مجموعة (رياضيات)

تُعدّ طريقة تعداد العناصر طريقةً ابتكرها إرنست زيرميلو عام 1908، وتُستخدم لتحديد مجموعةٍ ما عن طريق سرد عناصرها بين قوسين معقوفين ، مفصولةً بفواصل. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} على سبيل المثال، نرى أن${\displaystyle \{4,2,1,3\}}$و​​${\displaystyle \{{\text{أزرق، أبيض، أحمر}}\}}$تشير إلى المجموعات وليس إلى الصفوف بسبب الأقواس المحيطة.

الرموز ⁠${\displaystyle \{\,\}}$بالنسبة للمجموعة الفارغة و${\displaystyle \{x\}}$بالنسبة للعنصر الفردي ، هناك أمثلة على تدوين القائمة.

عند تحديد مجموعة، كل ما يهم هو ما إذا كان كل عنصر محتمل موجودًا في المجموعة أم لا، لذا لا تتغير المجموعة إذا تكررت العناصر أو رُتبت بترتيب مختلف. على سبيل المثال، ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}$${\displaystyle \{1,2,3,4\}=\{4,2,1,3\}=\{4,2,4,3,1,3\}.}$$

عندما يكون هناك نمط واضح لتوليد جميع عناصر المجموعة، يمكن استخدام علامة الحذف لاختصار الترميز؛ ^{[ 29 ] [ 30 ]} على سبيل المثال،${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,10\}}$هو اختصار لـ ⁠${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}}$يمكن استخدام علامات الحذف في تدوين القوائم لوصف بعض المجموعات غير المنتهية ؛ على سبيل المثال، يمكن الإشارة إلى مجموعة جميع الأعداد الصحيحة على النحو التالي: $${\displaystyle \{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}}$$ أو $${\displaystyle \{0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots \}.}$$

تُحدد صيغة بناء المجموعة المجموعة على أنها مجموعة جميع العناصر التي تحقق صيغة منطقية معينة . ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]} بتعبير أدق، إذا${\displaystyle P(x)}$هي صيغة منطقية تعتمد على متغير${\displaystyle x}$، والتي تُقيّم إلى صحيح أو خطأ بناءً على قيمة${\displaystyle x}$ثم​ $${\displaystyle \{x\mid P(x)\}}$$ أو ^{[ 34 ]}$${\displaystyle \{x:P(x)\}}$$ يشير إلى مجموعة جميع${\displaystyle x}$⁠ الذي ⁠${\displaystyle P(x)}$هذا صحيح. ^{[ 10 ]} على سبيل المثال، مجموعة${\displaystyle F}$يمكن تحديدها على النحو التالي: $${\displaystyle F=\{n\mid n{\text{ عدد صحيح، و }}0\leq n\leq 19\}.}$$ في هذه الصيغة، يُقرأ الخط العمودي "|" على أنه "بحيث"، ويمكن قراءة الصيغة بأكملها على أنها " ⁠${\displaystyle F}$⁠ هي مجموعة جميع ⁠${\displaystyle n}$بحيث​​${\displaystyle n}$" هو عدد صحيح في النطاق من 0 إلى 19 شاملًا".

بعض الصيغ المنطقية، مثل${\displaystyle \color {red}{S{\text{ هي مجموعة}}}}$أو​​${\displaystyle \color {red}{S{\text{ هي مجموعة و }}S\not \in S}}$لا يمكن استخدام الصيغة في تدوين بناء المجموعات لأنه لا توجد مجموعة تُعرَّف عناصرها بهذه الصيغة. هناك عدة طرق لتجنب هذه المشكلة. يمكن إثبات أن الصيغة تُعرِّف مجموعة؛ وهذا غالبًا ما يكون سهلًا، ولكنه قد يكون صعبًا للغاية.

يمكن أيضاً تقديم مجموعة أكبر${\displaystyle U}$يجب أن تحتوي على جميع عناصر المجموعة المحددة، واكتب الترميز على النحو التالي: $${\displaystyle \{x\mid x\in U{\text{ و ...}}\}}$$ أو $${\displaystyle \{x\in U\mid {\text{ ...}}\}.}$$

ويمكن تعريف ⁠${\displaystyle U}$مرة واحدة وإلى الأبد، واعتمد الاصطلاح القائل بأن كل متغير يظهر على يسار الخط العمودي في الترميز يمثل عنصرًا من عناصر ⁠${\displaystyle U}$وهذا يعني أن${\displaystyle x\in U}$⁠ مضمنة في تدوين بناء المجموعة. في هذه الحالة، ⁠${\displaystyle U}$يُطلق عليه غالبًا مجال الخطاب أو الكون .

