الدوال المثلثية العكسية

في الرياضيات ، تُعرف الدوال المثلثية العكسية (وتُسمى أحيانًا بالدوال المثلثية المضادة ، ^{[ 1 ]} أو الدوال الدائرية ، ^{[ 2 ]} أو دوال القوس ^{، [ 3 ]} ) بأنها الدوال العكسية للدوال المثلثية ، ضمن نطاقات محددة . وتحديدًا، هي معكوسات دوال الجيب ، وجيب التمام ، والظل ، وظل التمام ، والقاطع ، وقاطع التمام ، ^{[ 4 ]} وتُستخدم لحساب الزاوية من أي نسبة مثلثية للزاوية. وتُستخدم الدوال المثلثية العكسية على نطاق واسع في الهندسة ، والملاحة ، والفيزياء ، والهندسة .

الترميز

توجد عدة رموز للدوال المثلثية العكسية. أكثرها شيوعًا استخدام البادئة $arc-$ : $arcsin(x)$ ، $arccos(x)$ ، $arctan(x)$ ، إلخ. ^{[ 1 ]} (يُستخدم هذا الاصطلاح في جميع أنحاء هذه المقالة). ينشأ هذا الرمز من العلاقات الهندسية التالية: عند القياس بالراديان، تُقابل زاوية مقدارها $θ راديان$ قوسًا طوله $rθ$ ، حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة. بالتالي، في دائرة الوحدة ، دالة جيب تمام x هي كل من القوس والزاوية، لأن قوس دائرة نصف قطرها 1 هو نفسه الزاوية. أو بعبارة أخرى، "القوس الذي جيب تمامه $x$ " هو نفسه "الزاوية التي جيب تمامها $x$ "، لأن طول قوس الدائرة بنصف القطر هو نفسه قياس الزاوية بالراديان. ^[⁵^] في لغات برمجة الحاسوب، غالبًا ما تُسمى الدوال المثلثية العكسية بالصيغ المختصرة asin و acos و atan . ^[⁶^]

يستخدم ترميز شائع آخر في المصادر الإنجليزية رمزًا علويًا $f - 1$ : $sin - 1 (x)$ ، $cos - 1 (x)$ ، $tan - 1 (x)$ ، إلخ، كما قدمه جون هيرشل عام 1813. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 1 ]} يتعارض هذا مع الصيغة الشائعة $sin 2 (x)$ ، التي تدل على الأسس وليس تركيب الدوال ، وبالتالي قد يؤدي إلى خلط بين ترميز الدالة العكسية ( المعكوس الضربي ) والدالة العكسية . ^{[ 9 ]} يُعد اصطلاح الدالة العكسية باستخدام رمز علوي بين قوسين واضحًا ولكنه غير شائع الاستخدام: $sin [- 1] (x)$ ، $cos [- 1] (x)$ ، $tan [- 1] (x)$ .

يُخفف من هذا الغموض استخدام أسماء خاصة للدوال المثلثية المقلوبة، على سبيل المثال، $(cos(x)) - 1 = sec(x)$ . ومع ذلك، ينصح بعض المؤلفين بعدم استخدامها، لأنها غامضة. ^{[ 1 ]}^{[ 10 ]} هناك اصطلاح إشكالي آخر يستخدمه عدد قليل من المؤلفين وهو استخدام حرف كبير في البداية، بالإضافة إلى رمز " $-1 "$ في الأعلى : $Sin - 1 (x)$ ، $Cos - 1 (x)$ ، $Tan - 1 (x)$ ، إلخ. ^{[ 11 ]} على الرغم من أن الهدف منه هو تجنب الخلط مع المقلوب ، الذي يجب تمثيله بـ $sin - 1 (x)$ ، $cos - 1 (x)$ ، إلخ، أو الأفضل من ذلك، بـ $sin - 1x$ ، $cos - 1x ، إلخ، إلا أنه بدوره يخلق مصدرًا رئيسيًا آخر للغموض، خاصةً وأن العديد$ $من$ لغات البرمجة عالية المستوى الشائعة (مثل Mathematica و MAGMA ) تستخدم أسماءً مكتوبة بأحرف كبيرة للدوال المثلثية القياسية.

منذ عام 2019، حدد معيار ISO 80000-2 البادئة "arc" فقط للدوال العكسية.

المفاهيم الأساسية

تمثل النقاط المُعَلَّمة بـ 1 و Sec( θ ) و Csc( θ ) طول القطعة المستقيمة من نقطة الأصل إلى تلك النقطة. أما sin( θ ) و Tan( θ ) و 1 فهي ارتفاعات القطعة المستقيمة بدءًا من المحور $السيني$ ، بينما cos( θ ) و 1 و Cot( θ ) هي أطوال القطعة المستقيمة على طول المحور $السيني$ بدءًا من نقطة الأصل.

القيم الرئيسية

بما أن أياً من الدوال المثلثية الست ليست دالة أحادية ، فلا بد من تقييدها لكي يكون لها دوال عكسية. لذا، فإن نطاقات الدوال العكسية هي مجموعات جزئية فعلية (أي صارمة) من نطاقات الدوال الأصلية.

على سبيل المثال، استخدام الدالة بمعنى الدوال متعددة القيم ، تمامًا مثل دالة الجذر التربيعي $y={\sqrt {x}}$ يمكن تعريفها من $y^{2}=x,$ الوظيفة $y=\arcsin(x)$ يتم تعريفها بحيث $\sin(y)=x.$ بالنسبة لعدد حقيقي معين $x,$ مع $-1\leq x\leq 1,$ هناك أعداد متعددة (في الواقع، عدد لا نهائي قابل للعد ) $y$ بحيث $\sin(y)=x$ ؛ على سبيل المثال، $\sin(0)=0,$ ولكن أيضاً $\sin(\pi )=0,$ $\sin(2\pi )=0,$ إلخ. عندما تكون هناك حاجة إلى قيمة واحدة فقط، يمكن حصر الدالة في فرعها الرئيسي . مع هذا القيد، لكل $x$ في هذا المجال، التعبير $\arcsin(x)$ ستُقيّم الدالة إلى قيمة واحدة فقط، تُسمى قيمتها الأساسية . تنطبق هذه الخصائص على جميع الدوال المثلثية العكسية.

تم إدراج المعكوسات الرئيسية في الجدول التالي.

اسم	الترميز المعتاد	تعريف	مجال $x$ للنتيجة الحقيقية	نطاق القيمة الرئيسية المعتادة ( بالراديان )	نطاق القيمة الرئيسية المعتادة ( بالدرجات )
دالة الجيب العكسي	$y = arcsin(x)$	$x = sin (y)$	$-1 \leq x \leq 1$	$- ⁠ π / 2 ⁠ \geq ذ \geq ⁠ π / 2 ⁠$	$-90° \leq y \leq 90°$
دالة الجيب العكسية	$y = arccos(x)$	$x = cos (y)$	$-1 \leq x \leq 1$	$0 \leq y \leq π$	$0° \leq y \leq 180°$
ظل الزاوية العكسي	$y = arctan(x)$	$x = tan (y)$	جميع الأرقام الحقيقية	$- ⁠ π / 2 ⁠ < y < ⁠ π / 2 ⁠$	$-90° < y < 90°$
arccotangent	$y = arccot(x)$	$x = cot (y)$	جميع الأرقام الحقيقية	$0 < y < π$	$0° < y < 180°$
قاطع القوس	$y = arcsec(x)$	$x = sec (y)$	$\| x \| \geq 1$	$0$ $\leq$ $y$ $<$ $π$ $/$ $2$ $أو$ $π$ $/$ $2$ $<$ $y$ $\leq$ $π$ $$	$0° \leq y < 90°$ أو $90° < y \leq 180°$
مادة مانعة للتسرب	$y = arccsc(x)$	$x = csc (y)$	$\| x \| \geq 1$	$- π / 2 \leq y$ $<$ $0$ أو $0$ $<$ $y$ $\leq$ $π$ $/$ $2$ $$ $$	$-90° \leq y < 0$ أو $0° < y \leq 90°$

ملاحظة: يُعرّف بعض المؤلفين مدى دالة القاطع العكسي بأنه ( ${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}}$ أو ${\textstyle \pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}}}$ [ ¹²^] لأن دالة الظل غير سالبة على هذا النطاق. وهذا يجعل بعض العمليات الحسابية أكثر اتساقًا. على سبيل المثال، باستخدام هذا النطاق ^، $\tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},$ بينما مع النطاق ( ${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}}$ أو ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi }$ )، سيتعين علينا أن نكتب $\tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},$ بما أن الظل غير سالب على ${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}},}$ لكن النتيجة غير إيجابية في ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .}$ ولسبب مماثل، يُعرّف المؤلفون أنفسهم نطاق دالة القطع العكسي على النحو التالي: ${\textstyle (-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}$ أو ${\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}).}$

النطاقات

إذا سُمح لـ $x بأن يكون$ عددًا مركبًا ، فإن مدى $y$ ينطبق فقط على الجزء الحقيقي منه.

