قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية

فيما يلي قائمة بالتكاملات غير المحددة ( الدوال الأصلية ) للتعبيرات التي تتضمن الدوال المثلثية العكسية . للاطلاع على قائمة كاملة بصيغ التكامل، انظر قوائم التكاملات .

تُعرف الدوال المثلثية العكسية أيضًا باسم "دوال القوس".
يُستخدم الرمز C للدلالة على ثابت التكامل الذي لا يمكن تحديده إلا بمعرفة قيمة التكامل عند نقطة معينة. وبالتالي، فإن لكل دالة عدد لا نهائي من الدوال الأصلية.
توجد ثلاث صيغ شائعة للدوال المثلثية العكسية. على سبيل المثال، يمكن كتابة دالة الجيب العكسي على النحو التالي: sin ⁻¹ ، أو asin ، أو كما هو مستخدم في هذه الصفحة، arcsin .
لكل صيغة تكامل مثلثي عكسي أدناه صيغة مقابلة في قائمة تكاملات الدوال الزائدية العكسية .

صيغ تكامل دالة الجيب العكسي

$\int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$
$\int \arcsin(ax)\,dx=x\arcsin(ax)+{\frac {\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}{a}}+C$
$\int x\arcsin(ax)\,dx={\frac {x^{2}\arcsin(ax)}{2}}-{\frac {\arcsin(ax)}{4\,a^{2}}}+{\frac {x{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}}{4\,a}}+C$
$\int x^{2}\arcsin(ax)\,dx={\frac {x^{3}\arcsin(ax)}{3}}+{\frac {\left(a^{2}x^{2}+2\right){\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}}{9\,a^{3}}}+C$
$\int x^m\arcsin(ax)\,dx=\frac {x^{m+1}\arcsin(ax)}{m+1}}\,-\,{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}}\,dx\,,\quad (m\neq -1)}$
$\int \arcsin(ax)^{2}\,dx=-2x+x\arcsin(ax)^{2}+{\frac {2{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}\arcsin(ax)}{a}}+C$
$\int \arcsin(ax)^{n}\,dx=x\arcsin(ax)^{n}\,+\,{\frac {n{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}\arcsin(ax)^{n-1}}{a}}\,-\,n\,(n-1)\int \arcsin(ax)^{n-2}\,dx$
$\int \arcsin(ax)^{n}\,dx={\frac {x\arcsin(ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}}\,+\,{\frac {{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}\arcsin(ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}}\,-\,{\frac {1}{(n+1)\,(n+2)}}\int \arcsin(ax)^{n+2}\,dx\,,\quad (n\neq -1,-2)$

$\int \arccos(x)\,dx=x\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$
$\int \arccos(ax)\,dx=x\arccos(ax)-{\frac {\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}{a}}+C$
$\int x\arccos(ax)\,dx={\frac {x^{2}\arccos(ax)}{2}}-{\frac {\arccos(ax)}{4\,a^{2}}}-{\frac {x{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}}{4\,a}}+C$
$\int x^{2}\arccos(ax)\,dx={\frac {x^{3}\arccos(ax)}{3}}-{\frac {\left(a^{2}x^{2}+2\right){\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}}{9\,a^{3}}}+C$
$\int x^{m}\arccos(ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\arccos(ax)}{m+1}}\,+\,{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}}\,dx\,,\quad (m\neq -1)$
$\int \arccos(ax)^{2}\,dx=-2x+x\arccos(ax)^{2}-{\frac {2{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}\arccos(ax)}{a}}+C$
$\int \arccos(ax)^{n}\,dx=x\arccos(ax)^{n}\,-\,{\frac {n{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}\arccos(ax)^{n-1}}{a}}\,-\,n\,(n-1)\int \arccos(ax)^{n-2}\,dx$
$\int \arccos(ax)^{n}\,dx={\frac {x\arccos(ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}}\,-\,{\frac {{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}\arccos(ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}}\,-\,{\frac {1}{(n+1)\,(n+2)}}\int \arccos(ax)^{n+2}\,dx\,,\quad (n\neq -1,-2)$