فعلى سبيل المثال، مع الأخذ في الاعتبار أن الحرف اللاتيني الصغير قد يمثل عددًا حقيقيًا فقط، فإن التعبير$${\displaystyle \{x\mid x\not \in \mathbb {Q} \}}$$ هو اختصار لـ $${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x\not \in \mathbb {Q} \},}$$ وهو ما يُعرّف الأعداد غير النسبية .

• مجموعة جميع البشر هي مجموعة جزئية فعلية من مجموعة جميع الثدييات.
• ⁠${\displaystyle \{1,3\}\subset \{1,2,3,4\}}$⁠
• ⁠${\displaystyle \{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}}$⁠

• تتساوى مجموعتان إذا وفقط إذا احتوت إحداهما الأخرى على الأخرى :${\displaystyle A=B}$⁠ يعادل ( ⁠${\displaystyle A\subseteq B}$و​​${\displaystyle B\subseteq A}$) . ^{[ 32 ] [ 10 ]}
• المجموعة الفارغة هي مجموعة جزئية من كل مجموعة :${\displaystyle \forall A,\varnothing \subseteq A}$[ ¹⁹ ]^​​

تقاطع مجموعتين​​${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$⁠ هي مجموعة يُرمز لها بـ ⁠${\displaystyle A\cap B}$⁠ التي عناصرها هي تلك العناصر التي تنتمي إلى كليهما ⁠${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$أي​ $${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\},}$$ أين​${\displaystyle \land }$يشير إلى الـ " و" المنطقية .

التقاطع هو عملية تجميعية وتبديلية ؛ وهذا يعني أنه لإجراء سلسلة من عمليات التقاطع، يمكن للمرء أن يتابع بأي ترتيب، دون الحاجة إلى أقواس لتحديد ترتيب العمليات .

إذا​${\displaystyle {\mathcal {S}}}$هي مجموعة غير فارغة من المجموعات، وتقاطعها يُرمز له بـ ${\textstyle \bigcap _{A\in {\mathcal {S}}}A,}$ هي المجموعة التي عناصرها هي تلك العناصر التي تنتمي إلى جميع المجموعات في${\displaystyle {\mathcal {S}}}$أي​ $${\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {S}}}A=\{x\mid (\forall A\in {\mathcal {S}})\;x\in A\}.}$$ مثال: إذا${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X,Y\}}$، ثم${\textstyle \bigcap _{A\in {\mathcal {S}}}A=X\cap Y}$.

اتحاد مجموعتين​​${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$⁠ هي مجموعة يُرمز لها بـ ⁠${\displaystyle A\cup B}$⁠ التي عناصرها هي تلك العناصر التي تنتمي إلى ⁠${\displaystyle A}$أو​​${\displaystyle B}$أو كلاهما. أي، $${\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\lor x\in B\},}$$ أين​${\displaystyle \lor }$يشير إلى العملية المنطقية أو .

الاتحاد عملية تجميعية وتبديلية .

إذا​${\displaystyle {\mathcal {S}}}$هي مجموعة من المجموعات، واتحادها يُرمز له بـ ${\textstyle \bigcup S=\bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A,}$ هي المجموعة التي عناصرها هي تلك العناصر التي تنتمي إلى مجموعة واحدة على الأقل في${\displaystyle {\mathcal {S}}}$أي​ $${\displaystyle \bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A=\{x\mid (\exists A\in {\mathcal {S}})\;x\in A\}.}$$ مثال: إذا${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X,Y\}}$، ثم${\textstyle \bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A=X\cup Y}$.

الفرق بين مجموعتين​${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$، هي مجموعة، يُرمز لها بـ${\displaystyle A\setminus B}$أو​​${\displaystyle AB}$، والتي عناصرها هي تلك العناصر التي تنتمي إلى${\displaystyle A}$، ولكن ليس إلى${\displaystyle B}$أي​ $${\displaystyle A\setminus B=\{x\mid x\in A\land x\not \in B\},}$$ أين​${\displaystyle \land }$يشير إلى الـ " و" المنطقية .

