ميرسين تويستر

Mersenne Twister هو مولد أرقام عشوائية زائفة للأغراض العامة (PRNG) تم تطويره في عام 1997 بواسطة ماكوتو ماتسوموتو (松本眞) وتاكوجي نيشيمورا (西村 拓士) . ^{[ 1 ] [ 2 ]} اسمها مشتق من اختيار ميرسين الأولي كطول فترتها.

تم تصميم مولد الأرقام العشوائية الزائفة Mersenne Twister خصيصًا لمعالجة معظم العيوب الموجودة في مولدات الأرقام العشوائية الزائفة السابقة.

تعتمد النسخة الأكثر شيوعًا من خوارزمية Mersenne Twister على عدد Mersenne الأولي${\displaystyle 2^{19937}-1}$يستخدم التطبيق القياسي لذلك، MT19937، طول كلمة 32 بت . وهناك تطبيق آخر (بخمسة متغيرات ^{[ 3 ]} ) يستخدم طول كلمة 64 بت، وهو MT19937-64، والذي يُولّد تسلسلًا مختلفًا.

متتالية شبه عشوائية${\displaystyle x_{i}}$ل${\displaystyle w}$أعداد صحيحة من نوع بت- ذات دورة${\displaystyle P}$يقال إنه${\displaystyle k}$- تم توزيعها على${\displaystyle v}$دقة بتية واحدة إذا تحقق ما يلي:

يترك${\displaystyle \operatorname {trunc} _{v}(x)}$يشير إلى العدد المكون من العدد الرئيسي${\displaystyle v}$أجزاء من${\displaystyle x}$وفكر في${\displaystyle P}$التابع${\displaystyle kv}$متجهات بتية

${\displaystyle (\operatorname {trunc} _{v}(x_{i}),\operatorname {trunc} _{v}(x_{i+1}),\dots ,\operatorname {trunc} _{v}(x_{i+k-1}))}$

ل${\displaystyle 0\leq i<P}$ثم كل واحد من${\displaystyle 2^{kv}}$تتكرر التركيبات الممكنة للبتات بنفس عدد المرات في الفترة، باستثناء التركيبة المكونة من أصفار فقط والتي تحدث مرة واحدة أقل تكرارًا.

بالنسبة لطول كلمة مكون من w بت، يقوم مولد الأرقام العشوائية Mersenne Twister بتوليد أعداد صحيحة في النطاق${\displaystyle [0,2^{w}-1]}$.

تعتمد خوارزمية ميرسين تويستر على علاقة تكرارية خطية مصفوفية على الحقل المنتهي${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$الخوارزمية عبارة عن مسجل إزاحة تغذية راجعة معمّم ملتوي ^{[ 4 ]} (GFSR الملتوي، أو TGFSR) ذو شكل طبيعي نسبي (TGFSR(R))، مع انعكاس بت الحالة وتلطيفه. الفكرة الأساسية هي تعريف سلسلة${\displaystyle x_{i}}$من خلال علاقة تكرارية بسيطة، ثم إخراج أرقام على الشكل التالي${\displaystyle x_{i}^{T}}$، أين${\displaystyle T}$هو قابل للعكس${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$-مصفوفة تسمى مصفوفة التلطيف .

تتميز الخوارزمية العامة بالكميات التالية:

• ${\displaystyle w}$حجم الكلمة (بالبتات)
• ${\displaystyle n}$درجة التكرار
• ${\displaystyle m}$: كلمة وسطى، إزاحة تُستخدم في علاقة التكرار التي تحدد السلسلة${\displaystyle x}$،${\displaystyle 1\leq m<n}$
• ${\displaystyle r}$: نقطة فصل كلمة واحدة، أو عدد بتات قناع البت السفلي،${\displaystyle 0\leq r\leq w-1}$
• ${\displaystyle a}$: معاملات مصفوفة الالتواء ذات الشكل الطبيعي النسبي
• ${\displaystyle b,c}$أقنعة بتات التلطيف TGFSR®
• ${\displaystyle s,t}$: تحويلات بتات التلطيف TGFSR(R)
• ${\displaystyle u,d,l}$: عمليات إزاحة بت/أقنعة إضافية لتطبيع بتات ميرسين تويستر

مع مراعاة أن${\displaystyle 2^{nw-r}-1}$هو عدد أولي من نوع ميرسين. هذا الاختيار يبسط اختبار البدائية واختبار توزيع k اللازمين في البحث عن المعلمات.

