حساب الموقع

الحساب المكاني (باللاتينية arithmetica localis ) هو نظام الأرقام الثنائية الجمعي (غير الموضعي) ، والذي استكشفه جون نابيير كتقنية حسابية في أطروحته Rabdology (1617)، سواء بشكل رمزي أو على شبكة تشبه رقعة الشطرنج .

إن مصطلحات نابيير، المستمدة من استخدام مواقع العدادات على اللوحة لتمثيل الأرقام، قد تكون مضللة لأن نظام الترقيم، في الواقع، غير موضعي في المفردات الحالية.

خلال فترة نابيير، كانت معظم العمليات الحسابية تُجرى على ألواح مزودة بعلامات أو قطع . لذا، وخلافًا لما قد يراه القارئ المعاصر، لم يكن هدفه استخدام حركات القطع على اللوح للضرب والقسمة وإيجاد الجذور التربيعية، بل إيجاد طريقة للحساب الرمزي باستخدام القلم والورقة.

مع ذلك، عند تطبيق هذه التقنية الجديدة على السبورة، لم تتطلب حسابات ذهنية تعتمد على التجربة والخطأ، ولا حفظًا معقدًا لعمليات الحمل (على عكس حسابات النظام العشري). وقد أعجب باكتشافه لدرجة أنه قال في مقدمته:

يمكن وصفها بأنها أقرب إلى اللهو منها إلى العمل الشاق، لأنها تقوم بعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة واستخراج الجذور التربيعية بمجرد تحريك العدادات من مكان إلى آخر. ^{[ 1 ]}

لم يكن نظام العد الثنائي قد تم توحيده بعد، لذا استخدم نابيير ما أسماه أرقام المواقع لتمثيل الأعداد الثنائية. يعتمد نظام نابيير على نظام الإشارة والقيمة لتمثيل الأعداد؛ حيث يستخدم حروفًا متتالية من الأبجدية اللاتينية لتمثيل قوى العدد اثنين المتتالية: أ = ^2⁰ = 1، ب = 2⁹ ⁼ 2، ج = ^2⁲ = 4، د = 2⁳ ⁼ 8، هـ = 2⁴ ⁼ 16، وهكذا.

لتمثيل عدد معين كرقم مكاني، يُعبّر عن هذا العدد كمجموع قوى العدد اثنين، ثم يُستبدل كل قوة من قوى العدد اثنين بالرقم (الحرف) المقابل لها. على سبيل المثال، عند التحويل من عدد عشري:

٨٧ = ١ + ٢ + ٤ + ١٦ + ٦٤ = ^٢٠ + ^٢١ + ^٢٢ + ^٢٤ + ^٢٦ = abceg

باستخدام العملية العكسية، يمكن تحويل رقم الموقع إلى نظام رقمي آخر. على سبيل المثال، عند التحويل إلى رقم عشري:

أبدجكل = 2 ⁰ + 2 ¹ + 2 ³ + 2 ⁶ + 2 ¹⁰ + 2 ¹¹ = 1 + 2 + 8 + 64 + 1024 + 2048 = 3147

عرض نابيير طرقًا متعددة لتحويل الأرقام من وإلى نظامه العددي. هذه الطرق مشابهة للطرق الحديثة لتحويل الأرقام من وإلى النظام الثنائي ، لذا لم يتم عرضها هنا. كما بيّن نابيير كيفية الجمع والطرح والضرب والقسمة واستخراج الجذور التربيعية.

يستخدم حساب المواقع شبكة مربعة، حيث يمثل كل مربع فيها قيمة. يُشار إلى جانبين من الشبكة بقوى متزايدة للعدد اثنين. يمكن تحديد أي مربع داخلي برقمين على هذين الجانبين، أحدهما أسفل المربع الداخلي عموديًا والآخر إلى أقصى يمينه. قيمة المربع هي حاصل ضرب هذين الرقمين.

على سبيل المثال، يُمثل المربع في هذه الشبكة العدد 32، لأنه ناتج ضرب العدد 4 في العمود الأيمن في العدد 8 في الصف السفلي. يمكن أن تكون الشبكة بأي حجم، والشبكات الأكبر حجماً تسمح لنا ببساطة بالتعامل مع أعداد أكبر.