عندما​${\displaystyle B\subseteq A}$الفرق​​${\displaystyle A\setminus B}$يُطلق عليه أيضًا مكمل لـ${\displaystyle B}$في​​${\displaystyle A}$عندما تكون جميع المجموعات التي يتم النظر فيها مجموعات جزئية من مجموعة شاملة ثابتة${\displaystyle U}$، المكمل​${\displaystyle U\setminus A}$يُطلق عليه غالبًا اسم المكمل المطلق لـ${\displaystyle A}$⁠ .

الفرق المتناظر بين مجموعتين${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$، المشار إليه${\displaystyle A\,\Delta \,B}$، هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى${\displaystyle A}$أو​​${\displaystyle B}$ولكن ليس لكليهما: $${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).}$$

مجموعة جميع المجموعات الجزئية لمجموعة ما${\displaystyle U}$يُطلق عليه اسم مجموعة القوى لـ${\displaystyle U}$⁠ ، وغالبًا ما يُشار إليها بـ ⁠${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$مجموعة القوى هي بنية جبرية عملياتها الرئيسية هي الاتحاد، والتقاطع، وفرق المجموعات، والفرق المتناظر ، والمكمل المطلق (المكمل في${\displaystyle U}$) .

مجموعة القوى هي حلقة منطقية يكون فيها الفرق المتناظر بمثابة جمع ، والتقاطع بمثابة ضرب، والمجموعة الفارغة بمثابة العنصر المحايد الجمعي .${\displaystyle U}$باعتبارها عنصرًا محايدًا ضربيًا ، والمجموعة الفرعية نفسها باعتبارها المعكوس الجمعي.

مجموعة القوى هي أيضًا جبر بولياني يتم فيه الربط ⁠${\displaystyle \lor }$الاتحاد​​${\displaystyle \cup }$، اللقاء​​${\displaystyle \land }$هو التقاطع​${\displaystyle \cap }$، والنفي هو مكمل المجموعة.

كما هو الحال في كل جبر بولياني، فإن مجموعة القوى هي أيضاً مجموعة مرتبة جزئياً لاحتواء المجموعات. وهي أيضاً شبكة كاملة .

تؤدي بديهيات هذه الهياكل إلى العديد من المتطابقات المتعلقة بالمجموعات الفرعية، والتي تم تفصيلها في المقالات المرتبطة.

بشكل بديهي، تُعرَّف العائلة المفهرسة بأنها مجموعة تُسمى عناصرها بعناصر مجموعة أخرى، وهي مجموعة الفهرس. تسمح هذه التسميات بظهور العنصر نفسه عدة مرات في العائلة.

بصورة رسمية، تُعرَّف العائلة المفهرسة بأنها دالة يكون مجالها مجموعة الفهرس. وعمومًا، يُستخدم الترميز الوظيفي المعتاد ⁠${\displaystyle f(x)}$لا يُستخدم الرمز ⁠ للعائلات المفهرسة. بدلاً من ذلك، يُكتب عنصر مجموعة الفهرس كرمز سفلي لاسم العائلة، كما هو موضح في ⁠${\displaystyle a_{i}}$⁠ .

عندما تكون مجموعة الفهرس ⁠${\displaystyle \{1,2\}}$تُسمى العائلة المفهرسة زوجًا مرتبًا . عندما تكون مجموعة الفهرس هي مجموعة ⁠${\displaystyle n}$الأعداد الطبيعية الأولى ، تُسمى العائلة المفهرسة بـ${\displaystyle n}$- مجموعة . عندما تكون مجموعة الفهرس هي مجموعة جميع الأعداد الطبيعية، تسمى العائلةالمفهرسة متتالية .

في جميع هذه الحالات، يسمح الترتيب الطبيعي للأعداد الطبيعية بحذف المؤشرات للعائلات المفهرسة صراحةً. على سبيل المثال ،${\displaystyle (b,2,b)}$يرمز إلى الثلاثية${\displaystyle A}$بحيث​​${\displaystyle A_{1}=b,A_{2}=2,A_{3}=b}$⁠ .