يعرض الجدول أدناه أسماء ومجالات الدوال المثلثية العكسية بالإضافة إلى نطاق قيمها الرئيسية المعتادة بالراديان .

اسم	رمز		اِختِصاص		صورة/نطاق	الدالة العكسية		اِختِصاص		صورة للقيم الرئيسية
جيب	$\sin$	${\displaystyle$	$\mathbb {R}$	$\to$	$[-1,1]$	$\arcsin$	${\displaystyle$	$[-1,1]$	$\to$	$\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]$
جيب التمام	$\cos$	${\displaystyle$	$\mathbb {R}$	$\to$	$[-1,1]$	$\arccos$	${\displaystyle$	$[-1,1]$	$\to$	$[0,\pi ]$
مماس	$\tan$	${\displaystyle$	$\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$	$\to$	$\mathbb {R}$	$\arctan$	${\displaystyle$	$\mathbb {R}$	$\to$	$\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$
ظل التمام	$\cot$	${\displaystyle$	$\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )$	$\to$	$\mathbb {R}$	$\operatorname {arccot}$	${\displaystyle$	$\mathbb {R}$	$\to$	$(0,\pi )$
القاطع	$\sec$	${\displaystyle$	$\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$	$\to$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\operatorname {arcsec}$	${\displaystyle$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\to$	$[\,0,\;\pi \,]\;\;\;\setminus \left\{{\tfrac {\pi }{2}}\right\}$
قاطع التمام	$\csc$	${\displaystyle$	$\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )$	$\to$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\operatorname {arccsc}$	${\displaystyle$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\to$	$\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}$

الرمز $\mathbb {R} =(-\infty ,\infty )$ يرمز إلى مجموعة جميع الأعداد الحقيقية و $\mathbb {Z} =\{\ldots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots \}$ يرمز إلى مجموعة جميع الأعداد الصحيحة . مجموعة جميع مضاعفات العدد الصحيح $\pi$ يُرمز إليه بـ

$\pi \mathbb {Z} ~:=~\{\pi n\;:\;n\in \mathbb {Z} \}~=~\{\ldots ,\,-2\pi ,\,-\pi ,\,0,\,\pi ,\,2\pi ,\,\ldots \}.$

الرمز $\,\setminus \,$ يشير إلى طرح المجموعات، بحيث، على سبيل المثال، $\mathbb {R} \setminus (-1,1)=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$ هي مجموعة النقاط في $\mathbb {R}$ (أي الأعداد الحقيقية) التي لا تقع ضمن الفترة $(-1,1).$

تدوين مجموع مينكوفسكي ${\textstyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$ و $\pi \mathbb {Z} +{\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}$ يُستخدم ذلك أعلاه لكتابة مجالات $\cot ,\csc ,\tan ,{\text{ and }}\sec$ تم شرح ذلك الآن.

مجال ظل التمام $\cot$ وقاطع التمام $\csc$ مجالات $\,\cot \,$ و $\,\csc \,$ هي نفسها. إنها مجموعة جميع الزوايا $\theta$ عندها $\sin \theta \neq 0,$ أي جميع الأعداد الحقيقية التي ليست على الشكل $\pi n$ لبعض الأعداد الصحيحة $n,$

${\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )&=\cdots \cup (-2\pi ,-\pi )\cup (-\pi ,0)\cup (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \end{aligned}}$

مجال المماس $\tan$ والقاطع $\sec$ مجالات $\,\tan \,$ و $\,\sec \,$ هي نفسها. إنها مجموعة جميع الزوايا $\theta$ عندها $\cos \theta \neq 0,$

${\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)&=\cdots \cup {\bigl (}{-{\tfrac {3\pi }{2}}},{-{\tfrac {\pi }{2}}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}{\bigr )}\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \left({\tfrac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)\\\end{aligned}}$

حلول المعادلات المثلثية الأساسية

كل دالة من الدوال المثلثية دورية في الجزء الحقيقي من وسيطها، وتمر بجميع قيمها مرتين في كل فترة من فترات ${\displaystyle 2\pi$

تبدأ دورة الجيب وقاطع التمام عند ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$ (أين $k$ (عدد صحيح)، أنهِها عند ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ ثم يعكسون أنفسهم ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ ل ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
تبدأ دورتي جيب التمام والقاطع عند $2\pi k,$ أنهِ الأمر عند $2\pi k+\pi .$ ثم يعكسون أنفسهم $2\pi k+\pi$ ل $2\pi k+2\pi .$
يبدأ المماس دورته عند ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}},}$ ينهيها عند ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ ثم يكررها (إلى الأمام) على ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ ل ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
يبدأ ظل الزاوية كوتانا دورته عند $2\pi k,$ ينهيها عند $2\pi k+\pi ,$ ثم يكررها (إلى الأمام) على $2\pi k+\pi$ ل $2\pi k+2\pi .$

تنعكس هذه الدورية في المعكوسات العامة، حيث $k$ هو عدد صحيح.

يوضح الجدول التالي كيفية استخدام الدوال المثلثية العكسية لحل المعادلات التي تتضمن الدوال المثلثية الست القياسية. ويُفترض أن القيم المعطاة $\theta ,$ $r,$ $s,$ $x,$ و $y$ تقع جميعها ضمن نطاقات مناسبة بحيث تكون التعبيرات ذات الصلة أدناه محددة جيدًا . لاحظ أنه "بالنسبة لبعض $k\in \mathbb {Z}$ " هي مجرد طريقة أخرى لقول "لعدد صحيح ما" $k.$ "

الرمز $\,\iff \,$ وهي مساواة منطقية وتشير إلى أنه إذا كان الجانب الأيسر صحيحًا فإن الجانب الأيمن صحيح أيضًا، والعكس صحيح، إذا كان الجانب الأيمن صحيحًا فإن الجانب الأيسر صحيح أيضًا (انظر هذه الحاشية ^{[ ملاحظة 1 ]} لمزيد من التفاصيل ومثال يوضح هذا المفهوم).


معادلة	إذا وفقط إذا	حل
$\sin \theta =y$	$\iff$	$\theta =\,$	$(-1)^{k}$	$\arcsin(y)$	$+$		$\pi k$	بالنسبة للبعض $k\in \mathbb {Z}$
$\csc \theta =r$	$\iff$	$\theta =\,$	$(-1)^{k}$	$\operatorname {arccsc}(r)$	$+$		$\pi k$	بالنسبة للبعض $k\in \mathbb {Z}$
$\cos \theta =x$	$\iff$	$\theta =\,$	$\pm \,$	$\arccos(x)$	$+$	$2$	$\pi k$	بالنسبة للبعض $k\in \mathbb {Z}$
$\sec \theta =r$	$\iff$	$\theta =\,$	$\pm \,$	$\operatorname {arcsec}(r)$	$+$	$2$	$\pi k$	بالنسبة للبعض $k\in \mathbb {Z}$
$\tan \theta =s$	$\iff$	$\theta =\,$		$\arctan(s)$	$+$		$\pi k$	بالنسبة للبعض $k\in \mathbb {Z}$
$\cot \theta =r$	$\iff$	$\theta =\,$		$\operatorname {arccot}(r)$	$+$		$\pi k$	بالنسبة للبعض $k\in \mathbb {Z}$

حيث يمكن كتابة الحلول الأربعة الأولى بصيغة موسعة على النحو التالي:


معادلة	إذا وفقط إذا	حل
$\sin \theta =y$	$\iff$	$\theta =\;\;\;\,\arcsin(y)+2\pi k$ أو $\theta =-\arcsin(y)+2\pi k+\pi$	بالنسبة للبعض $k\in \mathbb {Z}$
$\csc \theta =r$	$\iff$	$\theta =\;\;\;\,\operatorname {arccsc}(r)+2\pi k$ أو $\theta =-\operatorname {arccsc}(r)+2\pi k+\pi$	بالنسبة للبعض $k\in \mathbb {Z}$
$\cos \theta =x$	$\iff$	$\theta =\;\;\;\,\arccos(x)+2\pi k$ أو $\theta =-\arccos(x)+2\pi k$	بالنسبة للبعض $k\in \mathbb {Z}$
$\sec \theta =r$	$\iff$	$\theta =\;\;\;\,\operatorname {arcsec}(r)+2\pi k$ أو $\theta =-\operatorname {arcsec}(r)+2\pi k$	بالنسبة للبعض $k\in \mathbb {Z}$

على سبيل المثال، إذا $\cos \theta =-1$ ثم $\theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)$ بالنسبة للبعض $k\in \mathbb {Z} .$ بينما إذا $\sin \theta =\pm 1$ ثم ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}$ بالنسبة للبعض $k\in \mathbb {Z} ,$ أين $k$ سيكون الأمر كذلك حتى لو $\sin \theta =1$ وسيكون الأمر غريباً إذا $\sin \theta =-1.$ المعادلات $\sec \theta =-1$ و $\csc \theta =\pm 1$ لها نفس الحلول مثل $\cos \theta =-1$ و $\sin \theta =\pm 1,$ على التوالي. في جميع المعادلات أعلاه باستثناء تلك التي تم حلها للتو (أي باستثناء $\sin$ / $\csc \theta =\pm 1$ و $\cos$ / $\sec \theta =-1$ ), العدد الصحيح $k$ يتم تحديد قيمة في صيغة الحل بشكل فريد بواسطة $\theta$ (لأجل ثابت) $r,s,x,$ و $y$ ).