المسلسل${\displaystyle x}$يُعرَّف بأنه سلسلة من${\displaystyle w}$كميات بتية ذات علاقة تكرارية:

${\displaystyle x_{k+n}:=x_{k+m}\oplus \left(({x_{k}}^{u}\mid {x_{k+1}}^{l})A\right)\qquad k=0,1,2,\ldots }$

أين${\displaystyle \mid }$يشير إلى تسلسل متجهات البتات (مع البتات العليا على اليسار)،${\displaystyle \oplus }$عملية XOR ( أو الحصرية الثنائية )،${\displaystyle x_{k}^{u}}$يعني الجزء العلوي${\displaystyle w-r}$أجزاء من${\displaystyle x_{k}}$، و${\displaystyle x_{k+1}^{l}}$يعني الأقل${\displaystyle r}$أجزاء من${\displaystyle x_{k+1}}$.

قد يتم إزاحة جميع الرموز السفلية بواسطة${\displaystyle -n}$:

${\displaystyle x_{k}:=x_{k-(n-m)}\oplus \left(({x_{k-n}}^{u}\mid {x_{k-(n-1)}}^{l})A\right)\qquad k=n,n+1,n+2,\ldots }$

أين يقع الآن الجانب الأيسر،${\displaystyle x_{k}}$، هي القيمة التالية التي تم إنشاؤها في السلسلة من حيث القيم التي تم إنشاؤها في الماضي، والتي تقع على الجانب الأيمن.

التحول${\displaystyle A}$يُعرَّف في الصيغة الطبيعية النسبية على النحو التالي:$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&I_{w-1}\\a_{w-1}&(a_{w-2},\ldots ,a_{0})\end{pmatrix}}}$$ مع${\displaystyle I_{w-1}}$كما هو الحال${\displaystyle (w-1)(w-1)}$مصفوفة الوحدة . يتميز الشكل الطبيعي النسبي بسهولة الضرب في${\displaystyle A}$يمكن التعبير عنها بكفاءة على النحو التالي: (تذكر أن ضرب المصفوفات يتم هنا في${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$وبالتالي، فإن عملية XOR الثنائية تحل محل عملية الجمع.$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}A={\begin{cases}{\boldsymbol {x}}\gg 1&x_{0}=0\\({\boldsymbol {x}}\gg 1)\oplus {\boldsymbol {a}}&x_{0}=1\end{cases}}}$$أين${\displaystyle x_{0}}$هو أدنى بت من${\displaystyle x}$.

كما هو الحال مع TGFSR(R)، يتم تطبيق تحويل تلطيفي متتالي على خوارزمية Mersenne Twister لتعويض انخفاض أبعاد التوزيع المتساوي (بسبب اختيار المصفوفة A في الصيغة الطبيعية النسبية). لاحظ أن هذا يكافئ استخدام المصفوفة A حيث${\displaystyle A=T^{-1}*AT}$ل${\displaystyle T}$مصفوفة قابلة للعكس ، وبالتالي فإن تحليل كثير الحدود المميز المذكور أدناه لا يزال ساريًا.

كما هو الحال مع${\displaystyle A}$نختار تحويلًا للتلطيف بحيث يكون سهل الحساب، وبالتالي لا نقوم فعليًا بإنشاء${\displaystyle T}$نفسه. يُعرَّف هذا التعديل في حالة خوارزمية ميرسين تويستر على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&\equiv x\oplus ((x\gg u)~\And ~d)\\y&\equiv y\oplus ((y\ll s)~\And ~b)\\y&\equiv y\oplus ((y\ll t)~\And ~c)\\z&\equiv y\oplus (y\gg l)\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle x}$وهي القيمة التالية من السلسلة،${\displaystyle y}$هي قيمة وسيطة مؤقتة، و${\displaystyle z}$هي القيمة التي تُرجعها الخوارزمية، مع${\displaystyle \ll }$و${\displaystyle \gg }$أثناء عمليات الإزاحة الثنائية لليسار واليمين ، و${\displaystyle \&}$كما هو الحال في عملية AND الثنائية . تُضاف التحويلات الأولى والأخيرة لتحسين التوزيع المتساوي للبتات الأقل أهمية. من خصائص TGFSR،${\displaystyle s+t\geq \left\lfloor {\frac {w}{2}}\right\rfloor -1}$يلزم الوصول إلى الحد الأعلى للتوزيع المتساوي للبتات العليا.