الرموز المذكورة أعلاه${\displaystyle \textstyle \bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A}$و​​${\displaystyle \textstyle \bigcap _{A\in {\mathcal {S}}}A}$يتم استبدالها عادةً برمز يتضمن عائلات مفهرسة، أي$${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}=\{x\mid (\exists i\in {\mathcal {I}})\;x\in A_{i}\}}$$ و $${\displaystyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}=\{x\mid (\forall i\in {\mathcal {I}})\;x\in A_{i}\}.}$$

تُعدّ الصيغ الواردة في الأقسام السابقة حالات خاصة من صيغ العائلات المفهرسة، حيث ⁠${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {I}}}$و​​${\displaystyle i=A=A_{i}}$تظل الصيغ صحيحة ، حتى في حالة${\displaystyle A_{i}=A_{j}}$بالنسبة للبعض​${\displaystyle i\neq j}$، منذ​${\displaystyle A=A\cup A=A\cap A}$⁠ .

المجموعات المعطاة${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$، حاصل ضربهما الديكارتي (أو ببساطة حاصل الضرب )، ويرمز له بـ${\displaystyle A\times B}$، هي مجموعة جميع الأزواج المرتبة${\displaystyle (a,b)}$بحيث​​${\displaystyle a\in A}$و​​${\displaystyle b\in B}$أي​ $${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A{\text{ and }}b\in B\}.}$$ التعريف منطقي حتى لو${\displaystyle A=B}$.

ويمكن للمرء أن يحدد كذلك${\displaystyle A\times B\times C}$كمجموعة من الثلاثيات المرتبة${\displaystyle (a,b,c)}$وكذلك بالنسبة لأي عدد محدود من المجموعات.

في الواقع، ليس بالضرورة أن يكون عدد المجموعات محدودًا. بالنظر إلى أي عائلة مفهرسة من المجموعات${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$المنتج${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$هي مجموعة جميع العائلات المفهرسة من العناصر${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$بحيث${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$لكل${\displaystyle i\in I}$. تنص بديهية الاختيار على أن أي حاصل ضرب لمجموعات غير فارغة هو مجموعة غير فارغة.

بافتراض وجود مجموعتين${\displaystyle E}$و​​${\displaystyle F}$، مجموعة الأس ، ويرمز لها بـ${\displaystyle F^{E}}$، هي المجموعة التي تحتوي على جميع الدوال من${\displaystyle E}$إلى​​${\displaystyle F}$⁠ .

وبعبارة أخرى ،${\displaystyle F^{E}}$يمكن اعتبارها بمثابة حاصل الضرب الديكارتي لعائلة، مفهرسة بواسطة${\displaystyle E}$، من المجموعات التي جميعها متساوية${\displaystyle F}$وهذا يفسر المصطلحات والرموز، لأن عملية الرفع إلى الأسس ذات الأسس الصحيحة هي عملية ضرب تكون فيها جميع العوامل مساوية للأساس.

مجموعة القوى لمجموعة​${\displaystyle E}$⁠ هي المجموعة التي تحتوي على جميع المجموعات الجزئية من ⁠${\displaystyle E}$كعناصر ، بما في ذلك المجموعة الفارغة و${\displaystyle E}$^{[ 32 ]} غالبًا ما يُشارإليه بـ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$على سبيل المثال ،$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\{1,2,3\})=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$$

توجد علاقة تناظر طبيعية أحادية ( تقابل ) بين المجموعات الجزئية من${\displaystyle E}$والوظائف من​${\displaystyle E}$إلى​​${\displaystyle \{0,1\}}$⁠ ; يربط هذا التناظر كل مجموعة فرعية بالدالة التي تأخذ القيمة ⁠${\displaystyle 1}$على المجموعة الفرعية و${\displaystyle 0}$في مكان آخر. وبسبب هذا التطابق، فإن مجموعة القوى لـ${\displaystyle E}$يُعرف عادةً باسم الأسية: $${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)=\{0,1\}^{E}.}$$ في هذه الصيغة، ⁠${\displaystyle \{0,1\}}$غالبًا ما يتم اختصار ⁠ إلى ⁠${\displaystyle 2}$، مما يعطي ^{[ 32 ] [ 38 ]}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)=2^{E}.}$$ على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle E}$لديه​​${\displaystyle n}$العناصر ، ثم${\displaystyle 2^{E}}$لديه​​${\displaystyle 2^{n}}$العناصر . ^{[ 39 ]}

الاتحاد المنفصل لمجموعتين أو أكثر يشبه الاتحاد، ولكن إذا كانت هناك عناصر مشتركة بين مجموعتين، تُعتبر هذه العناصر منفصلة في الاتحاد المنفصل. ويتم ذلك بتسمية العناصر بمؤشرات المجموعة التي تنتمي إليها.