بمساعدة التكافؤ الصحيح $\operatorname {Parity} (h)={\begin{cases}0&{\text{if }}h{\text{ is even }}\\1&{\text{if }}h{\text{ is odd }}\\\end{cases}}$ من الممكن كتابة حل لـ $\cos \theta =x$ وهذا لا يشمل "الزائد أو الناقص" $\,\pm \,$ رمز:

cos\;\theta =x\quad

إذا وفقط إذا

\quad \theta =(-1)^{h}\arccos(x)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad

بالنسبة للبعض

h\in \mathbb {Z} .

وبالمثل بالنسبة لدالة القاطع،

sec\;\theta =r\quad

إذا وفقط إذا

\quad \theta =(-1)^{h}\operatorname {arcsec}(r)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad

بالنسبة للبعض

h\in \mathbb {Z} ,

أين $\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)$ يساوي $\pi h$ عندما يكون العدد الصحيح $h$ زوجي، ويساوي $\pi h+\pi$ عندما يكون الأمر غريباً.

مثال وشرح مفصل لرمز "الزائد أو الناقص" $\pm$

حلول لـ $\cos \theta =x$ و $\sec \theta =x$ يتضمن رمز "الزائد أو الناقص". $\,\pm ,\,$ وقد اتضح معناه الآن. الحل الوحيد لـ $\cos \theta =x$ سيتم مناقشة هذا الموضوع منذ مناقشة موضوع $\sec \theta =x$ هو نفسه. لقد أُعطينا $x$ بين $-1\leq x\leq 1$ ونعلم أن هناك زاوية $\theta$ في فترة زمنية معينة تحقق $\cos \theta =x.$ نريد أن نجد هذا $\theta .$ يشير الجدول أعلاه إلى أن الحل هو $\,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z}$ وهي طريقة مختصرة للقول بأن (على الأقل) واحدة من العبارات التالية صحيحة:

$\,\theta =\arccos x+2\pi k\,$ لبعض الأعداد الصحيحة $k,$ أو
$\,\theta =-\arccos x+2\pi k\,$ لبعض الأعداد الصحيحة $k.$

كما ذكرنا أعلاه، إذا $\,\arccos x=\pi \,$ (والذي يحدث بحكم التعريف فقط عندما $x=\cos \pi =-1$ إذاً، فإن كلا العبارتين (1) و(2) صحيحتان، وإن كان ذلك بقيم مختلفة للعدد الصحيح. $k$ : لو $K$ هو العدد الصحيح من العبارة (1)، مما يعني أن $\theta =\pi +2\pi K$ إذا كان العدد صحيحًا، $k$ أما العبارة (2) فهي $K+1$ (لأن $\theta =-\pi +2\pi (1+K)$ ومع ذلك، إذا $x\neq -1$ ثم العدد الصحيح $k$ فريد من نوعه ومحدد بالكامل بواسطة $\theta .$ لو $\,\arccos x=0\,$ (والذي يحدث بحكم التعريف فقط عندما $x=\cos 0=1$ ) ثم $\,\pm \arccos x=0\,$ (لأن $\,+\arccos x=+0=0\,$ و $\,-\arccos x=-0=0\,$ لذا في كلتا الحالتين $\,\pm \arccos x\,$ يساوي $0$ وبالتالي، فإن العبارتين (1) و(2) متطابقتان في هذه الحالة بالذات (وبالتالي فكلتاهما صحيحة). بعد النظر في الحالات $\,\arccos x=0\,$ و $\,\arccos x=\pi ,\,$ نركز الآن على الحالة التي $\,\arccos x\neq 0\,$ و $\,\arccos x\neq \pi ,\,$ لذا، افترض هذا من الآن فصاعدًا. الحل لـ $\cos \theta =x$ لا يزال $\,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ لبعض }}k\in \mathbb {Z}$ وهو، كما في السابق، اختصار للقول بأن إحدى العبارتين (1) أو (2) صحيحة. ولكن هذه المرة، لأن $\,\arccos x\neq 0\,$ و $\,0<\arccos x<\pi ,\,$ العبارتان (1) و(2) مختلفتان، وعلاوة على ذلك، فإن إحدى المعادلتين صحيحة فقط (وليس كلتيهما). معلومات إضافية حول $\theta$ يلزم تحديد أيهما صحيح. على سبيل المثال، لنفترض أن $x=0$ وكل ما هو معروف عن $\theta$ هل هذا $\,-\pi \leq \theta \leq \pi \,$ (ولا يُعرف شيء آخر). ثم $\arccos x=\arccos 0={\frac {\pi }{2}}$ وعلاوة على ذلك، في هذه الحالة بالذات $k=0$ (لكلا) $\,+\,$ القضية و $\,-\,$ وبالتالي، $\theta ~=~\pm \arccos x+2\pi k~=~\pm \left({\frac {\pi }{2}}\right)+2\pi (0)~=~\pm {\frac {\pi }{2}}.$ هذا يعني أن $\theta$ قد يكون أيًا منهما $\,\pi /2\,$ أو $\,-\pi /2.$ بدون معلومات إضافية، لا يمكن تحديد أي من هذه القيم $\theta$ يحتوي. مثال على بعض المعلومات الإضافية التي يمكن أن تحدد قيمة $\theta$ سيكون ذلك معرفة أن الزاوية أعلى من $x$ المحور السيني (في هذه الحالة) $\theta =\pi /2$ أو بدلاً من ذلك، مع العلم أنه أقل من $x$ المحور السيني (في هذه الحالة) $\theta =-\pi /2$ ).

الدوال المثلثية المتساوية والمتطابقة

يوضح الجدول أدناه كيفية عمل زاويتين $\theta$ و $\varphi$ يجب أن تكون هناك علاقة بينهما إذا كانت قيمهما تحت دالة مثلثية معينة متساوية أو سالبة لبعضها البعض.


معادلة	إذا وفقط إذا	حلول (لبعضها) $k\in \mathbb {Z}$ )	كما أنه حل لـ
${\phantom {-}}\sin \theta =\sin \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {\quad }}(-1)^{k}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	${\phantom {-}}\csc \theta =\csc \varphi$
${\phantom {-}}\cos \theta =\cos \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +2\pi k{\phantom {+\pi }}$	${\phantom {-}}\sec \theta =\sec \varphi$
${\phantom {-}}\tan \theta =\tan \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {(-1)^{k+1}}}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	${\phantom {-}}\cot \theta =\cot \varphi$
$-\sin \theta =\sin \varphi$	$\iff$	$\theta =(-1)^{k+1}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	$-\csc \theta =\csc \varphi$
$-\cos \theta =\cos \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +2\pi k+\pi {\phantom {+\pi }}$	$-\sec \theta =\sec \varphi$
$-\tan \theta =\tan \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {-1\quad }}-\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	$-\cot \theta =\cot \varphi$
${\begin{aligned}{\phantom {-}}\left\|\sin \theta \right\|&=\left\|\sin \varphi \right\|\\&\Updownarrow \\{\phantom {-}}\left\|\cos \theta \right\|&=\left\|\cos \varphi \right\|\end{aligned}}$	$\iff$	$\theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	$\displaystyle {\begin{aligned}{\phantom {-}}\left\|\tan \theta \right\|&=\left\|\tan \varphi \right\|\\\left\|\csc \theta \right\|&=\left\|\csc \varphi \right\|\\\left\|\sec \theta \right\|&=\left\|\sec \varphi \right\|\\\left\|\cot \theta \right\|&=\left\|\cot \varphi \right\|\end{aligned}}}$

مجموعة جميع حلول المعادلات المثلثية الأساسية

وبالتالي، بالنظر إلى حل واحد $\theta$ إلى معادلة مثلثية ابتدائية ( $\sin \theta =y$ على سبيل المثال، هذه معادلة، ولأن $\sin(\arcsin y)=y$ دائماً ما يكون صحيحاً، ${\displaystyle \theta$ هو دائمًا حل)، ومجموعة جميع الحلول له هي:


