العلاقة الخطية

في الجبر الخطي ، العلاقة الخطية ، أو ببساطة العلاقة ، بين عناصر فضاء متجهي أو وحدة نمطية هي معادلة خطية يكون لهذه العناصر حلاً.

وبعبارة أدق، إذا${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$هي عناصر وحدة نمطية (يسارية) M على حلقة R (حالة الفضاء المتجهي على حقل هي حالة خاصة)، وهي علاقة بين${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$هو تسلسل${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})}$من عناصر R بحيث

${\displaystyle f_{1}e_{1}+\dots +f_{n}e_{n}=0.}$

العلاقات بين${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$يشكل وحدة نمطية. يهتم المرء عمومًا بالحالة التي يكون فيها${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$هي مجموعة مولدة لوحدة نمطية مولدة نهائيًا M ، وفي هذه الحالة تُسمى وحدة العلاقات غالبًا وحدة الاقتران لـ M. تعتمد وحدة الاقتران على اختيار المجموعة المولدة، لكنها فريدة حتى المجموع المباشر مع وحدة نمطية حرة. أي، إذا${\displaystyle S_{1}}$و${\displaystyle S_{2}}$إذا كانت وحدات الاقتران تتوافق مع مجموعتين مولدتين لنفس الوحدة، فإنها تكون متماثلة بشكل مستقر ، مما يعني وجود وحدتين حرتين.${\displaystyle L_{1}}$و${\displaystyle L_{2}}$بحيث${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$و${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$متماثلة الشكل .

تُعرَّف وحدات الاقتران من الرتبة الأعلى بشكل تكراري: وحدة الاقتران الأولى لوحدة M هي ببساطة وحدة الاقتران الخاصة بها. بالنسبة لـ k > 1 ، فإن وحدة الاقتران رقم k لـ M هي وحدة اقتران لوحدة اقتران رقم ( k – 1) . تنص نظرية هيلبرت للاقتران على أنه إذا${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$إذا كانت حلقة كثيرات الحدود في n غير محددة على حقل، فإن كل وحدة تماثلية من الرتبة n تكون حرة. الحالة n = 0 تعني أن كل فضاء متجهي محدود الأبعاد له أساس، والحالة n = 1 تعني أن K [ x ] هو مجال مثالي رئيسي وأن كل وحدة فرعية من وحدة K [ x ] حرة مولدة نهائيًا تكون حرة أيضًا.

يتم تعميم بناء وحدات الاقتران من الرتبة العليا كتعريف للحلول الحرة ، مما يسمح بإعادة صياغة نظرية الاقتران لهيلبرت كحلقة متعددة الحدود في n غير محددة على حقل لها بُعد تماثلي عالمي n .

إذا كان a و b عنصرين من الحلقة التبديلية R ، فإن العلاقة ( b , –a ) تُسمى علاقة تافهة . وحدة العلاقات التافهة لمثالي ما هي الوحدة الفرعية لوحدة الاقتران الأولى لهذا المثالي، والتي تتولد من العلاقات التافهة بين عناصر مجموعة مولدة لهذا المثالي. يمكن تعميم مفهوم العلاقات التافهة ليشمل وحدات الاقتران ذات الرتب الأعلى، مما يؤدي إلى مفهوم مُركب كوزول للمثالي، والذي يوفر معلومات حول العلاقات غير التافهة بين مولدات هذا المثالي.

ليكن R حلقة ، وليكن M وحدة نمطية يسارية على R. العلاقة الخطية ، أو ببساطة العلاقة بين k عنصرًا${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$M عبارة عن متتالية${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{k})}$من عناصر R بحيث

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\dots +a_{k}x_{k}=0.}$

لو${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$إذا كانت مجموعة مولدة لـ M ، فإن العلاقة تسمى غالبًا تماثل M. من المنطقي تسميتها تماثلًا لـ${\displaystyle M}$دون اعتبار لـ${\displaystyle x_{1},..,x_{k}}$لأنه على الرغم من أن وحدة التزامن تعتمد على مجموعة التوليد المختارة، فإن معظم خصائصها مستقلة؛ انظر §  الخصائص المستقرة ، أدناه.