معاملات MT19937 هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}(w,n,m,r)&=(32,624,397,31)\\a&={\textrm {9908B0DF}}_{16}\\(u,d)&=(11,{\textrm {FFFFFFFF}}_{16})\\(s,b)&=(7,{\textrm {9D2C5680}}_{16})\\(t,c)&=(15,{\textrm {EFC60000}}_{16})\\l&=18\\\end{aligned}}}$

لاحظ أن تطبيقات Mersenne Twister ذات 32 بت تحتوي عمومًا على d =  FFFFFFFF  16. _ونتيجة لذلك، يتم حذف d أحيانًا من وصف الخوارزمية، لأن عملية AND المنطقية مع d في هذه الحالة ليس لها أي تأثير.

معاملات MT19937-64 هي: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}(w,n,m,r)=(64,312,156,31)\\a={\textrm {B5026F5AA96619E9}}_{16}\\(u,d)=(29,{\textrm {5555555555555555}}_{16})\\(s,b)=(17,{\textrm {71D67FFFEDA60000}}_{16})\\(t,c)=(37,{\textrm {FFF7EEE000000000}}_{16})\\l=43\\\end{aligned}}}$

#include <stdint.h>#define n 624 #define m 397 #define w 32 #define r 31 #define UMASK (0xffffffffUL << r) #define LMASK (0xffffffffUL >> (wr)) #define a 0x9908b0dfUL #define u 11 #define s 7 #define t 15 #define l 18 #define b 0x9d2c5680UL #define c 0xefc60000UL #define f 1812433253ULtypedef struct { uint32_t state_array [ n ]; // مصفوفة متجه الحالة int state_index ; // فهرس في مصفوفة متجه الحالة، 0 <= state_index <= n-1 دائمًا } mt_state ;void initialize_state ( mt_state * state , uint32_t seed ) { uint32_t * state_array = & ( state -> state_array [ 0 ]); state_array [ 0 ] = seed ; // قيمة ابتدائية مقترحة seed = 19650218UL for ( int i = 1 ; i < n ; i ++ ) { seed = f * ( seed ^ ( seed >> ( w -2 ))) + i ; // Knuth TAOCP Vol2. 3rd Ed. P.106 for multiplier. state_array [ i ] = seed ; } state -> state_index = 0 ; }uint32_t random_uint32 ( mt_state * state ) { uint32_t * state_array = & ( state -> state_array [ 0 ]); int k = state -> state_index ; // يشير إلى موقع الحالة الحالية // 0 <= state_index <= n-1 دائمًا // int k = k - n; // يشير إلى الحالة قبل n تكرارًا // if (k < 0) k += n; // فهرسة دائرية modulo n // السطران السابقان لا يفعلان شيئًا في الواقع // للتوضيح فقط int j = k - ( n -1 ); // يشير إلى الحالة قبل n-1 تكرارًا if ( j < 0 ) j += n ; // فهرسة دائرية modulo nuint32_t x = ( state_array [ k ] & UMASK ) | ( state_array [ j ] & LMASK ); uint32_t xA = x >> 1 ; if ( x & 0x00000001UL ) xA ^= a ; j = k - ( n - m ); // يشير إلى الحالة قبل nm تكرار if ( j < 0 ) j += n ; // فهرسة دائرية modulo n x = state_array [ j ] ^ xA ; // حساب القيمة التالية في الحالة state_array [ k ++ ] = x ; // تحديث قيمة الحالة الجديدة if ( k >= n ) k = 0 ; // فهرسة دائرية modulo n state -> state_index = k ; uint32_t y = x ^ ( x >> u ); // تعديل y = y ^ (( y << s ) & b ); y = y ^ (( y << t ) & c ); uint32_t z = y ^ ( y >> l ); return z ; }