لو $\theta$ يحل	ثم	مجموعة جميع الحلول (من حيث $\theta$ )
$\;\sin \theta =y$	ثم	${\displaystyle \{\varphi$	$(\theta$	$\,+\,2$	$\pi \mathbb {Z} )$	$\,\cup \,(-\theta$	$-\pi$	$+2\pi \mathbb {Z} )$
$\;\csc \theta =r$	ثم	${\displaystyle \{\varphi$	$(\theta$	$\,+\,2$	$\pi \mathbb {Z} )$	$\,\cup \,(-\theta$	$-\pi$	$+2\pi \mathbb {Z} )$
$\;\cos \theta =x$	ثم	${\displaystyle \{\varphi$	$(\theta$	$\,+\,2$	$\pi \mathbb {Z} )$	$\,\cup \,(-\theta$		$+2\pi \mathbb {Z} )$
$\;\sec \theta =r$	ثم	${\displaystyle \{\varphi$	$(\theta$	$\,+\,2$	$\pi \mathbb {Z} )$	$\,\cup \,(-\theta$		$+2\pi \mathbb {Z} )$
$\;\tan \theta =s$	ثم	${\displaystyle \{\varphi$	$\theta$	$\,+\,$	$\pi \mathbb {Z}$
$\;\cot \theta =r$	ثم	${\displaystyle \{\varphi$	$\theta$	$\,+\,$	$\pi \mathbb {Z}$

تحويل المعادلات

يمكن تحويل المعادلات أعلاه باستخدام متطابقات الانعكاس والإزاحة: ^{[ 13 ]}

تحويل المعادلات عن طريق الإزاحات والانعكاسات
دعوى: ${\underline {\;~~~~~~\;}}=$	$-\theta$	${\frac {\pi }{2}}\pm \theta$	$\pi \pm \theta$	${\frac {3\pi }{2}}\pm \theta$	$2k\pi \pm \theta ,$ $(k\in \mathbb {Z} )$
$\sin {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	$-\sin \theta$	${\phantom {-}}\cos \theta$	$\mp \sin \theta$	$-\cos \theta$	$\pm \sin \theta$
$\csc {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	$-\csc \theta$	${\phantom {-}}\sec \theta$	$\mp \csc \theta$	$-\sec \theta$	$\pm \csc \theta$
$\cos {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	${\phantom {-}}\cos \theta$	$\mp \sin \theta$	$-\cos \theta$	$\pm \sin \theta$	${\phantom {-}}\cos \theta$
$\sec {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	${\phantom {-}}\sec \theta$	$\mp \csc \theta$	$-\sec \theta$	$\pm \csc \theta$	${\phantom {-}}\sec \theta$
$\tan {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	$-\tan \theta$	$\mp \cot \theta$	$\pm \tan \theta$	$\mp \cot \theta$	$\pm \tan \theta$
$\cot {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	$-\cot \theta$	$\mp \tan \theta$	$\pm \cot \theta$	$\mp \tan \theta$	$\pm \cot \theta$

تشير هذه الصيغ، على وجه الخصوص، إلى صحة ما يلي:

${\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&=-\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}$

أين يتم التبادل $\sin \leftrightarrow \csc ,$ تبادل $\cos \leftrightarrow \sec ,$ وتبادل $\tan \leftrightarrow \cot$ يعطي المعادلات المماثلة لـ $\csc ,\sec ,{\text{ and }}\cot ,$ على التوالى.

فعلى سبيل المثال، باستخدام المساواة ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta ,}$ المعادلة $\cos \theta =x$ يمكن تحويلها إلى ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x,}$ مما يسمح بحل المعادلة $\;\sin \varphi =x\;$ (أين ${\textstyle \varphi$ ) ليتم استخدامها؛ وهذا الحل هو: $\varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\;{\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} ,$ والذي يصبح: ${\frac {\pi }{2}}-\theta ~=~(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z}$ حيث يتم استخدام حقيقة أن $(-1)^{k}=(-1)^{-k}$ واستبدال $h:=-k$ يثبت ذلك أن هناك حلاً آخر لـ $\;\cos \theta =x\;$ يكون: $\theta ~=~(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ for some }}h\in \mathbb {Z} .$ الاستبدال $\;\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x\;$ يمكن استخدام هذا للتعبير عن الطرف الأيمن من الصيغة أعلاه بدلالة $\;\arccos x\;$ بدلاً من $\;\arcsin x.\;$

العلاقات بين الدوال المثلثية والدوال المثلثية العكسية

تُدرج أدناه الدوال المثلثية والدوال المثلثية العكسية. ويمكن اشتقاقها من متطابقات فيثاغورس. وهناك طريقة أخرى تتمثل في النظر إلى هندسة المثلث القائم الزاوية، حيث طول أحد أضلاعه 1 وطول الضلع الآخر . $x,$ ثم بتطبيق نظرية فيثاغورس وتعريفات النسب المثلثية. تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة لدالة القاطع العكسي ودالة قاطع التمام العكسي، يفترض الرسم البياني أن $x$ تكون النتيجة موجبة، وبالتالي يجب تصحيحها من خلال استخدام القيم المطلقة وعملية الإشارة (sgn).

$\theta$	$\sin(\theta )$	$\cos(\theta )$	$\tan(\theta )$
$\arcsin(x)$	$\sin(\arcsin(x))=x$	$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos(x))=x$	$\tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan(x)$	$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan(x))=x$
$\operatorname {arccot}(x)$	$\sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	$\sin(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}$	$\cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec}(x))=\operatorname {sgn}(x){\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$\sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc}(x))={\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}$	$\tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

العلاقات بين الدوال المثلثية العكسية

الزوايا المتتامة:

{\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}

الحجج السلبية:

{\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}

الحجج المتبادلة:

{\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x<0\end{aligned}}

يمكن استخدام المتطابقات المذكورة أعلاه مع (والاشتقاق منها) حقيقة أن $\sin$ و $\csc$ هي متبادلة (أي $\csc ={\tfrac {1}{\sin }}$ )، كما هو الحال $\cos$ و $\sec ,$ و $\tan$ و $\cot .$

متطابقات مفيدة إذا كان لدى المرء جزء فقط من جدول الجيب:

{\begin{aligned}\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1{\text{ , from which you get }}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}

عندما يتم استخدام الجذر التربيعي لعدد مركب هنا، فإننا نختار الجذر الذي يحتوي على الجزء الحقيقي الموجب (أو الجزء التخيلي الموجب إذا كان المربع حقيقيًا سالبًا).

يُعدّ الشكل المفيد الذي يتبع مباشرة من الجدول أعلاه هو

\arctan(x)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0

.

يتم الحصول عليه من خلال إدراك أن $\cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)$ .

من صيغة نصف الزاوية ، $\tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}$ ، فنحصل على:

{\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}

صيغة جمع الظل العكسي

\arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.

هذا مشتق من صيغة جمع الظل

\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,

عن طريق السماح

\alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.

في حساب التفاضل والتكامل

مشتقات الدوال المثلثية العكسية

المشتقات للقيم المركبة لـ z هي كما يلي:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}

فقط للقيم الحقيقية لـ x :

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}

يمكن اشتقاق هذه الصيغ بدلالة مشتقات الدوال المثلثية. على سبيل المثال، إذا $x=\sin \theta$ ، ثم ${\textstyle dx/d\theta =\cos \theta ={\sqrt {1-x^{2}}},}$ لذا

{\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.

التعبير كتكاملات محددة

بإجراء التكامل للمشتقة وتثبيت القيمة عند نقطة واحدة، نحصل على تعبير للدالة المثلثية العكسية كتكامل محدد :

{\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}

عندما تكون قيمة x تساوي 1، فإن التكاملات ذات المجالات المحدودة هي تكاملات غير صحيحة ، ولكنها لا تزال محددة جيدًا.

سلسلة لا نهائية

على غرار دالتي الجيب وجيب التمام، يمكن أيضًا حساب الدوال المثلثية العكسية باستخدام متسلسلات القوى ، كما يلي. بالنسبة لدالة الجيب العكسي، يمكن اشتقاق المتسلسلة بتوسيع مشتقتها. ${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$ ، كمتسلسلة ذات حدين ، وتكامل كل حد على حدة (باستخدام تعريف التكامل كما سبق). وبالمثل، يمكن اشتقاق متسلسلة دالة الظل العكسي بتوسيع مشتقتها. ${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$ في سلسلة هندسية ، وتطبيق تعريف التكامل أعلاه (انظر سلسلة لايبنيز ).