لاحظ أن تحريك المربع مربعًا واحدًا إلى اليسار أو مربعًا واحدًا إلى الأعلى يُضاعف القيمة. يمكن استخدام هذه الخاصية لإجراء عملية الجمع الثنائي باستخدام صف واحد فقط من الشبكة.

إضافة

أولاً، ضع العدد الثنائي على صف باستخدام عدادات لتمثيل الرقم 1 في العدد. على سبيل المثال، يُوضع العدد 29 (= 11101 بالنظام الثنائي) على اللوحة كما يلي:

11101 (= 29) في صف واحد

0	1	1	1	0	1

من الواضح أن العدد 29 هو مجموع قيم المربعات التي تحتوي على عدادات. الآن، ضع العدد الثاني فوق هذا الصف. لنفترض أننا وضعنا 9 (أي 1001 بالنظام الثنائي) فوقه كما يلي.

الطبقة 1001 (= 9)

0	0	1	0	0	1

مجموع هذين العددين هو ببساطة القيمة الإجمالية التي تمثلها القطع على اللوحة، ولكن بعض المربعات تحتوي على أكثر من قطعة. تذكر أن التحرك إلى يسار المربع يضاعف قيمته. لذا نستبدل قطعتين على مربع بقطعة واحدة على يساره دون تغيير القيمة الإجمالية على اللوحة. لاحظ أن هذه هي نفس الفكرة المستخدمة لاختصار أرقام المواقع. لنبدأ باستبدال زوج القطع الموجود في أقصى اليمين بقطعة على يساره، فنحصل على:

←

لا يزال لدينا مربع آخر عليه عدادان، لذلك نكرر العملية:

←

لكن استبدال هذا الزوج أدى إلى إنشاء مربع آخر عليه عدادان، لذلك نستبدله للمرة الثالثة:

النتيجة 100110 = 38

	←
1	0	0	1	1	0

الآن كل مربع يحتوي على عداد واحد فقط، وقراءة النتيجة بالنظام الثنائي 100110 (= 38) تعطي النتيجة الصحيحة.

الطرح

عملية الطرح ليست أكثر تعقيداً من عملية الجمع: فبدلاً من إضافة قطع على اللوحة، نقوم بإزالتها. ولـ"استعارة" قيمة، نستبدل قطعة على مربع بقطعتين على يمينه.

دعونا نرى كيف يمكننا طرح 12 من 38. أولاً، ضع 38 (= 100110 بالنظام الثنائي) في صف، ثم ضع 12 (= 1100 بالنظام الثنائي) تحته:

						38
						12

لكل عداد في الصف السفلي يعلوه عداد آخر، أزل كلا العدادين. يمكننا إزالة زوج واحد من هذه العدادات من اللوحة، مما ينتج عنه:

			↓
			↓

الآن نحتاج إلى "استعارة" قطع عدّ للتخلص من القطعة المتبقية في الأسفل. أولاً، استبدل القطعة الموجودة في أقصى اليسار في الصف العلوي بقطعتين إلى يمينها:

→

الآن استبدل أحد العدادين باثنين آخرين على يمينه، ليصبح الناتج:

يمكننا الآن إزالة أحد العدادات في الصف العلوي مع وجود العداد المتبقي في الصف السفلي:

11010 = 26

		↓

ثم اقرأ 26، وهي النتيجة النهائية.

بعض خصائص الشبكة

على عكس الجمع والطرح، تُستخدم الشبكة بأكملها للضرب والقسمة واستخراج الجذور التربيعية. تتميز الشبكة ببعض الخصائص المفيدة التي تُستغل في هذه العمليات. أولًا، جميع المربعات على أي قطر يمتد من أسفل اليسار إلى أعلى اليمين لها القيمة نفسها.

		256				32
	256				16	16
256				16		8
			16			4
		16				2
	16					1
32	16	8	4	2	1

بما أن الحركة القطرية يمكن تقسيمها إلى حركة إلى اليمين (والتي تقلل القيمة إلى النصف) متبوعة بحركة إلى الأعلى (والتي تضاعف القيمة)، فإن قيمة المربع تظل كما هي.

بالإضافة إلى خاصية القطر هذه، هناك طريقة سريعة لتقسيم الأرقام على الحواف السفلية واليمنى للشبكة.