يُستخدم إعصار ميرسين على نطاق واسع جزئيًا بسبب مدته الطويلة جدًا${\displaystyle 2^{19937}-1}$يتجاوز هذا الأداء أداء المولدات في حزم البرامج القديمة، مما يعالج مشاكل المولدات القديمة. ^{[ 6 ]} وهو مرخص بشكل متساهل وخالٍ من براءات الاختراع لجميع الإصدارات باستثناء CryptMT. بالإضافة إلى ذلك، يتم توزيع Mersenne Twister وفقًا لتوزيع k بدقة 32 بت لكل${\displaystyle 1\leq k\leq 623}$مما يُحسّن جودة مخرجاته. مع ذلك، فإنه يستخدم مخزن بيانات كبير نسبيًا، يبلغ حوالي 2.5 كيلوبايت ، وهو غير آمن تشفيريًا إلا باستخدام متغيري TinyMT و CryptMT . يُستخدم CryptMT بدلًا من Mersenne Twister لأنه بعد مراقبة عدد كافٍ من التكرارات (624 في حالة MT19937، حيث أن هذا هو حجم متجه الحالة الذي تُنتج منه التكرارات اللاحقة)، يُمكن التنبؤ بجميع التكرارات اللاحقة للخوارزمية.

تُنتج التطبيقات عمومًا أرقامًا عشوائية أسرع من الطرق المُنفذة على مستوى العتاد. وقد وجدت دراسة أن مولد ميرسين تويستر يُنتج أرقامًا عشوائية ذات فاصلة عائمة 64 بت أسرع بحوالي عشرين مرة من مجموعة تعليمات RDRAND المُنفذة على مستوى العتاد والمُعتمدة على المعالج. ^{[ 7 ]} ومع ذلك، فإن الإنتاجية متوسطة وفقًا للمعايير الحديثة، إلا إذا تم استخدام متغير SFMT (المُناقش أدناه). ^{[ 8 ]}

ليس من المناسب عمومًا استخدام نسخ متعددة من مولد الأرقام العشوائية Mersenne Twister تختلف فقط في قيمة البذرة (وليس في المعاملات الأخرى) لمحاكاة مونت كارلو التي تتطلب مولدات أرقام عشوائية مستقلة، على الرغم من وجود طريقة لاختيار مجموعات متعددة من قيم المعاملات. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

يُظهر اختبار Mersenne Twister أداءً جيدًا بشكل عام في اختبارات العشوائية الإحصائية ، بما في ذلك اختبارات Diehard ومعظم اختبارات TestU01 ، ولكن ليس جميعها، حيث يُظهر فشلين واضحين (التعقيد الخطي) في كل من Crush وBigCrush ضمن مجموعة TestU01. يعتمد هذا الاختبار، مثل اختبار Mersenne Twister، على...${\displaystyle {\textbf {F}}_{2}}$-الجبر. ^{[ 11 ]}

قد يُظهر هذا الأسلوب انتشارًا ضعيفًا، مما يؤدي إلى توليد مخرجات تجتاز اختبارات العشوائية بعد فترة طويلة، إذا كانت الحالة الأولية غير عشوائية إلى حد كبير. يحدث هذا تحديدًا إذا احتوت الحالة الأولية على العديد من الأصفار. كما تحتوي النتائج المُولَّدة على متواليات فرعية تحتوي على أصفار أكثر من الآحاد، مما يزيد من خاصية الانتشار الضعيف، ويجعل التعافي من حالات الأصفار الكثيرة صعبًا. من نتائج الانتشار الضعيف أن نسختين من المُولِّد، بدأتا بحالات أولية متطابقة تقريبًا، ستُخرجان عادةً نفس المتوالية تقريبًا لعدة تكرارات، قبل أن تتباعدا في النهاية. وقد حسَّن تحديث خوارزمية MT لعام 2002 عملية التهيئة، بحيث أصبح البدء بمثل هذه الحالة أمرًا مستبعدًا للغاية. ^{[ 12 ]} ويُقال إن إصدار وحدة معالجة الرسومات (MTGP) أفضل من ذلك. ^{[ 13 ]}

CryptMT عبارة عن خوارزمية تشفير متدفقة ومولد أرقام شبه عشوائية آمن تشفيرياً، يستخدم خوارزمية Mersenne Twister داخلياً. ^{[ 14 ] [ 15 ]} طُوِّرت هذه الخوارزمية بواسطة ماتسوموتو ونيشيمورا بالتعاون مع ماريكو هاجيتا وموتسو سايتو. وقد قُدِّمت إلى مشروع eSTREAM التابع لشبكة eCRYPT . ^{[ 14 ]} على عكس Mersenne Twister أو مشتقاتها الأخرى، فإن CryptMT حاصلة على براءة اختراع .