الاتحاد المنفصل لمجموعتين${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$يُشار إليه عادةً بـ${\displaystyle A\sqcup B}$وبالتالي يُعرَّف على النحو التالي $${\displaystyle A\sqcup B=\{(a,i)\mid (i=1\land a\in A)\lor (i=2\land a\in B\}.}$$

إذا​${\displaystyle A=B}$⁠ هي مجموعة مع ⁠${\displaystyle n}$العناصر ، ثم${\displaystyle A\cup A=A}$لديه​​${\displaystyle n}$العناصر ، بينما${\displaystyle A\sqcup A}$لديه​​${\displaystyle 2n}$العناصر .

الاتحاد المنفصل لمجموعتين هو حالة خاصة من الاتحاد المنفصل لعائلة مفهرسة من المجموعات، والذي يُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \bigsqcup _{i\in {\mathcal {I}}}=\{(a,i)\mid i\in {\mathcal {I}}\land a\in A_{i}\}.}$$

الاتحاد المنفصل هو الناتج المشترك في فئة المجموعات. لذلك، فإن الترميز $${\displaystyle \coprod _{i\in {\mathcal {I}}}=\{(a,i)\mid i\in {\mathcal {I}}\land a\in A_{i}\}}$$ يُستخدم بشكل شائع.

يُعبَّر عن عدد عناصر المجموعة غير المنتهية عادةً بعدد أصلي ، تمامًا كما يُعبَّر عن عدد عناصر المجموعة المنتهية بعدد طبيعي. تعريف الأعداد الأصلية معقد للغاية بالنسبة لهذه المقالة؛ ومع ذلك، يمكن تناول العديد من خصائص عدد العناصر دون الرجوع إلى الأعداد الأصلية، كما يلي.

مجموعتان​${\displaystyle S}$و​​${\displaystyle T}$يكون لعنصرين نفس العدد الأصلي إذا وُجدت بينهما علاقة تقابل ( تقابل أحادي ). ويُرمز إلى ذلك بـ${\displaystyle \vert S\vert =\vert T\vert }$، وستكون علاقة تكافؤ على المجموعات، إذا كانت مجموعة من جميع المجموعات موجودة.

على سبيل المثال، للأعداد الطبيعية والأعداد الطبيعية الزوجية نفس العدد الأصلي، لأن الضرب في اثنين يوفر مثل هذا التناظر. وبالمثل، فإن الفترة${\displaystyle (-1,1)}$ومجموعة جميع الأعداد الحقيقية لها نفس العدد الأصلي، ويتم توفير تقابل بواسطة الدالة${\displaystyle x\mapsto \tan(\pi x/2)}$⁠ .

إن امتلاك نفس عدد عناصر مجموعة جزئية فعلية هو خاصية مميزة للمجموعات غير المنتهية: فالمجموعة تكون غير منتهية إذا وفقط إذا كان لها نفس عدد عناصر إحدى مجموعاتها الجزئية الفعلية. لذا، من المثال السابق، تشكل الأعداد الطبيعية مجموعة غير منتهية. ^{[ 32 ]}

إلى جانب المساواة، هناك تفاوت طبيعي بين الأعداد الأصلية: مجموعة ⁠${\displaystyle S}$عدد عناصرها أصغر من أو يساوي عدد عناصر مجموعة أخرى${\displaystyle T}$إذا كان هناك حقنة من${\displaystyle S}$إلى​​${\displaystyle T}$. يُشار إلى ذلك بـ${\displaystyle \vert S\vert \leq \vert T\vert }$⁠ .

تنص نظرية شرودر-بيرنشتاين على أن${\displaystyle \vert S\vert \leq \vert T\vert }$و​​${\displaystyle \vert T\vert \leq \vert S\vert }$⁠ يعني ⁠${\displaystyle \vert S\vert =\vert T\vert }$. كذلك، لدى المرء ⁠${\displaystyle \vert S\vert \leq \vert T\vert }$، إذا وفقط إذا كان هناك تطبيق شامل من${\displaystyle T}$إلى​​${\displaystyle S}$لكل مجموعتين​${\displaystyle S}$و​​${\displaystyle T}$، إما أن يكون لدى المرء${\displaystyle \vert S\vert \leq \vert T\vert }$أو​​${\displaystyle \vert T\vert \leq \vert S\vert }$^{[ ج ]} إذن ،عدم المساواة في عدد العناصر هو ترتيب كلي .