$\int \arctan(x)\,dx=x\arctan(x)-{\frac {\ln \left(x^{2}+1\right)}{2}}+C$
$\int \arctan(ax)\,dx=x\arctan(ax)-{\frac {\ln \left(a^{2}x^{2}+1\right)}{2\,a}}+C$
$\int x\arctan(ax)\,dx={\frac {x^{2}\arctan(ax)}{2}}+{\frac {\arctan(ax)}{2\,a^{2}}}-{\frac {x}{2\,a}}+C$
$\int x^{2}\arctan(ax)\,dx={\frac {x^{3}\arctan(ax)}{3}}+{\frac {\ln \left(a^{2}x^{2}+1\right)}{6\,a^{3}}}-{\frac {x^{2}}{6\,a}}+C$
$\int x^{m}\arctan(ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\arctan(ax)}{m+1}}-{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}x^{2}+1}}\,dx\,,\quad (m\neq -1)$

$\int \operatorname {arccot}(x)\,dx=x\operatorname {arccot}(x)+{\frac {\ln \left(x^{2}+1\right)}{2}}+C$
$\int \operatorname {arccot}(ax)\,dx=x\operatorname {arccot}(ax)+{\frac {\ln \left(a^{2}x^{2}+1\right)}{2\,a}}+C$
$\int x\operatorname {arccot}(ax)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arccot}(ax)}{2}}+{\frac {\operatorname {arccot}(ax)}{2\,a^{2}}}+{\frac {x}{2\,a}}+C$
$\int x^{2}\operatorname {arccot}(ax)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arccot}(ax)}{3}}-{\frac {\ln \left(a^{2}x^{2}+1\right)}{6\,a^{3}}}+{\frac {x^{2}}{6\,a}}+C$
$\int x^{m}\operatorname {arccot}(ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arccot}(ax)}{m+1}}+{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}x^{2}+1}}\,dx\,,\quad (m\neq -1)$

$\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx=x\operatorname {arcsec}(x)\,-\,\ln \left(\left|x\right|+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,+\,C=x\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} |x|+C$
$\int \operatorname {arcsec}(ax)\,dx=x\operatorname {arcsec}(ax)-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arcosh} |ax|+C$
$\int x\operatorname {arcsec}(ax)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arcsec}(ax)}{2}}-{\frac {x}{2\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}+C$
$\int x^{2}\operatorname {arcsec}(ax)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arcsec}(ax)}{3}}\,-\,{\frac {\operatorname {arcosh} |ax|}{6\,a^{3}}}\,-\,{\frac {x^{2}}{6\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}\,+\,C$
$\int x^{m}\operatorname {arcsec}(ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arcsec}(ax)}{m+1}}\,-\,{\frac {1}{a\,(m+1)}}\int {\frac {x^{m-1}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}}\,dx\,,\quad (m\neq -1)$

$\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx=x\operatorname {arccsc}(x)\,+\,\ln \left(\left|x\right|+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,+\,C=x\operatorname {arccsc}(x)\,+\,\operatorname {arcosh} |x|\,+\,C$
$\int \operatorname {arccsc}(ax)\,dx=x\operatorname {arccsc}(ax)+{\frac {1}{a}}\,\operatorname {artanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}+C$
$\int x\operatorname {arccsc}(ax)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arccsc}(ax)}{2}}+{\frac {x}{2\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}+C$
$\int x^{2}\operatorname {arccsc}(ax)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arccsc}(ax)}{3}}\,+\,{\frac {1}{6\,a^{3}}}\,\operatorname {artanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}\,+\,{\frac {x^{2}}{6\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}\,+\,C$
$\int x^{m}\operatorname {arccsc}(ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arccsc}(ax)}{m+1}}\,+\,{\frac {1}{a\,(m+1)}}\int {\frac {x^{m-1}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}}\,dx\,,\quad (m\neq -1)$