نظام الأرقام

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( يناير 2011 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

جزء من سلسلة عن
أنظمة الأرقام
تدوين القيمة المكانية الأرقام الهندية العربية العربية الغربية العربية الشرقية البنغالية ديفاناجاري الغوجاراتية جورموكي أوديا السنهالية التاميلية المالايالامية التيلجو كانادا دزونغا التبتية بالينيزي البورمية الجاوية الخميرية لاو المنغولية اللغة السوندانية تايلاندي أنظمة شرق آسيا معاصر الصينية هوكين سوتشو اليابانية كوري الفيتنامية تاريخي قضبان العد تانغوت أنظمة أخرى تاريخ عتيق البابلي ما بعد الكلاسيكية السيسترسي المايا مويسكا خماسي كويبو جلال الدين الرومي معاصر شيروكي كاكتوفيك (إينوبياك) حسب الجذر/القاعدة الجذور/القواعد المشتركة 2 3 4 5 6 8 10 12 16 20 60 الجذور/القواعد غير القياسية ثنائي الاتجاه  ( 1 ) رقم موقّع  ( ثلاثي متوازن ) مختلط  ( عاملي ) سلبي مجمع  ( 2 )​ عدد غير صحيح  ( φ ) غير متماثل
تدوين القيمة والعلامة غير أبجدي بحر ايجه علية أزتيك براهمي تشوفاش مصري إتروسكان خاروستي العد ما قبل التاريخ الكتابة المسمارية البدائية روماني علامات العد أبجدي أبجد الأرمنية أبجدي مقطعي أكساراباللي أريابهاتا كاتابايادي قبطية السيريلية الجعزية جورجي غلاغوليتيك اليونانية العبرية
قائمة الأنظمة العددية
ف ت هـ

نظام الأرقام هو نظام كتابة للتعبير عن الأرقام؛ أي أنه نظام رياضي لتمثيل أرقام مجموعة معينة، باستخدام الأرقام أو الرموز الأخرى بطريقة متسقة.

قد تمثل نفس تسلسل الرموز أرقامًا مختلفة في أنظمة رقمية مختلفة. على سبيل المثال، يمثل "11" الرقم أحد عشر في النظام العددي العشري أو النظام العددي الأساسي 10 (اليوم، النظام الأكثر شيوعًا على مستوى العالم)، والرقم ثلاثة في النظام العددي الثنائي أو النظام العددي الأساسي 2 (المستخدم في أجهزة الكمبيوتر الحديثة)، والرقم اثنان في النظام العددي الأحادي (المستخدم في جمع النتائج).

الرقم الذي يمثله الرقم يسمى قيمته. لا يمكن لجميع أنظمة الأرقام تمثيل نفس مجموعة الأرقام؛ على سبيل المثال، لا يمكن للأرقام الرومانية تمثيل الرقم صفر.

من الناحية المثالية، فإن نظام الأرقام سوف:

• تمثل مجموعة مفيدة من الأرقام (على سبيل المثال جميع الأعداد الصحيحة أو الأرقام النسبية )
• إعطاء كل رقم ممثل تمثيلًا فريدًا (أو على الأقل تمثيلًا قياسيًا)
• يعكس البنية الجبرية والحسابية للأرقام .

على سبيل المثال، يعطي التمثيل العشري المعتاد لكل عدد طبيعي غير صفري تمثيلًا فريدًا كتسلسل محدود من الأرقام، بدءًا برقم غير صفري.

تسمى الأنظمة العددية أحيانًا أنظمة الأعداد ، ولكن هذا الاسم غامض، لأنه قد يشير إلى أنظمة أعداد مختلفة، مثل نظام الأعداد الحقيقية ، ونظام الأعداد المركبة ، وأنظمة الأعداد الفائقة التعقيد ، ونظام الأعداد p -adic ، وما إلى ذلك. ومع ذلك، فإن مثل هذه الأنظمة ليست موضوع هذه المقالة.

This section needs expansion. You can help by adding to it. (July 2024)

يُعتبر أول نظام رقمي مكتوب حقيقي هو نظام الأرقام الهندوسي العربي . تأسس هذا النظام في القرن السابع في الهند، ^[1] لكنه لم يكن في شكله الحديث بعد لأن استخدام الرقم صفر لم يكن مقبولًا على نطاق واسع بعد. بدلاً من الصفر، كانت الأرقام تُميز أحيانًا بنقاط للإشارة إلى أهميتها، أو تُستخدم مسافة كعلامة مكانية. كان أول استخدام معترف به على نطاق واسع للصفر في عام 876. ^[2] كانت الأرقام الأصلية مشابهة جدًا للأرقام الحديثة، حتى في الحروف المستخدمة لتمثيل الأرقام. ^[1]

بحلول القرن الثالث عشر، تم قبول الأرقام العربية الغربية في الدوائر الرياضية الأوروبية ( استخدمها فيبوناتشي في كتابه Liber Abaci ). بدأت تدخل الاستخدام الشائع في القرن الخامس عشر. ^[3] بحلول نهاية القرن العشرين، تم إجراء جميع الحسابات غير المحوسبة تقريبًا في العالم بالأرقام العربية، والتي حلت محل أنظمة الأرقام الأصلية في معظم الثقافات.