MTGP هي نسخة معدلة من خوارزمية Mersenne Twister مُحسّنة لوحدات معالجة الرسومات ، نُشرت بواسطة موتسو سايتو وماكوتو ماتسوموتو. ^{[ 16 ]} تُوسّع عمليات التكرار الخطي الأساسية من MT، وتُختار المعاملات بحيث تسمح للعديد من الخيوط بحساب التكرار بالتوازي، مع مشاركة مساحة الحالة لتقليل حمل الذاكرة. تُشير الورقة البحثية إلى تحسين التوزيع المتساوي مقارنةً بـ MT، وأداء بلغ 4.7 ​​مللي ثانية على وحدة معالجة رسومات قديمة (من عام 2008) ( Nvidia GTX260 بـ 192 نواة) لعدد صحيح عشوائي 32 بت  يبلغ 5×10⁷ ^.

SFMT ( خوارزمية Mersenne Twister السريعة الموجهة نحو SIMD ) هي نسخة معدلة من Mersenne Twister، تم تقديمها في عام 2006، ^{[ 17 ]} مصممة لتكون سريعة عند تشغيلها على SIMD 128 بت.

• إنها أسرع بمرتين تقريبًا من ميرسين تويستر. ^{[ 18 ]}
• يتمتع بخاصية توزيع متساوي أفضل لدقة البتات v مقارنة بـ MT ولكنه أسوأ من WELL ("التوزيع المتساوي الخطي طويل الفترة") .
• يتميز هذا النظام بتعافي أسرع من الحالة الأولية ذات الفائض الصفري مقارنةً بنظام MT، ولكنه أبطأ من نظام WELL.
• وهو يدعم فترات زمنية مختلفة من ²⁶⁰⁷  -  1 إلى ^2216091  -  1.

يدعم SFMT تقنيتي Intel SSE2 و PowerPC AltiVec. كما يُستخدم أيضًا في الألعاب التي ^تعمل بمعالج Cell BE في جهاز PlayStation 3. [ ^{19 ]}

TinyMT هو نوع مُعدّل من Mersenne Twister، اقترحه سايتو وماتسوموتو عام 2011. ^{[ 20 ]} يستخدم TinyMT مساحة حالة تبلغ 127 بت فقط، وهو انخفاض كبير مقارنةً بمساحة الحالة الأصلية التي تبلغ 2.5 كيلوبايت. ومع ذلك، فإن دورته تبلغ${\displaystyle 2^{127}-1}$وهي أقصر بكثير من النسخة الأصلية، لذا لا يوصي بها المؤلفون إلا في الحالات التي تكون فيها الذاكرة محدودة للغاية.

يستخدم البرنامج التالي مولد الأرقام العشوائية الزائفة Mersenne Twister كمولد أرقام عشوائية زائفة افتراضي:

• لغات البرمجة: Dyalog APL ، ^{[ 21 ]} IDL ، ^{[ 22 ]} R ، ^{[ 23 ]} Ruby ، ^{[ 24 ]} Free Pascal ، ^{[ 25 ]} PHP ، ^{[ 26 ]} Python (متوفرة أيضًا في NumPy ، ولكن تم تغيير الإعداد الافتراضي إلى PCG64 بدءًا من الإصدار 1.17 ^{[ 27 ]} )، ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]} CMU Common Lisp ، ^{[ 31 ]} Embeddable Common Lisp ، ^{[ 32 ]} Steel Bank Common Lisp ، ^{[ 33 ]} Julia (حتى Julia 1.6 LTS، ولا تزال متوفرة في الإصدارات الأحدث، ولكن يتم استخدام مولد أرقام عشوائية أفضل/أسرع افتراضيًا بدءًا من الإصدار 1.7) ^{[ 34 ]}
• المكتبات والبرامج الشبيهة بنظام يونكس : GLib ، ^{[ 35 ]} مكتبة GNU للحسابات متعددة الدقة ، ^{[ 36 ]} GNU Octave ، ^{[ 37 ]} مكتبة GNU العلمية ^{[ 38 ]}
• أخرى: مايكروسوفت إكسل ، ^{[ 39 ]} جاوس ، ^{[ 40 ]} جريتل ، ^{[ 41 ]} ستاتا ، ^{[ 42 ]} سيج ماث ، ^{[ 43 ]} سايلاب ، ^{[ 44 ]} مابل ، ^{[ 45 ]} ماتلاب ^{[ 46 ]}