إذا كانت الحلقة R نوثرية ، أو على الأقل متماسكة ، وإذا كانت M مولدة توليدًا منتهيًا ، فإن وحدة الاقتران تكون مولدة توليدًا منتهيًا أيضًا. وحدة اقتران هذه الوحدة هي وحدة اقتران ثانية لـ M. بالاستمرار على هذا المنوال، يمكن تعريف وحدة اقتران من الرتبة k لكل عدد صحيح موجب k .

تنص نظرية هيلبرت للاقتران على أنه إذا كانت M وحدة مولدة نهائيًا على حلقة متعددة الحدود${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$على حقل ما ، فإن أي وحدة syzygy رقم n هي وحدة حرة .

بشكل عام، في لغة نظرية K ، تُعتبر الخاصية مستقرة إذا تحققت من خلال الجمع المباشر مع وحدة حرة كبيرة بما فيه الكفاية . ومن الخصائص الأساسية لوحدات الاقتران وجود مجموعات مولدة "مستقلة بشكل مستقر" عن اختيارات المجموعات المولدة للوحدات المعنية. والنتيجة التالية هي أساس هذه الخصائص المستقرة.

دليل. كما${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{m}\}}$هي مجموعة مولدة، كل منها${\displaystyle y_{i}}$يمكن كتابتها ${\displaystyle \textstyle y_{i}=\sum \alpha _{i,j}x_{j}.}$ وهذا يوفر علاقة${\displaystyle r_{i}}$بين${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}.}$الآن، إذا${\displaystyle r=(a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n})}$إذا كانت هناك أي علاقة، فإذن ${\displaystyle \textstyle r-\sum b_{i}r_{i}}$ هي علاقة بين${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$فقط. بعبارة أخرى، كل علاقة بين${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}}$هو مجموع علاقة بين${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},}$ومزيج خطي من${\displaystyle r_{i}}$من السهل إثبات أن هذا التفكيك فريد من نوعه، وهذا يثبت النتيجة.${\displaystyle \blacksquare }$

يثبت هذا أن وحدة الاقتران الأولى "فريدة بشكل مستقر". بتعبير أدق، بالنظر إلى مجموعتين مولدتين${\displaystyle S_{1}}$و${\displaystyle S_{2}}$من وحدة نمطية M ، إذا${\displaystyle S_{1}}$و${\displaystyle S_{2}}$إذا كانت هذه هي الوحدات النمطية المقابلة للعلاقات، فإنه يوجد وحدتان نمطيتان حرتان.${\displaystyle L_{1}}$و${\displaystyle L_{2}}$بحيث${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$و${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$متماثلتان. ولإثبات ذلك، يكفي تطبيق الاقتراح السابق مرتين للحصول على تحليلين لوحدة العلاقات بين اتحاد المجموعتين المولدتين.

للحصول على نتيجة مماثلة لوحدات الاقتران الأعلى، يبقى إثبات أنه إذا كانت M أي وحدة، و L وحدة حرة، فإن M و M ⊕ L تمتلكان وحدات اقتران متماثلة. يكفي النظر في مجموعة مولدة لـ M ⊕ L تتكون من مجموعة مولدة لـ M وأساس لـ L. لكل علاقة بين عناصر هذه المجموعة المولدة، تكون معاملات عناصر أساس L جميعها أصفارًا، وتكون اقترانات M ⊕ L هي بالضبط اقترانات M الموسعة بمعاملات أصفار. بهذا يكتمل برهان النظرية التالية.

بالنظر إلى مجموعة مولدة${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$بالنسبة لوحدة R ، يمكن للمرء أن يعتبر وحدة L حرة من الأساس${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n},}$أين${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}$هي متغيرات غير محددة جديدة. وهذا يُحدد تسلسلًا تامًا

${\displaystyle L\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

حيث يمثل السهم الأيسر الخريطة الخطية التي تحدد كل${\displaystyle G_{i}}$إلى المقابل${\displaystyle g_{i}.}$نواة هذا السهم الأيسر هي وحدة الاقتران الأولى لـ M.