عدد عناصر المجموعة${\displaystyle \mathbb {N} }$من الأعداد الطبيعية، ويرمز لها بـ${\displaystyle \vert \mathbb {N} \vert =\aleph _{0}}$، هي أصغر عدد لانهائي من العناصر. هذا يعني أنه إذا${\displaystyle S}$إذا كانت مجموعة الأعداد الطبيعية، فإن إما${\displaystyle S}$محدود أو​${\displaystyle \vert S\vert =\vert \mathbb {N} \vert }$⁠ .

المجموعات ذات العددية الأقل من أو تساوي${\displaystyle \vert \mathbb {N} \vert =\aleph _{0}}$تُسمى هذه المجموعات بالمجموعات القابلة للعد ؛ وهي إما مجموعات منتهية أو مجموعات غير منتهية قابلة للعد (مجموعات ذات عدد عناصر ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "قابل للعد" بمعنى "لا نهائي قابل للعد". المجموعات التي يكون عدد عناصرها أكبر من ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$تُسمى هذه المجموعات بالمجموعات غير القابلة للعد .

تُظهر حجة كانتور القطرية أنه لكل مجموعة${\displaystyle S}$، مجموعة قواها (مجموعة مجموعاتها الجزئية )${\displaystyle 2^{S}}$له عدد أكبر من العناصر: $${\displaystyle |S|<\left|2^{S}\right|.}$$ وهذا يعني أنه لا توجد أكبر مجموعة عددية.

يُطلق على عدد عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية اسم عدد عناصر المتصل، ويُرمز له بـ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. (كان مصطلح " المتصل " يشير إلى خط الأعداد الحقيقية قبل القرن العشرين، عندما لم يكن يُنظر إلى خط الأعداد الحقيقية بشكل شائع على أنه مجموعة من الأرقام.)

بما أن الخط الحقيقي، كما هو موضح أعلاه${\displaystyle \mathbb {R} }$لكل مجموعة فرعيةمن نفس عدد عناصر الفترة المفتوحة .${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ التي تحتوي على فترة مفتوحة غير فارغة لها أيضًا عدد العناصر ⁠${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$⁠ .

يمتلك المرء $${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}},}$$ بمعنى أن عدد عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية يساوي عدد عناصر مجموعة قوى الأعداد الطبيعية. على وجه الخصوص، ^{[ 43 ]}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}>\aleph _{0}.}$$

عندما نشرها جورج كانتور في عام 1878 ، ^{[ 44 ]} كانت هذه النتيجة مذهلة لدرجة أن علماء الرياضيات رفضوها، واستغرق الأمر عدة عقود قبل قبولها بشكل عام.

يمكن إثبات ذلك${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$⁠ هو أيضًا عدد عناصر المستوى بأكمله، وأي فضاء إقليدي محدود الأبعاد . ^{[ 45 ]}

تنص فرضية الاستمرارية ، وهي فرضية صاغها جورج كانتور عام 1878، على أنه لا توجد مجموعة ذات عدد عناصر يقع بين ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$و​​${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$[ ^{44 ]} في عام 1963،أثبت بول كوهين أن فرضية الاستمرارية مستقلة عن بديهيات نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع بديهية الاختيار . ^{[ 46 ]} وهذا يعني أنه إذا كانت نظرية المجموعات الأكثر استخدامًامتسقة(أي غير متناقضة ذاتيًا)، [ ^{د ] فإن الأمر} نفسه ينطبق على كل من نظرية المجموعات مع إضافة فرضية الاستمرارية كبديهية إضافية، ونظرية المجموعات مع إضافة نفي فرضية الاستمرارية.

إن ليمّة زورن هي تأكيد يعادل بديهية الاختيار في ظل البديهيات الأخرى لنظرية المجموعات، وهي أسهل في الاستخدام في الرياضيات المعتادة.

دع​${\displaystyle S}$⁠ مجموعة مرتبة جزئياً. سلسلة في ⁠${\displaystyle S}$⁠ هي مجموعة جزئية مرتبة ترتيبًا كليًا تحت الترتيب المستحث. تنص مبرهنة زورن على أنه إذا كانت كل سلسلة في ⁠${\displaystyle S}$له حد أعلى في​${\displaystyle S}$ثم​​${\displaystyle S}$تحتوي المجموعة (على الأقل) على عنصر أقصى ، أي عنصر لا يقل حجمه عن عنصر آخر من عناصر المجموعة.${\displaystyle S}$⁠ .