32 ÷ 8

						32
						16
						8
			→	→	→	4
						2
						1
32	16	8	4	2	1

لإجراء عملية 32 ÷ 8، نضع المقسوم 32 على الجانب الأيمن والمقسوم عليه 8 على الحافة السفلية للشبكة. نمد قطراً من المقسوم إلى المربع الذي يتقاطع فيه مع خط عمودي للمقسوم عليه، فيكون الناتج عند الطرف الأيمن للشبكة من هذا المربع، وهو في هذا المثال 4.

هذا صحيح، فالتحرك على طول القطر لا يغير القيمة؛ فقيمة المربع عند نقطة التقاطع تبقى هي المقسوم. وبالتالي، المقسوم هو حاصل ضرب المربعين على طول الحافتين السفلية واليمنى. وبما أن المربع على الحافة السفلية هو المقسوم عليه، فإن المربع على الحافة اليمنى هو ناتج القسمة.

لضرب عددين ثنائيين، حدد أولاً العددين في أسفل ويمين الجدول. لنفترض أننا نريد ضرب 22 (= 10110) في 9 (= 1001).

والآن ضع عدادات عند كل "تقاطع" بين الصفوف الرأسية والأفقية للرقم 1 في كل عدد.

						1
						0
						0
						1
	1	0	1	1	0

لاحظ أن كل صف من العدادات على الشبكة هو ببساطة 22 مضروبًا في قوة ما للعدد اثنين. في الواقع، القيمة الإجمالية للعدادات هي مجموع صفين.

22 × 8 + 22 × 1 = 22 × (8 + 1) = 22 × 9

لذا فإن العدادات الموجودة على اللوحة تمثل في الواقع ناتج ضرب الرقمين، إلا أنه لا يمكن "قراءة" الإجابة بعد.

تذكر أن تحريك العدادات بشكل قطري لا يغير القيمة، لذا حرك جميع العدادات الموجودة في المربعات الداخلية بشكل قطري حتى تصل إما إلى الصف السفلي أو العمود الأيسر.

الآن، نُكرر نفس الخطوات التي اتبعناها في عملية الجمع. نستبدل عدّادين في المربع بعداد واحد على يساره. إذا كان المربع في العمود الأيسر، نستبدل عدّادين بعداد واحد فوقه . تذكر أن قيمة المربع تتضاعف عند تحريكه للأعلى، لذا لن تتغير القيمة في الشبكة.

لنقم أولاً باستبدال العدادين الموجودين في المربع الثاني في الأسفل بعداد واحد إلى يساره، مما يترك عدادين في الزاوية.

	←

وأخيرًا، استبدل العدادين الموجودين في الزاوية بعداد واحد فوقهما واقرأ الرقم الثنائي بطريقة على شكل حرف L، بدءًا من الزاوية العلوية اليسرى وصولًا إلى الزاوية السفلية اليسرى، ثم إلى الزاوية السفلية اليمنى.

النتيجة 11000110

1
1
	↑
	0	0	0	1	1	0

اقرأ العدادات على طول حرف L، لكن لا تحسب المربع الزاوي مرتين. ستقرأ النتيجة الثنائية 11000110 = 198، وهي في الواقع 22 × 9.

لماذا يمكننا قراءة العدد الثنائي بهذا الشكل الشبيه بحرف L؟ الصف السفلي يمثل بالطبع القوى الست الأولى للعدد اثنين، لكن لاحظ أن العمود الأيسر يحتوي على القوى الخمس التالية للعدد اثنين. لذا، يمكننا قراءة عدد ثنائي مكون من 11 خانة مباشرةً من مجموعة المربعات الإحدى عشرة على شكل حرف L، والتي تقع على الجانبين الأيسر والسفلي من الشبكة.

لا يمكن لشبكتنا الصغيرة 6x6 ضرب سوى عددين يصل كل منهما إلى 63، وبشكل عام، يمكن لشبكة n x n ضرب عددين يصل كل منهما إلى 2 ⁿ - 1. يتوسع هذا بسرعة كبيرة، لذا فإن لوحة بها 20 رقمًا لكل جانب، على سبيل المثال، يمكنها ضرب عددين يصل كل منهما إلى ما يزيد قليلاً عن مليون.