وهو متوفر أيضًا في Apache Commons ، ^{[ 47 ]} وفي مكتبة C++ القياسية (منذ C++11 )، ^{[ 48 ] [ 49 ]} وفي Mathematica . ^{[ 50 ]} كما تتوفر تطبيقات إضافية في العديد من مكتبات البرامج، بما في ذلك مكتبات Boost C++ ، ^{[ 51 ]} ومكتبة CUDA ، ^{[ 52 ]} ومكتبة NAG العددية . ^{[ 53 ]}

يُعدّ مولد الأرقام العشوائية Mersenne Twister أحد مولدي الأرقام العشوائية الزائفة (PRNGs) في برنامج SPSS : يُستخدم المولد الآخر فقط للتوافق مع البرامج القديمة، ويُقال إن Mersenne Twister "أكثر موثوقية". ^{[ 54 ]} وبالمثل، يُعدّ Mersenne Twister أحد مولدات الأرقام العشوائية الزائفة في برنامج SAS : أما المولدات الأخرى فهي أقدم وقد تم إيقاف استخدامها. ^{[ 55 ]} يُعدّ Mersenne Twister مولد الأرقام العشوائية الزائفة الافتراضي في برنامج Stata ، بينما يُستخدم المولد الآخر KISS للتوافق مع الإصدارات القديمة من Stata. ^{[ 56 ]}

يوفر مولد بديل، WELL ("مولد خطي متساوي التوزيع طويل المدى")، استعادة أسرع، وعشوائية متساوية، وسرعة مماثلة تقريبًا. ^{[ 57 ]}

تُعد مولدات xorshift الخاصة بمارساجليا ومتغيراتها الأسرع في فئة LFSRs. ^{[ 58 ]}

MELGs ذات 64 بت ("64 بت موزعة بالتساوي إلى أقصى حد"${\displaystyle {\textbf {F}}_{2}}$تُعتبر المولدات الخطية ذات الفترة الأولية لمرسين مُحسَّنة تمامًا من حيث خصائص توزيع k . ^{[ 59 ]}

تُعد عائلة ACORN (التي نُشرت عام 1989) مولد أرقام عشوائية زائفة آخر موزع k ، والذي يُظهر سرعة حسابية مماثلة لـ MT، وخصائص إحصائية أفضل لأنه يفي بجميع معايير TestU01 الحالية (2019)؛ عند استخدامه مع خيارات مناسبة للمعلمات، يمكن أن يكون لـ ACORN فترة ودقة طويلة بشكل تعسفي.

تُعد عائلة PCG مولدًا أحدث للفترات الطويلة، مع تحسين موضع التخزين المؤقت، وتحيز أقل قابلية للكشف باستخدام أساليب التحليل الحديثة. ^{[ 60 ]}

• هاراس، س. (2014)، "حول${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$العلاقات الخطية لمولدات الأرقام العشوائية الزائفة من نوع Mersenne Twister، الرياضيات والحاسبات في المحاكاة ، 100 : 103-113 ، arXiv : 1301.5435 ، doi : 10.1016/j.matcom.2014.02.002 ، S2CID 6984431 .
• هاراسي، س. (2019)، "تحويل خوارزمية ميرسين تويستر إلى أعداد الفاصلة العائمة ذات الدقة المزدوجة"، الرياضيات والحاسبات في المحاكاة ، 161 : 76-83 ، arXiv : 1708.06018 ، doi : 10.1016/j.matcom.2018.08.006 ، S2CID 19777310 .

• الورقة البحثية الخاصة بـ MT، والمقالات ذات الصلة لماكوتو ماتسوموتو
• الصفحة الرئيسية للعبة Mersenne Twister، مع أكواد مكتوبة بلغات C و Fortran و Java و Lisp وبعض اللغات الأخرى
• أمثلة على خوارزمية ميرسين تويستر - مجموعة من تطبيقات خوارزمية ميرسين تويستر، بلغات برمجة متعددة - على موقع GitHub
• SFMT قيد التشغيل: الجزء الأول - إنشاء ملف DLL يتضمن دعم SSE2 - في Code Project