العشوائية الإحصائية

الموسوعة الحرة

يُقال إن التسلسل العددي عشوائي إحصائياً عندما لا يحتوي على أنماط أو انتظام يمكن التعرف عليه؛ فالتسلسلات مثل نتائج رمية نرد مثالية أو أرقام العدد π تُظهر عشوائية إحصائية. [ 1 ]

لا تعني العشوائية الإحصائية بالضرورة العشوائية "الحقيقية" ، أي عدم القدرة على التنبؤ الموضوعي . فالعشوائية الزائفة كافية للعديد من الاستخدامات، مثل الإحصاء، ومن هنا جاء اسم العشوائية الإحصائية .

يختلف مفهوم العشوائية الكلية عن مفهوم العشوائية المحلية . فمعظم التصورات الفلسفية للعشوائية كلية ، لأنها تقوم على فكرة أن التسلسل يبدو عشوائيًا تمامًا على المدى البعيد، حتى وإن لم تكن بعض التسلسلات الفرعية عشوائية. فعلى سبيل المثال، في تسلسل عشوائي حقيقي من الأرقام بطول كافٍ، من المحتمل وجود تسلسلات طويلة لا تحتوي إلا على أرقام متكررة، مع أن التسلسل ككل قد يكون عشوائيًا. أما العشوائية المحلية فتشير إلى إمكانية وجود أطوال دنيا للتسلسلات التي تُقارب فيها التوزيعات العشوائية. فالامتدادات الطويلة من الأرقام نفسها، حتى تلك الناتجة عن عمليات عشوائية حقيقية، تُقلل من العشوائية المحلية للعينة (فقد تكون عشوائية محليًا فقط لتسلسلات مكونة من 10000 رقم؛ أما التسلسلات التي يقل عدد أرقامها عن 1000 فقد لا تبدو عشوائية على الإطلاق، على سبيل المثال).

لا يُثبت وجود نمط في التسلسل بالضرورة أنه ليس عشوائيًا إحصائيًا. فبحسب مبادئ نظرية رامزي ، يجب أن تحتوي الأجسام الكبيرة بما يكفي بالضرورة على بنية فرعية معينة (" الفوضى الكاملة مستحيلة ").

تفرض التشريعات المتعلقة بالمقامرة معايير معينة للعشوائية الإحصائية على ماكينات القمار .

الاختبارات

نُشرت أولى الاختبارات للأرقام العشوائية بواسطة إم جي كيندال وبرنارد بابينغتون سميث في مجلة الجمعية الإحصائية الملكية عام 1938. [ 2 ] وقد بُنيت هذه الاختبارات على أدوات إحصائية مثل اختبار مربع كاي لبيرسون، الذي طُوّر لتمييز ما إذا كانت الظواهر التجريبية تتطابق مع احتمالاتها النظرية. وقد طوّر بيرسون اختباره في الأصل من خلال إثبات أن عددًا من تجارب النرد التي أجراها دبليو إف آر ويلدون لم تُظهر سلوكًا "عشوائيًا".

كانت الاختبارات الأربعة الأصلية لكيندال وسميث عبارة عن اختبارات فرضية ، والتي أخذت كفرضية صفرية فكرة أن كل رقم في تسلسل عشوائي معين لديه فرصة متساوية للظهور، وأن الأنماط الأخرى المختلفة في البيانات يجب أن تتوزع أيضًا بشكل متساوي الاحتمال.

  • كان اختبار التردد بسيطًا للغاية: التحقق للتأكد من وجود نفس العدد تقريبًا من الأصفار والآحاد والاثنينات والثلاثات وما إلى ذلك.
  • أما الاختبار التسلسلي ، فقد قام بنفس الشيء ولكن لتسلسلات مكونة من رقمين في كل مرة (00، 01، 02، إلخ)، وقارن تردداتها الملاحظة مع تنبؤاتها الافتراضية إذا كانت موزعة بالتساوي.
  • اختبار البوكر ، الذي يختبر تسلسلات معينة من خمسة أرقام في كل مرة (AAAAA، AAAAB، AAABB، إلخ) بناءً على توزيعات الأوراق في لعبة البوكر .
  • اختبار الفجوة ، نظر في المسافات بين الأصفار (00 ستكون مسافة 0، 030 ستكون مسافة 1، 02250 ستكون مسافة 3، إلخ).

إذا اجتازت متتالية معينة جميع هذه الاختبارات ضمن مستوى دلالة محدد (عادةً 5%)، فإنها تُعتبر، على حد تعبيرهم، "عشوائية محليًا". وقد ميّز كيندال وسميث بين "العشوائية المحلية" و"العشوائية الحقيقية" في أن العديد من المتتاليات المولدة بطرق عشوائية حقيقية قد لا تُظهر "عشوائية محلية" بدرجة معينة - فقد تحتوي المتتاليات الكبيرة جدًا على العديد من الصفوف التي تحتوي على رقم واحد. قد يكون هذا "عشوائيًا" على مستوى المتتالية بأكملها، ولكنه في جزء أصغر لن يكون "عشوائيًا" (لن يجتاز اختباراتهم)، وسيكون غير مفيد لعدد من التطبيقات الإحصائية.