${\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$ تُعرف متسلسلة تايلور لدالة الظل العكسي أيضًا باسم متسلسلة الظل العكسي أو متسلسلة غريغوري. $\arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i$

يمكن التعبير عن متسلسلات الدوال المثلثية العكسية الأخرى بدلالة هذه الدوال وفقًا للعلاقات المذكورة أعلاه. على سبيل المثال، $\arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)$ ، $\operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)$ وهكذا. وتُعطى سلسلة أخرى على النحو التالي: ^{[ 14 ]}

$2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.$

وجد ليونارد أويلر متسلسلة للدالة العكسية للظل تتقارب بشكل أسرع من متسلسلة تايلور الخاصة بها :

$\arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.$ ^{[ 15 ]} (الحد الموجود في المجموع لـn= 0 هوحاصل الضرب الفارغ، لذا فهو 1.)

أو يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي:

$\arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.$

تُعطى متسلسلة أخرى لدالة الظل العكسي بالصيغة التالية:

$\arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),$

أين $i={\sqrt {-1}}$ هي الوحدة التخيلية . ^{[ 16 ]}

الكسور المستمرة لدالة الظل العكسي

هناك بديلان لمتسلسلة القوى لدالة الظل العكسي وهما الكسور المستمرة المعممة التالية :

$\arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

يُعدّ الثاني من هذه الطرق صالحًا في المستوى المركب المقطوع. يوجد قطعان، أحدهما من -i إلى نقطة اللانهاية ، نزولًا على المحور التخيلي، والآخر من i إلى نقطة اللانهاية، صعودًا على المحور نفسه. وهو الأنسب للأعداد الحقيقية التي تتراوح من -1 إلى 1. المقامات الجزئية هي الأعداد الطبيعية الفردية، والبسط الجزئية (بعد الأول) هي ( nz ) ^² ، حيث يظهر كل مربع كامل مرة واحدة. طُوّر الأول بواسطة ليونارد أويلر ، والثاني بواسطة كارل فريدريش غاوس باستخدام متسلسلة غاوس الهندسية الفائقة .

التكاملات غير المحددة للدوال المثلثية العكسية

بالنسبة للقيم الحقيقية والمركبة لـ z :

{\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}

بالنسبة لـ x الحقيقي ≥ 1:

{\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}

لجميع قيم x الحقيقية التي لا تقع بين -1 و 1:

{\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}

تُعدّ القيمة المطلقة ضرورية للتعويض عن القيم السالبة والموجبة لدالتي القاطع العكسي وقاطع التمام العكسي. كما أن دالة الإشارة ضرورية أيضًا نظرًا للقيم المطلقة في مشتقات الدالتين ، والتي تُنتج حلين مختلفين للقيم الموجبة والسالبة لـ x. ويمكن تبسيط هذه المعادلات باستخدام التعريفات اللوغاريتمية للدوال الزائدية العكسية .

{\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}

القيمة المطلقة في وسيط دالة arcosh تُنشئ نصفًا سالبًا من الرسم البياني الخاص بها، مما يجعلها مطابقة لدالة الإشارة اللوغاريتمية الموضحة أعلاه.

يمكن اشتقاق جميع هذه الدوال الأصلية باستخدام التكامل بالتجزئة وأشكال المشتقات البسيطة الموضحة أعلاه.

مثال

استخدام $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (أي التكامل بالتجزئة )، مجموعة

{\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}

ثم

\int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,

والتي عن طريق الاستبدال البسيط $w=1-x^{2},\ dw=-2x\,dx$ ويؤدي ذلك إلى النتيجة النهائية:

\int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C

الامتداد إلى المستوى المركب

بما أن الدوال المثلثية العكسية هي دوال تحليلية ، فإنه يمكن تمديدها من خط الأعداد الحقيقية إلى المستوى المركب. ينتج عن ذلك دوال ذات صفائح متعددة ونقاط تفرع . إحدى الطرق الممكنة لتعريف هذا التمديد هي:

\arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i

حيث يُمثل الجزء من المحور التخيلي الذي لا يقع تمامًا بين نقطتي التفرع (−i و+i) نقطة التفرع الفاصلة بين الورقة الرئيسية والأوراق الأخرى. يجب ألا يتقاطع مسار التكامل مع نقطة تفرع فاصلة. بالنسبة لـ z التي لا تقع على نقطة تفرع فاصلة، فإن المسار المستقيم من 0 إلى z يُعد مسارًا من هذا النوع. أما بالنسبة لـ z التي تقع على نقطة تفرع فاصلة، فيجب أن يقترب المسار من Re[x] > 0 لنقطة التفرع الفاصلة العلوية، ومن Re[x] < 0 لنقطة التفرع الفاصلة السفلية.

يمكن تعريف دالة الجيب العكسي على النحو التالي:

\arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1

حيث (دالة الجذر التربيعي لها قطع على طول المحور الحقيقي السالب و) الجزء من المحور الحقيقي الذي لا يقع تمامًا بين -1 و+1 هو القطع الفرعي بين الورقة الرئيسية لـ arcsin والأوراق الأخرى؛

\arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1

والتي لها نفس القطع مثل دالة الجيب العكسي؛

\operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i,i

والذي له نفس القطع مثل دالة الظل العكسي؛

\operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1

حيث يكون جزء المحور الحقيقي بين -1 و+1 شاملاً هو القطع بين الورقة الرئيسية ذات الثواني القوسية والأوراق الأخرى؛

\operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1

والذي له نفس القطع مثل arcsec.

الأشكال اللوغاريتمية

يمكن التعبير عن هذه الدوال أيضًا باستخدام اللوغاريتمات المركبة ، مما يوسع نطاقها إلى المستوى المركب بطريقة طبيعية. وتظل المتطابقات التالية للقيم الرئيسية لهذه الدوال صحيحة في كل مكان تُعرَّف فيه، حتى على نقاط تفرعها.

{\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(z+i{\sqrt {1-z^{2}}}\right)=i\ln \left(z-i{\sqrt {1-z^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}\right)=i\ln \left({\frac {1}{z}}-i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}

تعميم

بما أن جميع الدوال المثلثية العكسية تُخرج زاوية مثلث قائم الزاوية، فإنه يمكن تعميمها باستخدام صيغة أويلر لتكوين مثلث قائم الزاوية في المستوى المركب. جبريًا، يُعطينا هذا:

ce^{i\theta }=c\cos(\theta )+ic\sin(\theta )

أو

ce^{i\theta }=a+ib

أين $a$ الجانب المجاور، $b$ وهو الجانب المقابل، و $c$ هو الوتر . ومن هنا يمكننا إيجاد قيمة $\theta$ .

{\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta }&=a+ib\\\ln c+i\theta &=\ln(a+ib)\\\theta &=\operatorname {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}

أو

\theta =-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)

إن أخذ الجزء التخيلي ببساطة يصلح لأي قيمة حقيقية $a$ و $b$ لكن إذا $a$ أو $b$ بما أن المتغير ذو قيمة مركبة، يجب استخدام المعادلة النهائية حتى لا يتم استبعاد الجزء الحقيقي من النتيجة. ولأن طول الوتر لا يغير الزاوية، فإن تجاهل الجزء الحقيقي من $\ln(a+bi)$ كما يزيل $c$ من المعادلة. في المعادلة النهائية، نرى أنه يمكن إيجاد زاوية المثلث في المستوى المركب بإدخال أطوال كل ضلع. وذلك بجعل أحد الأضلاع الثلاثة يساوي 1، وأحد الأضلاع المتبقية يساوي القيمة المدخلة. $z$ وبذلك نحصل على صيغة لإحدى الدوال المثلثية العكسية، ليصبح المجموع ست معادلات. ولأن الدوال المثلثية العكسية لا تتطلب سوى مُدخل واحد، يجب أن نضع الضلع الأخير من المثلث بدلالة الضلعين الآخرين باستخدام علاقة نظرية فيثاغورس.

a^{2}+b^{2}=c^{2}

يوضح الجدول أدناه قيم a و b و c لكل دالة من الدوال المثلثية العكسية والتعبيرات المكافئة لها. $\theta$ والتي تنتج عن إدخال القيم في المعادلات $\theta =-i\ln \left({\tfrac {a+ib}{c}}\right)$ أعلاه وتبسيطه.