في معظم استخدامات معضلة زورن ،${\displaystyle S}$⁠ هي مجموعة من المجموعات، والترتيب هو احتواء المجموعة، والحد الأعلى للسلسلة يؤخذ على أنه اتحاد أعضائها.

من الأمثلة على استخدام مبرهنة زورن، إثبات أن لكل فضاء متجهي أساسًا . هنا عناصر ⁠${\displaystyle S}$هي مجموعات جزئية مستقلة خطيًا من الفضاء المتجهي. اتحاد سلسلة من عناصر من${\displaystyle S}$تكون المجموعة مستقلة خطيًا، لأن المجموعة اللانهائية تكون مستقلة خطيًا إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة جزئية منتهية منها مستقلة خطيًا، ويجب أن تحتوي كل مجموعة جزئية منتهية من اتحاد سلسلة ما على عنصر من عناصر تلك السلسلة. لذا، توجد مجموعة مستقلة خطيًا قصوى. يجب أن تولد هذه المجموعة المستقلة خطيًا فضاء المتجهات نظرًا لخاصية القصوى، وبالتالي فهي أساس.

ومن الاستخدامات الكلاسيكية الأخرى لنظرية زورن إثبات أن كل مثالي حقيقي - أي مثالي ليس الحلقة بأكملها - في حلقة ما ، موجود في مثالي أقصى . هنا ،${\displaystyle S}$هي مجموعة المُثُل الحقيقية التي تحتوي على المُثُل المُعطى. اتحاد سلسلة من المُثُل هو مُثُل، لأن بديهيات المُثُل تتضمن عددًا محدودًا من العناصر. اتحاد سلسلة من المُثُل الحقيقية هو مُثُل حقيقي، لأنه بخلاف ذلك ...${\displaystyle 1}$⁠ سوف ينتمي إلى الاتحاد، وهذا يعني أنه سينتمي إلى أحد أعضاء السلسلة.

إن بديهية الاختيار تعادل حقيقة أنه يمكن تعريف ترتيب جيد على كل مجموعة، حيث يكون الترتيب الجيد هو ترتيب كلي بحيث يكون لكل مجموعة فرعية غير فارغة عنصر أصغر.

من الأمثلة البسيطة على المجموعات المرتبة ترتيبًا جيدًا الأعداد الطبيعية (مع الترتيب الطبيعي)، ولكل${\displaystyle n}$، مجموعة​${\displaystyle n}$- مجموعات من الأعداد الطبيعية، معالترتيب المعجمي .

تسمح الترتيبات الجيدة بتعميم الاستقراء الرياضي ، والذي يُسمى الاستقراء المتسامي . بفرض خاصية ( مسند )${\displaystyle P(n)}$يعتمد الاستقراء الرياضي على عدد طبيعي، وهو حقيقة أن لإثبات أن${\displaystyle P(n)}$إذا كان هذا صحيحًا دائمًا، يكفي إثبات أنه لكل${\displaystyle n}$،​ $${\displaystyle (m<n\implies P(m))\implies P(n).}$$ الاستقراء المتسامي هو نفسه، حيث يتم استبدال الأعداد الطبيعية بعناصر مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا.

غالباً ما يكون البرهان بالاستقراء المتسامي أسهل إذا تم إثبات ثلاث حالات بشكل منفصل، وتكون الحالتان الأوليان هما نفس الحالتين بالنسبة للاستقراء المعتاد:

• ⁠${\displaystyle P(0)}$صحيح ، حيث${\displaystyle 0}$يرمز إلى أصغر عنصر في المجموعة المرتبة ترتيبًا جيدًا
• ⁠${\displaystyle P(x)\implies P(S(x))}$، حيث​${\displaystyle S(x)}$يشير إلى خليفة​​${\displaystyle x}$، أي أصغر عنصر أكبر من${\displaystyle x}$⁠
• ⁠${\displaystyle (\forall y;\;y<x\implies P(y))\implies P(x)}$، عندما​${\displaystyle x}$ليس خليفة.

الاستقراء المتسامي أساسي لتعريف الأعداد الترتيبية والأعداد الأصلية .