مع ازدياد شيوع مجموعات الأرقام العشوائية، ازداد استخدام الاختبارات، وتطورت هذه الاختبارات بشكل ملحوظ. تقوم بعض الاختبارات الحديثة برسم الأرقام العشوائية كنقاط على مستوى ثلاثي الأبعاد، يمكن تدويره للبحث عن أنماط خفية. في عام ١٩٩٥، ابتكر الإحصائي جورج مارساجليا مجموعة من الاختبارات تُعرف باسم اختبارات "داي هارد" ، والتي يوزعها مع قرص مضغوط يحتوي على ٥  مليارات رقم شبه عشوائي . وفي عام ٢٠١٥، وزّع يونغجي وانغ حزمة برمجية بلغة جافا [ ٣ ] لاختبار العشوائية الإحصائية القائمة على المسافة.

تتطلب مولدات الأرقام شبه العشوائية اختبارات للتحقق من "عشوائيتها" بشكل حصري، لأنها لا تُنتج بواسطة عمليات "عشوائية حقيقية"، بل بواسطة خوارزميات حتمية. على مر تاريخ توليد الأرقام العشوائية، تبين لاحقًا أن العديد من مصادر الأرقام التي اعتُقد أنها "عشوائية" عند اختبارها، غير عشوائية تمامًا عند إخضاعها لأنواع معينة من الاختبارات. وقد طُوّر مفهوم الأرقام شبه العشوائية لتجاوز بعض هذه المشكلات، مع أن مولدات الأرقام شبه العشوائية لا تزال تُستخدم على نطاق واسع في العديد من التطبيقات (حتى تلك المعروفة بأنها "غير عشوائية" للغاية)، لأنها "كافية" لمعظم التطبيقات.

اختبارات أخرى:

  • يختبر اختبار Monobit كل بت من بتات خرج مولد الأرقام العشوائية كما لو كان اختبار رمي عملة معدنية، ويحدد ما إذا كان عدد مرات ظهور الصورة والكتابة قريبًا من التكرار المتوقع بنسبة 50%. ويشكل عدد مرات ظهور الصورة في سلسلة رمي العملة توزيعًا ثنائيًا .
  • يقوم اختبار Wald –Wolfowitz بإجراء اختبارات لعدد انتقالات البت بين البتات 0 والبتات 1، ويقارن الترددات الملاحظة بالتردد المتوقع لتسلسل بت عشوائي.
  • إنتروبيا المعلومات
  • اختبار الارتباط الذاتي
  • اختبار كولموغوروف-سميرنوف
  • اختبار العشوائية القائم على المسافة الإحصائية. أظهر يونغجي وانغ [ 4 ] [ 5 ] أن معايير اختبار NIST SP800-22 غير كافية للكشف عن بعض نقاط الضعف في مولدات العشوائية، واقترح اختبار العشوائية القائم على المسافة الإحصائية.
  • تقدير الكثافة الطيفية [ 6 ] - إجراء تحويل فورييه على إشارة "عشوائية" يحولها إلى مجموع دوال دورية من أجل الكشف عن الاتجاهات المتكررة غير العشوائية
  • اختبار ماورر الإحصائي الشامل
  • اختبارات المتعصبين

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ يبدو أن العدد باي مولد أرقام عشوائية جيد، ولكنه ليس الأفضل دائمًا ، تشاد بوتين، جامعة بيردو
  2. ↑ كيندال، إم جي ؛ سميث، بي. بابينغتون (1938). "العشوائية وأعداد العينات العشوائية". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية . 101 (1): 147-166 . doi : 10.2307/2980655 . JSTOR 2980655 . 
  3. ↑ يونغجي وانغ. تقنيات الاختبار الإحصائي لتوليد الأرقام العشوائية الزائفة. http://webpages.uncc.edu/yonwang/liltest/
  4. ↑ يونغجي وانغ: حول تصميم اختبارات LIL للمولدات (شبه) العشوائية وبعض النتائج التجريبية. PDF
  5. ↑ وانغ، يونغجي؛ نيكول، توني (2015). "الخصائص الإحصائية للمتواليات شبه العشوائية وتجارب باستخدام PHP و Debian OpenSSL". الحوسبة والأمن . 53 : 44-64 . doi : 10.1016/j.cose.2015.05.005 .
  6. ↑ كنوت، دونالد (1998). فن برمجة الحاسوب، المجلد 2 : الخوارزميات شبه العددية . أديسون ويسلي. الصفحات 93-118 . ISBN   978-0-201-89684-8.