{\begin{aligned}&a&&b&&c&&-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)&&\theta &&\theta _{a,b\in \mathbb {R} }\\\arcsin(z)\ \ &{\sqrt {1-z^{2}}}&&z&&1&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {1-z^{2}}}+iz}{1}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)\right)\\\arccos(z)\ \ &z&&{\sqrt {1-z^{2}}}&&1&&-i\ln \left({\frac {z+i{\sqrt {1-z^{2}}}}{1}}\right)&&=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)\right)\\\arctan(z)\ \ &1&&z&&{\sqrt {1+z^{2}}}&&-i\ln \left({\frac {1+iz}{\sqrt {1+z^{2}}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(1+iz\right)\right)\\\operatorname {arccot}(z)\ \ &z&&1&&{\sqrt {z^{2}+1}}&&-i\ln \left({\frac {z+i}{\sqrt {z^{2}+1}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+i\right)\right)\\\operatorname {arcsec}(z)\ \ &1&&{\sqrt {z^{2}-1}}&&z&&-i\ln \left({\frac {1+i{\sqrt {z^{2}-1}}}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)\right)\\\operatorname {arccsc}(z)\ \ &{\sqrt {z^{2}-1}}&&1&&z&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {z^{2}-1}}+i}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)\right)\\\end{aligned}}

قد يؤدي الشكل المحدد للتعبير المبسط إلى اختلاف الناتج عن الفرع الرئيسي المعتاد لكل دالة من الدوال المثلثية العكسية. وستنتج الصيغ المعطاة الفرع الرئيسي المعتاد عند استخدام $\operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in (-\pi ,\pi ]$ و $\operatorname {Re} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0$ الفرع الرئيسي لكل دالة باستثناء دالة الظل العكسي في $\theta$ العمود. ظل الزاوية العكسي في $\theta$ سيتم إخراج العمود على فرعه الرئيسي المعتاد باستخدام $\operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in [0,2\pi )$ و $\operatorname {Im} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0$ مؤتمر.

بهذا المعنى، يمكن اعتبار جميع الدوال المثلثية العكسية حالات خاصة من دالة اللوغاريتم ذات القيم المركبة. وبما أن هذه التعريفات تنطبق على أي دالة ذات قيم مركبة $z$ تسمح هذه التعريفات باستخدام الزوايا الزائدية كمخرجات، ويمكن استخدامها لتعريف الدوال الزائدية العكسية . من الممكن إثبات هذه العلاقات جبريًا بالبدء بالصيغ الأسية للدوال المثلثية وحل المعادلة لإيجاد الدالة العكسية.

برهان مثال

{\begin{aligned}\sin(\phi )&=z\\\phi &=\arcsin(z)\end{aligned}}

باستخدام التعريف الأسي للجيب، و $\xi =e^{i\phi },$

{\begin{aligned}z&={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}\\[10mu]2iz&=\xi -{\frac {1}{\xi }}\\[5mu]0&=\xi ^{2}-2iz\xi -1\\[5mu]\xi &=iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\[5mu]\phi &=-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)\end{aligned}}

(يتم اختيار الفرع الموجب)

\phi =\arcsin(z)=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)

رسوم بيانية لعجلة الألوان للدوال **المثلثية العكسية في المستوى المركب**

$\arcsin(z)$	$\arccos(z)$	$\arctan(z)$



$\operatorname {arccsc}(z)$	$\operatorname {arcsec}(z)$	$\operatorname {arccot}(z)$

التطبيقات

إيجاد زاوية المثلث القائم الزاوية

{\displaystyle A} — مثلث قائم الزاوية أضلاعه مرتبطة بزاوية عند $A$ نقطة.

تُعدّ الدوال المثلثية العكسية مفيدة عند محاولة تحديد الزاويتين المتبقيتين في مثلث قائم الزاوية عندما تكون أطوال أضلاع المثلث معلومة. وبالرجوع إلى تعريفات الجيب وجيب التمام في المثلث القائم الزاوية، يتبين أن

\theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right).

في كثير من الأحيان، يكون الوتر غير معروف ويحتاج إلى حسابه قبل استخدام دالة الجيب العكسي أو دالة جيب التمام العكسي باستخدام نظرية فيثاغورس : $a^{2}+b^{2}=h^{2}$ أين $h$ يمثل طول الوتر. وتُعدّ دالة الظل العكسي مفيدة في هذه الحالة، حيث لا يلزم معرفة طول الوتر.

\theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)\,.

على سبيل المثال، لنفترض أن سقفًا ينخفض بمقدار 8 أمتار عند امتداده لمسافة 20 مترًا. يصنع السقف زاوية θ مع الأفقي، حيث يمكن حساب θ على النحو التالي:

\theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)=\arctan \left({\frac {\text{rise}}{\text{run}}}\right)=\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21.8^{\circ }\,.

في علوم وهندسة الحاسوب

صيغة ذات وسيطين لدالة الظل العكسي

تحسب الدالة $atan2$ ذات الوسيطين زاوية الظل العكسي للزاوية $y / x$ بمعلومية $y$ و $x$ ، ولكن ضمن نطاق $(-π, π)$ . بعبارة أخرى، $atan2(y, x)$ هي الزاوية بين المحور $x$ الموجب لمستوى ما والنقطة $(x, y)$ عليه، حيث تكون الإشارة موجبة للزوايا عكس اتجاه عقارب الساعة ( النصف العلوي من المستوى ، $y > 0$ )، وسالبة للزوايا مع اتجاه عقارب الساعة (النصف السفلي من المستوى، $y < 0$ ). ظهرت هذه الدالة لأول مرة في العديد من لغات البرمجة، ولكنها شائعة الاستخدام الآن في مجالات أخرى من العلوم والهندسة.

من حيث دالة arctan القياسية ، أي ضمن نطاق $(-π/2، π/2)$ ، يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

$\operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\quad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\quad y\geq 0,\;x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\quad y<0,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0,\;x=0\end{cases}}$

كما أنها تساوي $القيمة$ الرئيسية لوسيط العدد المركب $x$ + $iy$ .

يمكن أيضًا تعريف هذه النسخة المحدودة من الدالة المذكورة أعلاه باستخدام صيغ نصف الزاوية المماسية كما يلي: $\operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)$ بشرط أن يكون إما $x > 0$ أو $y \neq 0.$ ومع ذلك، يفشل هذا إذا كان $x \leq 0$ و $y = 0$ ، لذا فإن التعبير غير مناسب للاستخدام الحسابي.

يبدو أن ترتيب الوسائط أعلاه ( $y$ ، $x$ ) هو الأكثر شيوعًا، ويستخدم على وجه الخصوص في معايير ISO مثل لغة البرمجة C ، ولكن قد يستخدم بعض المؤلفين الاصطلاح المعاكس ( $x$ ، $y$ ) لذلك يلزم توخي الحذر.

دالة الظل العكسي مع معامل الموقع

في العديد من التطبيقات ^{[ 17 ]} الحل $y$ من المعادلة $x=\tan(y)$ الهدف هو الاقتراب قدر الإمكان من قيمة معينة $-\infty <\eta <\infty$ يتم الحصول على الحل المناسب بواسطة دالة الظل العكسي المعدلة بالمعاملات

y=\arctan _{\eta }(x):=\arctan(x)+\pi \,\operatorname {rni} \left({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi }}\right)\,.

الوظيفة $\operatorname {rni}$ يتم تقريبها إلى أقرب عدد صحيح.

الدقة العددية

بالنسبة للزوايا القريبة من 0 و $π$ ، تكون دالة arccosine غير مستقرة ، وكذلك دالة arcsine للزوايا القريبة من −π /2 و $π /2. لذا$ $،$ يجب على تطبيقات الحاسوب مراعاة استقرار المدخلات لهذه الدوال وحساسية حساباتها، أو استخدام طرق بديلة. ^[¹⁸^]

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ التعبير "الجانب الأيسر" $\,\iff \,$ يشير مصطلح "الجانب الأيمن" إلى أن (أ) كلا الجانبين الأيسر (أي LHS) والأيمن (أي RHS) صحيحان ، أو (ب) كلا الجانبين الأيسر والأيمن خاطئان؛ ولا يوجد خيار (ج) (على سبيل المثال، لا يمكن أن تكون عبارة LHS صحيحة وفي الوقت نفسه تكون عبارة RHS خاطئة)، لأنه بخلاف ذلك "LHS $\,\iff \,$ لم يكن ليُكتب "RHS". للتوضيح، لنفترض أنه كُتب "LHS". $\,\iff \,$ RHS" حيث LHS (اختصار للجانب الأيسر ) وRHS كلاهما عبارات يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة بشكل فردي. على سبيل المثال، إذا $\theta$ و $s$ هناك بعض الأرقام المعطاة والثابتة، وإذا كُتب ما يلي: $\tan \theta =s\,\iff \,\theta =\arctan(s)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z}$ ثم يكون الجانب الأيسر هو العبارة " $\tan \theta =s$ ". اعتمادًا على القيم المحددة $\theta$ و $s$ إذا كان لدينا، فإن عبارة الطرف الأيسر هذه يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة. على سبيل المثال، يكون الطرف الأيسر صحيحًا إذا $\theta =0$ و $s=0$ (لأن في هذه الحالة $\tan \theta =\tan 0=s$ لكن الطرف الأيسر خاطئ إذا $\theta =0$ و $s=2$ (لأن في هذه الحالة $\tan \theta =\tan 0=s$ وهو ما لا يساوي $s=2$ )؛ وبشكل عام، يكون الطرف الأيسر خاطئًا إذا $\theta =0$ و $s\neq 0.$ وبالمثل، فإن RHS هو البيان " $\theta =\arctan(s)+\pi k$ بالنسبة للبعض $k\in \mathbb {Z}$ يمكن أن تكون عبارة الطرف الأيمن صحيحة أو خاطئة (كما في السابق، تعتمد صحة أو خطأ عبارة الطرف الأيمن على القيم المحددة). $\theta$ و $s$ (يوجد). رمز المساواة المنطقية $\,\iff \,$ يعني هذا أنه (أ) إذا كانت العبارة في الطرف الأيسر صحيحة، فإن العبارة في الطرف الأيمن صحيحة بالضرورة ، وعلاوة على ذلك (ب) إذا كانت العبارة في الطرف الأيسر خاطئة، فإن العبارة في الطرف الأيمن خاطئة بالضرورة . وبالمثل، $\,\iff \,$ ويعني ذلك أيضاً أن (ج) إذا كانت عبارة الجانب الأيمن صحيحة فإن عبارة الجانب الأيسر صحيحة بالضرورة أيضاً ، وعلاوة على ذلك (د) إذا كانت عبارة الجانب الأيمن خاطئة فإن عبارة الجانب الأيسر خاطئة بالضرورة أيضاً .