يمكن تكرار هذا البناء باستخدام هذه النواة بدلاً من M. بتكرار هذا البناء مرارًا وتكرارًا، نحصل على متتالية تامة طويلة.

${\displaystyle \cdots \longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

حيث الجميع${\displaystyle L_{i}}$هي وحدات حرة. بحسب التعريف، فإن مثل هذا التسلسل التام الطويل هو حل حر لـ M.

لكل k ≥ 1 ، النواة${\displaystyle S_{k}}$من السهم الذي يبدأ من${\displaystyle L_{k-1}}$هو وحدة الاقتران k من M. ويترتب على ذلك أن دراسة الحلول الحرة هي نفسها دراسة وحدات الاقتران.

تكون المعادلة الحرة محدودة الطول ≤ n إذا${\displaystyle S_{n}}$مجاني. في هذه الحالة، يمكن للمرء أن يأخذ${\displaystyle L_{n}=S_{n},}$و${\displaystyle L_{k}=0}$( القيمة الصفرية ) لكل k > n .

وهذا يسمح بإعادة صياغة نظرية هيلبرت للاقتران : إذا${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$إذا كانت حلقة متعددة الحدود في n غير محددة على حقل K ، فإن كل حل حر يكون محدودًا بطول لا يتجاوز n .

يكون البُعد الكلي لحلقة نوثرية تبديلية إما لانهائيًا، أو أصغر قيمة n بحيث يكون كل تحليل حر محدودًا بطول لا يتجاوز n . وتكون الحلقة النوثرية التبديلية منتظمة إذا كان بُعدها الكلي محدودًا. في هذه الحالة، يساوي البُعد الكلي بُعد كرول الخاص بها . لذا، يمكن إعادة صياغة نظرية هيلبرت للاقتران في جملة قصيرة جدًا تخفي الكثير من الرياضيات : الحلقة متعددة الحدود فوق حقل ما هي حلقة منتظمة.

في حلقة تبديلية R ، يكون لدينا دائمًا ab – ba = 0. وهذا يعني بشكل بديهي أن ( b , –a ) هي علاقة خطية بين a و b . لذلك، بالنظر إلى مجموعة مولدة${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{k}}$بالنسبة للمثالي I ، يُطلق على كل عنصر من عناصر الوحدة الفرعية اسم وحدة الاقتران، وهي الوحدة التي تتولد من هذه العلاقات التافهة بين عنصرين مولدين. وبشكل أدق، تتولد وحدة الاقترانات التافهة من خلال العلاقات التالية:

${\displaystyle r_{i,j}=(x_{1},\dots ,x_{r})}$

بحيث${\displaystyle x_{i}=g_{j},}$${\displaystyle x_{j}=-g_{i},}$و${\displaystyle x_{h}=0}$خلاف ذلك.

دخل مصطلح "الاقتران" إلى الرياضيات مع أعمال آرثر كايلي . ^{[ 1 ]} في تلك الورقة البحثية، استخدمه كايلي في نظرية المحصلات والمميزات . ^{[ 2 ]} ولأن مصطلح "الاقتران" كان يُستخدم في علم الفلك للدلالة على علاقة خطية بين الكواكب، فقد استخدمه كايلي للدلالة على العلاقات الخطية بين المحددات الصغرى لمصفوفة، كما هو الحال في مصفوفة 2×3:

${\displaystyle a\,{\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}}=0.}$

