${\displaystyle i,}$أين${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}.}$^{[ 4 ]} الفضاء المتجهي${\displaystyle X}$ويُقال إنها مجموع مباشر لـ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$إذا كانت هذه الفضاءات الفرعية مستقلة خطيًا و${\displaystyle M_{1}+\cdots +M_{d}=X.}$