مراجع

أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين أ. ، محرران. (1972). دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . نيويورك: منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-61272-0.

١ ٢ ٣ ٤ هول، آرثر غراهام؛ فرينك، فريد غودريتش (يناير ١٩٠٩). "الفصل الثاني. الزاوية الحادة [ ١٤ ] الدوال المثلثية العكسية" . كُتب في آن أربور، ميشيغان، الولايات المتحدة الأمريكية. علم المثلثات . المجلد. الجزء الأول: علم المثلثات المستوي. نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: هنري هولت وشركاه / مطبعة نوروود / شركة جيه إس كوشينغ - شركة بيرويك وسميث، نوروود، ماساتشوستس، الولايات المتحدة الأمريكية. ص ١٥. تم الاسترجاع في ٢٠١٧-٠٨-١٢ . [...] α = arcsin m : غالبًا ما تُقرأ " arc-sine m " أو " anti-sine m "، حيث يُقال إن دالتين عكسيتين هما دالة مضادة للأخرى. [...] علاقة رمزية مماثلة تنطبق على الدوال المثلثية الأخرى . [...] يُستخدم هذا الترميز عالميًا في أوروبا ويكتسب شعبية سريعة في هذا البلد. لا يزال الرمز الأقل تفضيلاً، α = sin⁻¹ ^m، موجوداً في النصوص الإنجليزية والأمريكية. ولعلّ الرمز α = inv sin m أفضل من ذلك نظراً لتعدد استخداماته. […]
^ كلاين، فيليكس (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: الحساب، الجبر، التحليل (باللغة الألمانية). المجلد. 1 ( الطبعة الثالثة). برلين: ج. سبرينغر. تُرجم إلى الإنجليزية بعنوان: الرياضيات الابتدائية من منظور متقدم: الحساب، الجبر، التحليل . ترجمة: هيدريك، إي آر؛ نوبل، سي إيه. ماكميلان. ١٩٣٢. رقم ISBN 978-0-486-43480-3.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
↑ هازوينكل، ميشيل (1994) [1987]. موسوعة الرياضيات (طبعة كاملة معاد طباعتها). دار نشر كلوير الأكاديمية / سبرينغر للعلوم والأعمال . رقم ISBN 978-155608010-4.
برونشتاين، آي إن؛ سيميندييف، كيه إيه؛ موسيول، جيرهارد؛ موهليغ، هاينر. "الدوال المثلثية الدائرية أو العكسية". دليل الرياضيات (الطبعة السادسة ). برلين: سبرينغر. § 2.8 ، ص 85-89. doi : 10.1007/978-3-663-46221-8 (غير نشط في 1 يوليو 2025).{{cite book}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )
ومع ذلك، يمكن أن يشير مصطلح "دالة أركوس" أيضًا إلى الدالة التي تعطي وسيطًا لعدد مركب، والتي تسمى أحيانًا أركوس .
↑ وايسشتاين، إريك و. "الدوال المثلثية العكسية" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2020 .
↑ بيتش، فريدريك كونفرس؛ راينز، جورج إدوين، محرران. (1912). "الدوال المثلثية العكسية". أمريكانا: مكتبة مرجعية شاملة . المجلد 21.
↑ كوك، جون د. (11 فبراير 2021). "الدوال المثلثية عبر لغات البرمجة" . johndcook.com (مدونة) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 مارس 2021 .
↑ كاجوري، فلوريان (1919). تاريخ الرياضيات ( الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: شركة ماكميلان . ص 272 .
↑ هيرشل، جون فريدريك ويليام (1813). "حول تطبيق ملحوظ لنظرية كوتس" . المعاملات الفلسفية . 103 (1). الجمعية الملكية، لندن: 8. doi : 10.1098/rstl.1813.0005 .
↑ "الدوال المثلثية العكسية" . ويكيبيديا. موقع Brilliant Math & Science (brilliant.org) . تاريخ الاسترجاع: 29 أغسطس 2020 .
↑ كورن، غراندينو آرثر؛ كورن، تيريزا م. (2000) [1961]. "21.2-4. الدوال المثلثية العكسية". دليل رياضي للعلماء والمهندسين: تعريفات ونظريات وصيغ للرجوع إليها ومراجعتها (الطبعة الثالثة ). مينولا ، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: منشورات دوفر، ص 811. ISBN 978-0-486-41147-7.
↑ بهاتي، ثناء الله؛ نواب الدين؛ أحمد، بشير؛ يوسف، إس إم؛ طهيم، الله بخش (1999). "تفاضل الدوال المثلثية واللوغاريتمية والأسية". في إلهي، محمد مقبول؛ دار، كرامات حسين؛ حسين، فهيم (محررون). حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية ( الطبعة الأولى). لاهور : مجلس كتب البنجاب. ص 140.
↑ على سبيل المثال:
ستيوارت، جيمس؛ كليج، دانيال؛ واتسون، سليم (2021). "الدوال العكسية واللوغاريتمات". حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة ( الطبعة التاسعة). سينجج ليرنينج. § 1.5، ص 64. ISBN 978-1-337-61392-7.
↑ أبراموفيتز وستيجون 1972 ، ص 73، 4.3.44
↑ بورواين، جوناثان؛ بيلي ، ديفيد؛ جينجرسون، رولاند (2004). التجريب في الرياضيات: مسارات حسابية للاكتشاف ( الطبعة الأولى). ويليسلي، ماساتشوستس، الولايات المتحدة الأمريكية: إيه كيه بيترز . ص 51. ISBN 978-1-56881-136-9.
↑ هوانغ تشين-ليه (2005)، "اشتقاق أولي لمتسلسلة أويلر لدالة الظل العكسي"، المجلة الرياضية ، 89 (516): 469-470 ، doi : 10.1017/S0025557200178404 ، S2CID 123395287
↑ إس إم أبراروف وبي إم كوين (2018)، "صيغة لحساب باي تتضمن جذورًا متداخلة"، مجلة رامانوجان ، 46 (3): 657-665 ، arXiv : 1610.07713 ، doi : 10.1007/s11139-018-9996-8 ، S2CID 119150623
↑ عند عبور زاوية متغيرة مع الزمن $\pm \pi /2$ ينبغي تمثيلها بخط سلس بدلاً من خط متعرج (الروبوتات، علم الفلك، الحركة الزاوية بشكل عام)
↑ غاد، كينيث (2010). "تمثيل غير منفرد للموقع الأفقي" (ملف PDF) . مجلة الملاحة . 63 (3). مطبعة جامعة كامبريدج : 395-417 . Bibcode : 2010JNav...63..395G . doi : 10.1017/S0373463309990415 .

روابط خارجية

وايسستين، إريك دبليو. “الظل العكسي” . عالم الرياضيات .

