تفاضل الدوال المثلثية

وظيفة	المشتق
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec ^{2}(x)$
$\cot(x)$	$-\csc ^{2}(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\arcsin(x)$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arctan(x)$	${\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatorname {arccot}(x)$	$-{\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

اشتقاق الدوال المثلثية هو العملية الرياضية لإيجاد مشتقة الدالة المثلثية ، أو معدل تغيرها بالنسبة لمتغير ما. على سبيل المثال، تُكتب مشتقة دالة الجيب على النحو التالي: sin ′ ( a ) = cos( a )، أي أن معدل تغير sin( x ) عند زاوية معينة x = a يُعطى بجيب تمام تلك الزاوية.

يمكن إيجاد جميع مشتقات الدوال المثلثية الدائرية من مشتقات sin( x ) و cos( x ) باستخدام قاعدة القسمة المطبقة على دوال مثل tan( x ) = sin( x )/cos( x ). وبمعرفة هذه المشتقات، يمكن إيجاد مشتقات الدوال المثلثية العكسية باستخدام التفاضل الضمني .

براهين مشتقات الدوال المثلثية

حد الخطيئة(θ)/θ حيث أن θ تميل إلى 0

يُظهر الرسم البياني على اليمين دائرة مركزها O ونصف قطرها r = 1. لنفترض أن نصفَي القطر OA و OB يُشكلان قوسًا طوله θ راديان. بما أننا ندرس النهاية عندما تقترب θ من الصفر، فيمكننا افتراض أن θ عدد موجب صغير، ولنقل 0 < θ < ½ π في الربع الأول.

في الرسم التخطيطي، ليكن R ₁ هو المثلث OAB ، وR ₂ هو القطاع الدائري OAB ، و R ₃ هو المثلث OAC .

مساحة المثلث OAB هي:

$\mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.$

تبلغ مساحة القطاع الدائري OAB ما يلي:

$\mathrm {Area} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta \,.$

مساحة المثلث OAC تُعطى بالصيغة التالية:

$\mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.$

بما أن كل منطقة تقع داخل المنطقة التي تليها، فإن أحدها يمتلك:

${\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\implies {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.$

علاوة على ذلك، بما أن sin θ > 0 في الربع الأول، يمكننا القسمة على 1 / 2 sin θ ، مما يعطي: $1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.$

في الخطوة الأخيرة، أخذنا مقلوب الحدود الموجبة الثلاثة، مما عكس أوجه عدم المساواة.

نستنتج أنه بالنسبة لـ θ < 0 < 1/2 π ، فإن قيمة sin ( θ )/ θ تكون دائمًا أقل من 1 وأكبر من cos(θ). وبالتالي، عندما تقترب θ من 0، فإن sin( θ )/ θ تكون محصورة بين حد أقصى عند ارتفاع 1 وحد أدنى عند ارتفاع cos θ ، والذي يرتفع باتجاه 1؛ ومن ثم، يجب أن تقترب قيمة sin( θ )/ θ من 1 عندما تقترب θ من 0 من الجانب الموجب.

$\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.$ ^{[ 1 ]}

في حالة كون θ عددًا سالبًا صغيرًا – 1/2 π < θ < 0 ، فإننا نستخدم حقيقة أن دالة الجيب دالة فردية :

$\lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.$

حد (cos(θ)-1)/θ عندما تميل θ إلى 0

يُمكّننا القسم الأخير من حساب هذه النهاية الجديدة بسهولة نسبية، وذلك باستخدام حيلة بسيطة. في هذه العملية الحسابية، لا تُعدّ إشارة θ مهمة.

\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.

باستخدام cos ²θ – 1 = –sin ²θ ، وحقيقة أن نهاية حاصل الضرب هي حاصل ضرب النهايات، ونتيجة النهاية من القسم السابق، نجد أن:

\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.

حد tan(θ)/θ حيث أن θ تميل إلى 0

باستخدام نهاية دالة الجيب ، وحقيقة أن دالة الظل فردية، وحقيقة أن نهاية حاصل الضرب هي حاصل ضرب النهايات، نجد:

\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.

مشتقة دالة الجيب

نحسب مشتقة دالة الجيب من تعريف النهاية :

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.

باستخدام صيغة جمع الزوايا sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α ، لدينا:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).

باستخدام حدود دالتي الجيب وجيب التمام :

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.

مشتق دالة جيب التمام

من تعريف المشتقة

نحسب مرة أخرى مشتقة دالة جيب التمام من تعريف النهاية:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.