قدم مارتن غاردنر نسخة أسهل قليلاً للفهم ^{[ 2 ]} من طريقة القسمة لنابير، وهي ما يظهر هنا.

القسمة هي عكس الضرب تقريبًا. لنفترض أننا نريد قسمة 485 على 13. أولًا، نضع عدادات العدد 485 (= 111100101) على طول الحافة السفلية، ونضع علامة العدد 13 (= 1101) على طول الحافة اليمنى. لتوفير المساحة، سنكتفي بالنظر إلى جزء مستطيل من اللوحة، لأنه الجزء الوحيد الذي نستخدمه فعليًا.

485 ÷ 13

									1
									1
									0
									1

بدءاً من اليسار، تتمثل اللعبة في تحريك القطع بشكل قطري إلى "أعمدة من القواسم" (أي، مع وجود قطعة واحدة في كل صف تحمل الرقم 1 من القاسم). دعونا نوضح ذلك باستخدام كتلة القطع الموجودة في أقصى اليسار.

									1
									1
									0
									1
			↑

الآن، قد نبدأ المجموعة التالية من العدادات التي قد نجربها بالعداد الأيسر في الأسفل، وقد نحاول شيئًا مثل

									1
					؟				1
									0
					؟				1

باستثناء أنه ليس لدينا أي عدادات يمكننا تحريكها قطريًا من الحافة السفلية إلى المربعات التي من شأنها أن تشكل بقية "عمود القواسم".

في مثل هذه الحالات، نقوم بدلاً من ذلك بمضاعفة العداد في الصف السفلي وتشكيل عمود واحد إلى اليمين. وكما سترى قريباً، سيكون من الممكن دائماً تشكيل عمود بهذه الطريقة. لذا، استبدل أولاً العداد الموجود في الأسفل بالعداد الموجود على يمينه.

									1
									1
									0
									1
		→

ثم حرك واحدة بشكل قطري إلى أعلى العمود، وحرك عدادًا آخر موجودًا على حافة اللوحة إلى مكانه.

									1
						؟			1
									0
									1
						↑

يبدو أنه لا يزال ليس لدينا عداد على الحافة السفلية للتحرك قطريًا إلى المربع المتبقي، ولكن لاحظ أنه يمكننا بدلاً من ذلك مضاعفة العداد الأيسر مرة أخرى ثم تحريكه إلى المربع المطلوب.

									1
						؟			1
									0
									1
			→

والآن حرك عدادًا واحدًا قطريًا إلى المكان الذي نريده.

									1
									1
									0
									1

لننتقل الآن إلى بناء العمود التالي. لاحظ مرة أخرى أن نقل العداد الأيسر إلى أعلى العمود لا يترك عددًا كافيًا من العدادات في الأسفل لملء المربعات المتبقية.

									1
							؟		1
									0
							؟		1

لذا، نضاعف العداد وننقله قطريًا إلى العمود المجاور. لننقل أيضًا العداد الموجود في أقصى اليمين إلى العمود، وإليك كيف يبدو بعد هذه الخطوات.

									1
								؟	1
									0
									1
				→				↑

لا يزال لدينا مربع مفقود، لكننا سنضاعف جهودنا مرة أخرى وننقل العداد إلى هذا المكان، وننتهي بـ

			1	0	0	1	0	1
									1
									1
									0
									1
					→

في هذه المرحلة، يكون العداد الموجود على الحافة السفلية بعيدًا جدًا إلى اليمين بحيث لا يمكنه الانتقال قطريًا إلى أعلى أي عمود، مما يشير إلى أننا انتهينا.

تُقرأ النتيجة من الأعمدة - يُعامل كل عمود يحتوي على عدادات على أنه 1، والأعمدة الفارغة على أنها 0. لذا، تكون النتيجة 100101 (= 37)، والباقي هو القيمة الثنائية لأي عدادات متبقية على طول الحافة السفلية. يوجد عداد واحد في العمود الثالث من اليمين، لذا نقرأه على أنه 100 (= 4)، فنحصل على 485 ÷ 13 = 37 والباقي 4.

• جيتون

• محاكاة حساب الموقع باستخدام جافا سكريبت