إحدى المسائل التي درسها تتعلق بمجموعة من المعادلات التي تنشأ في تضمين بلوكر ، وهو تضمين للفضاء (غراسماني) للمستويات.${\displaystyle G(2,\mathbb {R} ^{n})}$في الفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}V)}$باستخدام إحداثيات بلوكر ، الفضاء${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}V)}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle \{[p_{1,2},p_{1,3},\dots ,p_{n-1,n}]\}}$، والتي لديها${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)-1}$الأبعاد. الآن، بما أن${\displaystyle G(2,\mathbb {R} ^{n})}$لديه${\displaystyle 2(n-2)}$الأبعاد، ينبغي أن يكون من الممكن كتابتها على أنها تقاطع${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(n-2)(n-3)}$الأسطح الفائقة. ومع ذلك، فقد وجدوا أن${\displaystyle G(2,\mathbb {R} ^{n})}$هو تقاطع${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}n(n-1)(n-2)(n-3)}$المعادلات:$${\displaystyle Q_{ijkl}:=p_{ij}p_{kl}-p_{ik}p_{jl}+p_{il}p_{jk}=0\quad (1\leq i<j<k<l\leq n)}$$وبالتالي، يجب أن تكون هذه المعادلات معتمدة على بعضها البعض عندما${\displaystyle n\geq 5}$على سبيل المثال، عندما${\displaystyle n=5}$، المساحة${\displaystyle G(2,\mathbb {R} ^{5})}$هو فضاء فرعي ذو بُعد مشترك 3 من${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{5})}$يُعرَّف بأنه تقاطع 5 معادلات، لذا يوجد تكراران، ويمكن توضيح ذلك من خلال معادلة المصفوفة:$${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&p_{12}&p_{13}&p_{14}&p_{15}\\-p_{12}&0&p_{23}&p_{24}&p_{25}\\-p_{13}&-p_{23}&0&p_{34}&p_{35}\\-p_{14}&-p_{24}&-p_{34}&0&p_{45}\\-p_{15}&-p_{25}&-p_{35}&-p_{45}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\\Q_{3}\\Q_{4}\\Q_{5}\end{pmatrix}}=0,\quad {\begin{aligned}Q_{1}&=p_{23}p_{45}-p_{24}p_{35}+p_{25}p_{34}\\Q_{2}&=p_{13}p_{45}-p_{14}p_{35}+p_{15}p_{34}\\Q_{3}&=p_{12}p_{45}-p_{14}p_{25}+p_{15}p_{24}\\Q_{4}&=p_{12}p_{35}-p_{13}p_{25}+p_{15}p_{23}\\Q_{5}&=p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}.\end{aligned}}}$$في الفضاء الفرعي لـ${\displaystyle \mathbb {A} ^{9}\subset \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{5})}$أين${\displaystyle p_{12}=1}$الاقتران الخطي$${\displaystyle Q_{1}=p_{23}Q_{3}+p_{24}Q_{4}+p_{25}Q_{5},\quad Q_{2}=-p_{13}Q_{3}-p_{14}Q_{4}-p_{15}Q_{5}}$$أظهر أنه إذا${\displaystyle Q_{3},Q_{4},Q_{5}=0}$ثم يتحقق الشرطان الآخران تلقائيًا. وهذا هو التكرار.

ثم تم تعميم كلمة syzygy (بين علماء الرياضيات) بواسطة ديفيد هيلبرت في مقالته عام 1890، والتي تحتوي على ثلاث نظريات أساسية حول كثيرات الحدود، وهي نظرية هيلبرت syzygy ، ونظرية هيلبرت الأساسية ، ونظرية هيلبرت Nullstellensatz .

في مقالته، يستخدم كايلي، في حالة خاصة، ما أطلق عليه لاحقًا ^{[ 3 ]} اسم مجمع كوزول ، بعد بناء مماثل في الهندسة التفاضلية من قبل عالم الرياضيات جان لويس كوزول .

• كوكس، ديفيد ؛ ليتل، جون ؛ أوشيا، دونال (2007). "المُثُل، والأنواع، والخوارزميات". نصوص جامعية في الرياضيات . نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. doi : 10.1007/978-0-387-35651-8 . ISBN 978-0-387-35650-1ISSN 0172-6056​​ 
• كوكس، ديفيد؛ ليتل، جون؛ أوشيا، دونال (2005). "استخدام الهندسة الجبرية". نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/b138611 . ISBN 0-387-20706-6.
• أيزنبد، ديفيد (1995). الجبر التبادلي مع نظرة نحو الهندسة الجبرية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  150. سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-1-4612-5350-1 . ISBN 0-387-94268-8.
• ديفيد أيزنبد، هندسة الاقتران، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 229، سبرينغر، 2005.