باستخدام صيغة جمع الزوايا cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β ، لدينا:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).

باستخدام حدود دالتي الجيب وجيب التمام :

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.

من قاعدة السلسلة

لحساب مشتقة دالة جيب التمام باستخدام قاعدة السلسلة، لاحظ أولاً الحقائق الثلاث التالية:

\cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)

\sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)

{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta

الأولى والثانية متطابقتان مثلثيتان ، والثالثة مثبتة أعلاه. باستخدام هذه الحقائق الثلاث، يمكننا كتابة ما يلي:

{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)

يمكننا اشتقاق ذلك باستخدام قاعدة السلسلة . لنفرض $f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta$ لدينا:

{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta

.

لذلك، فقد أثبتنا أن

{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta

.

مشتقة دالة الظل

من تعريف المشتقة

لحساب مشتقة دالة الظل tan θ ، نستخدم المبادئ الأساسية . بحسب التعريف:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).

باستخدام صيغة الزاوية المعروفة tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) ، نحصل على:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].

باستخدام حقيقة أن نهاية أي منتج هي حاصل ضرب النهايات:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).

باستخدام النهاية لدالة الظل ، وحقيقة أن tan δ تؤول إلى 0 عندما تؤول δ إلى 0:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .

نرى على الفور ما يلي:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.

من قاعدة القسمة

يمكن أيضًا حساب مشتقة دالة الظل باستخدام قاعدة القسمة .

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}

يمكن تبسيط البسط إلى 1 باستخدام متطابقة فيثاغورس ، مما يعطينا،

{\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta

لذلك،

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta

براهين مشتقات الدوال المثلثية العكسية

يمكن إيجاد المشتقات التالية بجعل المتغير y مساويًا للدالة المثلثية العكسية التي نريد اشتقاقها. باستخدام الاشتقاق الضمني ثم حل المعادلة لإيجاد dy / dx ، نحصل على مشتقة الدالة العكسية بدلالة y . لتحويل dy / dx مرة أخرى إلى صيغتها بدلالة x ، نرسم مثلثًا مرجعيًا على دائرة الوحدة ، حيث θ هي y. باستخدام نظرية فيثاغورس وتعريف الدوال المثلثية المنتظمة، يمكننا أخيرًا التعبير عن dy / dx بدلالة x .

اشتقاق دالة الجيب العكسية

لقد سمحنا

y=\arcsin x\,\!

أين

-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}

ثم

\sin y=x\,\!

بأخذ المشتقة بالنسبة إلى $x$ على كلا الجانبين وحل المعادلة لإيجاد قيمة dy/dx:

{d \over dx}\sin y={d \over dx}x

\cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!

الاستبدال $\cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}$ من الأعلى،

{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1

الاستبدال $x=\sin y$ من الأعلى،

{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1

{dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}

اشتقاق دالة جيب التمام العكسية

لقد سمحنا

y=\arccos x\,\!

أين

0\leq y\leq \pi

ثم

\cos y=x\,\!

بأخذ المشتقة بالنسبة إلى $x$ على كلا الجانبين وحل المعادلة لإيجاد قيمة dy/dx:

{d \over dx}\cos y={d \over dx}x

-\sin y\cdot {dy \over dx}=1

الاستبدال $\sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!$ من الأعلى، نحصل على

-{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1

الاستبدال $x=\cos y\,\!$ من الأعلى، نحصل على

-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1

{dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}

أو بدلاً من ذلك، بمجرد اشتقاق $\arcsin x$ إذا تم تحديد ذلك، فإن مشتق $\arccos x$ ويتبع ذلك مباشرة تمييز الهوية $\arcsin x+\arccos x=\pi /2$ لهذا السبب. $(\arccos x)'=-(\arcsin x)'$ .

اشتقاق دالة الظل العكسي

لقد سمحنا

y=\arctan x\,\!

أين

-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}

ثم

\tan y=x\,\!