[13] التعبير "الجانب الأيسر" $\,\iff \,$ يشير مصطلح "الجانب الأيمن" إلى أن (أ) كلا الجانبين الأيسر (أي LHS) والأيمن (أي RHS) صحيحان ، أو (ب) كلا الجانبين الأيسر والأيمن خاطئان؛ ولا يوجد خيار (ج) (على سبيل المثال، لا يمكن أن تكون عبارة LHS صحيحة وفي الوقت نفسه تكون عبارة RHS خاطئة)، لأنه بخلاف ذلك "LHS $\,\iff \,$ لم يكن ليُكتب "RHS". للتوضيح، لنفترض أنه كُتب "LHS". $\,\iff \,$ RHS" حيث LHS (اختصار للجانب الأيسر ) وRHS كلاهما عبارات يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة بشكل فردي. على سبيل المثال، إذا $\theta$ و $s$ هناك بعض الأرقام المعطاة والثابتة، وإذا كُتب ما يلي: $\tan \theta =s\,\iff \,\theta =\arctan(s)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z}$ ثم يكون الجانب الأيسر هو العبارة " $\tan \theta =s$ ". اعتمادًا على القيم المحددة $\theta$ و $s$ إذا كان لدينا، فإن عبارة الطرف الأيسر هذه يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة. على سبيل المثال، يكون الطرف الأيسر صحيحًا إذا $\theta =0$ و $s=0$ (لأن في هذه الحالة $\tan \theta =\tan 0=s$ لكن الطرف الأيسر خاطئ إذا $\theta =0$ و $s=2$ (لأن في هذه الحالة $\tan \theta =\tan 0=s$ وهو ما لا يساوي $s=2$ )؛ وبشكل عام، يكون الطرف الأيسر خاطئًا إذا $\theta =0$ و $s\neq 0.$ وبالمثل، فإن RHS هو البيان " $\theta =\arctan(s)+\pi k$ بالنسبة للبعض $k\in \mathbb {Z}$ يمكن أن تكون عبارة الطرف الأيمن صحيحة أو خاطئة (كما في السابق، تعتمد صحة أو خطأ عبارة الطرف الأيمن على القيم المحددة). $\theta$ و $s$ (يوجد). رمز المساواة المنطقية $\,\iff \,$ يعني هذا أنه (أ) إذا كانت العبارة في الطرف الأيسر صحيحة، فإن العبارة في الطرف الأيمن صحيحة بالضرورة ، وعلاوة على ذلك (ب) إذا كانت العبارة في الطرف الأيسر خاطئة، فإن العبارة في الطرف الأيمن خاطئة بالضرورة . وبالمثل، $\,\iff \,$ ويعني ذلك أيضاً أن (ج) إذا كانت عبارة الجانب الأيمن صحيحة فإن عبارة الجانب الأيسر صحيحة بالضرورة أيضاً ، وعلاوة على ذلك (د) إذا كانت عبارة الجانب الأيمن خاطئة فإن عبارة الجانب الأيسر خاطئة بالضرورة أيضاً .

[Hall_1909-1] ١ ٢ ٣ ٤ هول، آرثر غراهام؛ فرينك، فريد غودريتش (يناير ١٩٠٩). "الفصل الثاني. الزاوية الحادة [ ١٤ ] الدوال المثلثية العكسية" . كُتب في آن أربور، ميشيغان، الولايات المتحدة الأمريكية. علم المثلثات . المجلد. الجزء الأول: علم المثلثات المستوي. نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: هنري هولت وشركاه / مطبعة نوروود / شركة جيه إس كوشينغ - شركة بيرويك وسميث، نوروود، ماساتشوستس، الولايات المتحدة الأمريكية. ص ١٥. تم الاسترجاع في ٢٠١٧-٠٨-١٢ . [...] α = arcsin m : غالبًا ما تُقرأ " arc-sine m " أو " anti-sine m "، حيث يُقال إن دالتين عكسيتين هما دالة مضادة للأخرى. [...] علاقة رمزية مماثلة تنطبق على الدوال المثلثية الأخرى . [...] يُستخدم هذا الترميز عالميًا في أوروبا ويكتسب شعبية سريعة في هذا البلد. لا يزال الرمز الأقل تفضيلاً، α = sin⁻¹ ^m، موجوداً في النصوص الإنجليزية والأمريكية. ولعلّ الرمز α = inv sin m أفضل من ذلك نظراً لتعدد استخداماته. […]

[cyclometric-2] كلاين، فيليكس (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: الحساب، الجبر، التحليل (باللغة الألمانية). المجلد. 1 ( الطبعة الثالثة). برلين: ج. سبرينغر. تُرجم إلى الإنجليزية بعنوان: الرياضيات الابتدائية من منظور متقدم: الحساب، الجبر، التحليل . ترجمة: هيدريك، إي آر؛ نوبل، سي إيه. ماكميلان. ١٩٣٢. رقم ISBN 978-0-486-43480-3.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[arcus-3] هازوينكل، ميشيل (1994) [1987]. موسوعة الرياضيات (طبعة كاملة معاد طباعتها). دار نشر كلوير الأكاديمية / سبرينغر للعلوم والأعمال . رقم ISBN 978-155608010-4.
برونشتاين، آي إن؛ سيميندييف، كيه إيه؛ موسيول، جيرهارد؛ موهليغ، هاينر. "الدوال المثلثية الدائرية أو العكسية". دليل الرياضيات (الطبعة السادسة ). برلين: سبرينغر. § 2.8 ، ص 85-89. doi : 10.1007/978-3-663-46221-8 (غير نشط في 1 يوليو 2025).{{cite book}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )
ومع ذلك، يمكن أن يشير مصطلح "دالة أركوس" أيضًا إلى الدالة التي تعطي وسيطًا لعدد مركب، والتي تسمى أحيانًا أركوس .

[4] وايسشتاين، إريك و. "الدوال المثلثية العكسية" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2020 .

[Americana_1912-5] بيتش، فريدريك كونفرس؛ راينز، جورج إدوين، محرران. (1912). "الدوال المثلثية العكسية". أمريكانا: مكتبة مرجعية شاملة . المجلد 21.

[6] كوك، جون د. (11 فبراير 2021). "الدوال المثلثية عبر لغات البرمجة" . johndcook.com (مدونة) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 مارس 2021 .

[Cajori-7] كاجوري، فلوريان (1919). تاريخ الرياضيات ( الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: شركة ماكميلان . ص 272 .

[Herschel_1813-8] هيرشل، جون فريدريك ويليام (1813). "حول تطبيق ملحوظ لنظرية كوتس" . المعاملات الفلسفية . 103 (1). الجمعية الملكية، لندن: 8. doi : 10.1098/rstl.1813.0005 .

[9] "الدوال المثلثية العكسية" . ويكيبيديا. موقع Brilliant Math & Science (brilliant.org) . تاريخ الاسترجاع: 29 أغسطس 2020 .

[Korn_2000-10] كورن، غراندينو آرثر؛ كورن، تيريزا م. (2000) [1961]. "21.2-4. الدوال المثلثية العكسية". دليل رياضي للعلماء والمهندسين: تعريفات ونظريات وصيغ للرجوع إليها ومراجعتها (الطبعة الثالثة ). مينولا ، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: منشورات دوفر، ص 811. ISBN 978-0-486-41147-7.

[Bhatti_1999-11] بهاتي، ثناء الله؛ نواب الدين؛ أحمد، بشير؛ يوسف، إس إم؛ طهيم، الله بخش (1999). "تفاضل الدوال المثلثية واللوغاريتمية والأسية". في إلهي، محمد مقبول؛ دار، كرامات حسين؛ حسين، فهيم (محررون). حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية ( الطبعة الأولى). لاهور : مجلس كتب البنجاب. ص 140.

[12] على سبيل المثال:
ستيوارت، جيمس؛ كليج، دانيال؛ واتسون، سليم (2021). "الدوال العكسية واللوغاريتمات". حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة ( الطبعة التاسعة). سينجج ليرنينج. § 1.5، ص 64. ISBN 978-1-337-61392-7.

[14] أبراموفيتز وستيجون 1972 ، ص 73، 4.3.44

[Borwein_2004-15] بورواين، جوناثان؛ بيلي ، ديفيد؛ جينجرسون، رولاند (2004). التجريب في الرياضيات: مسارات حسابية للاكتشاف ( الطبعة الأولى). ويليسلي، ماساتشوستس، الولايات المتحدة الأمريكية: إيه كيه بيترز . ص 51. ISBN 978-1-56881-136-9.

[16] هوانغ تشين-ليه (2005)، "اشتقاق أولي لمتسلسلة أويلر لدالة الظل العكسي"، المجلة الرياضية ، 89 (516): 469-470 ، doi : 10.1017/S0025557200178404 ، S2CID 123395287

[17] إس إم أبراروف وبي إم كوين (2018)، "صيغة لحساب باي تتضمن جذورًا متداخلة"، مجلة رامانوجان ، 46 (3): 657-665 ، arXiv : 1610.07713 ، doi : 10.1007/s11139-018-9996-8 ، S2CID 119150623

[18] عند عبور زاوية متغيرة مع الزمن $\pm \pi /2$ ينبغي تمثيلها بخط سلس بدلاً من خط متعرج (الروبوتات، علم الفلك، الحركة الزاوية بشكل عام)

[Gade_2010-19] غاد، كينيث (2010). "تمثيل غير منفرد للموقع الأفقي" (ملف PDF) . مجلة الملاحة . 63 (3). مطبعة جامعة كامبريدج : 395-417 . Bibcode : 2010JNav...63..395G . doi : 10.1017/S0373463309990415 .

[ 1 ]

[ 2 ]

، [ 3 ]

[ 4 ]

[

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

12

[ ملاحظة 1 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