بأخذ المشتقة بالنسبة إلى $x$ على كلا الجانبين وحل المعادلة لإيجاد قيمة dy/dx:

{d \over dx}\tan y={d \over dx}x

الجانب الأيسر:

{d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}

باستخدام متطابقة فيثاغورس

الجانب الأيمن:

{d \over dx}x=1

لذلك،

(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1

الاستبدال $x=\tan y\,\!$ من الأعلى، نحصل على

(1+x^{2}){dy \over dx}=1

{dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}

اشتقاق دالة الظل التمام العكسية

لقد سمحنا

y=\operatorname {arccot} x

أين $0<y<\pi$ . ثم

\cot y=x

بأخذ المشتقة بالنسبة إلى $x$ على كلا الجانبين وحل المعادلة لإيجاد قيمة dy/dx:

{\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x

الجانب الأيسر:

{d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}

باستخدام متطابقة فيثاغورس

الجانب الأيمن:

{d \over dx}x=1

لذلك،

-(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1

الاستبدال $x=\cot y$ ،

-(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}

أو بدلاً من ذلك، كمشتق من $\arctan x$ يتم اشتقاقها كما هو موضح أعلاه، ثم باستخدام الهوية $\arctan x+\operatorname {arccot} x={\dfrac {\pi }{2}}$ ويترتب على ذلك مباشرة أن ${\begin{aligned}{\dfrac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&={\dfrac {d}{dx}}\left({\dfrac {\pi }{2}}-\arctan x\right)\\&=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}$

اشتقاق دالة القاطع العكسية

باستخدام التفاضل الضمني

يترك

y=\operatorname {arcsec} x\ \mid |x|\geq 1

ثم

x=\sec y\mid \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]

{\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}

(القيمة المطلقة في التعبير ضرورية لأن حاصل ضرب القاطع والظل في الفترة y يكون دائمًا غير سالب، بينما الجذر ${\sqrt {x^{2}-1}}$ يكون دائمًا غير سالب بحكم تعريف الجذر التربيعي الرئيسي، لذا يجب أن يكون العامل المتبقي أيضًا غير سالب، وهو ما يتحقق باستخدام القيمة المطلقة لـ x.

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}

باستخدام قاعدة السلسلة

بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق مشتق دالة القاطع العكسي من مشتق دالة جيب التمام العكسي باستخدام قاعدة السلسلة .

يترك

y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)

أين

|x|\geq 1

و

y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]

ثم، بتطبيق قاعدة السلسلة على $\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$ :

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}

اشتقاق دالة القاطع التمام العكسية

باستخدام التفاضل الضمني

يترك

y=\operatorname {arccsc} x\ \mid |x|\geq 1

ثم

x=\csc y\ \mid \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]

{\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}

(القيمة المطلقة في التعبير ضرورية لأن حاصل ضرب قاطع التمام وظل التمام في الفترة y يكون دائمًا غير سالب، بينما الجذر ${\sqrt {x^{2}-1}}$ يكون دائمًا غير سالب بحكم تعريف الجذر التربيعي الرئيسي، لذا يجب أن يكون العامل المتبقي أيضًا غير سالب، وهو ما يتحقق باستخدام القيمة المطلقة لـ x.

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}

باستخدام قاعدة السلسلة

بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق مشتق دالة arccosecant من مشتق دالة arcsine باستخدام قاعدة السلسلة .

يترك

y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)

أين

|x|\geq 1

و

y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]

ثم، بتطبيق قاعدة السلسلة على $\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$ :

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}

انظر أيضاً

حساب التفاضل والتكامل – فرع من فروع الرياضيات
المشتقة – معدل التغير اللحظي (الرياضيات)
قواعد التفاضل - قواعد حساب مشتقات الدوال
قاعدة لايبنتز العامة – تعميم لقاعدة الضرب في حساب التفاضل والتكامل
الدوال العكسية والتفاضل – صيغة مشتقة الدالة العكسية. صفحات تعرض وصفًا موجزًا لأهداف إعادة التوجيه.
خطية التفاضل - خاصية حساب التفاضل والتكامل
قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية
قائمة المتطابقات المثلثية
علم المثلثات – فرع من فروع الهندسة، يهتم بالزوايا والأطوال

مراجع

↑ دوكينز، بول. "حساب التفاضل والتكامل 1 - مشتقات الدوال المثلثية" . ملاحظات بول على الإنترنت . تم الاسترجاع في 2025-11-05 .

فهرس

كتيب الدوال الرياضية ، حرره أبراموفيتز وستيجون، المكتب الوطني للمعايير، سلسلة الرياضيات التطبيقية، 55 (1964)

[1] دوكينز، بول. "حساب التفاضل والتكامل 1 - مشتقات الدوال المثلثية" . ملاحظات بول على الإنترنت . تم الاسترجاع في 2025-11-05 .

[ 1 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	26 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