إن العمر الدقيق لأرقام المايا غير واضح، ولكن من الممكن أن تكون أقدم من النظام الهندوسي العربي. كان النظام فيجيسيمال (الأساس 20)، لذا فهو يتكون من عشرين رقمًا. استخدم المايا رمزًا صدفيًا لتمثيل الصفر. كانت الأرقام تُكتب عموديًا، مع وضع الآحاد في الأسفل. لم يكن لدى المايا ما يعادل الفاصلة العشرية الحديثة ، لذا لم يكن نظامهم قادرًا على تمثيل الكسور. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

نظام الأرقام التايلاندي مطابق لنظام الأرقام الهندوسي العربي باستثناء الرموز المستخدمة لتمثيل الأرقام. أصبح استخدام هذه الأرقام أقل شيوعًا في تايلاند مما كان عليه في السابق، لكنها لا تزال تُستخدم جنبًا إلى جنب مع الأرقام العربية. ^[4]

الأرقام القضيبية، الأشكال المكتوبة لقضبان العد التي استخدمها علماء الرياضيات الصينيون واليابانيون ذات يوم ، هي نظام موضعي عشري يستخدم لإجراء الحسابات العشرية. توضع القضبان على لوحة العد وتنزلق للأمام أو للخلف لتغيير المكان العشري. تقدم Sūnzĭ Suànjīng ، وهي أطروحة رياضية يرجع تاريخها إلى ما بين القرنين الثالث والخامس الميلاديين، تعليمات مفصلة للنظام، والذي يُعتقد أنه كان قيد الاستخدام منذ القرن الرابع قبل الميلاد على الأقل. ^[5] لم يتم التعامل مع الصفر في البداية كرقم، ولكن كموضع شاغر. ^[6] قدمت المصادر اللاحقة اتفاقيات للتعبير عن الصفر والأرقام السالبة. تم إثبات استخدام الرمز الدائري 〇 للصفر لأول مرة في الأطروحة الرياضية في تسعة أقسام عام 1247 م. ^[7] أصل هذا الرمز غير معروف؛ ربما تم إنتاجه عن طريق تعديل رمز مربع. ^[8] لا تزال أرقام سوتشو ، وهي سليلة أرقام القضبان، مستخدمة حتى اليوم لبعض الأغراض التجارية. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

أرقام القضبان (عمودية)

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
-0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9

النظام الأكثر استخدامًا للأرقام هو النظام العشري . يُنسب إلى علماء الرياضيات الهنود تطوير النسخة الصحيحة، نظام الأرقام الهندوسي العربي . ^[9] طور أريابهاتا من كوسومابورا تدوين القيمة المكانية في القرن الخامس وبعد قرن من الزمان قدم براهماجوبتا رمز الصفر. انتشر النظام ببطء إلى مناطق أخرى مجاورة مثل شبه الجزيرة العربية بسبب أنشطتهم التجارية والعسكرية مع الهند. قام علماء الرياضيات في الشرق الأوسط بتوسيع النظام ليشمل القوى السالبة لـ 10 (الكسور)، كما هو مسجل في أطروحة لعالم الرياضيات السوري أبو الحسن الإقليدي في 952-953، وتم تقديم تدوين النقطة العشرية ^{[ متى؟ ]} بواسطة سند بن علي ، الذي كتب أيضًا أقدم أطروحة عن الأرقام العربية. انتشر نظام الأرقام الهندوسي العربي بعد ذلك إلى أوروبا بسبب تجارة التجار، وتُسمى الأرقام المستخدمة في أوروبا بالأرقام العربية ، حيث تعلموها من العرب.

أبسط نظام عددي هو نظام الأعداد الأحادي ، حيث يتم تمثيل كل عدد طبيعي بعدد مماثل من الرموز. إذا تم اختيار الرمز / ، على سبيل المثال، فسيتم تمثيل الرقم سبعة بواسطة /////// . تمثل علامات العد أحد هذه الأنظمة التي لا تزال قيد الاستخدام الشائع. النظام الأحادي مفيد فقط للأعداد الصغيرة، على الرغم من أنه يلعب دورًا مهمًا في علوم الكمبيوتر النظرية . يعبر ترميز جاما إلياس ، والذي يستخدم عادةً في ضغط البيانات ، عن أرقام ذات أحجام عشوائية باستخدام الأحادي للإشارة إلى طول الرقم الثنائي.

يمكن اختصار الترميز الأحادي عن طريق إدخال رموز مختلفة لقيم جديدة معينة. وعادةً ما تكون هذه القيم قوى للرقم 10؛ على سبيل المثال، إذا كان / يرمز إلى واحد، و- يرمز إلى عشرة، و+ يرمز إلى 100، فيمكن تمثيل الرقم 304 بشكل مضغوط على هيئة +++ //// والرقم 123 على هيئة + − − /// دون الحاجة إلى الصفر. وهذا ما يسمى ترميز الإشارة والقيمة . وكان نظام الأرقام المصري القديم من هذا النوع، وكان نظام الأرقام الروماني تعديلاً لهذه الفكرة.

إن الأنظمة التي تستخدم اختصارات خاصة لتكرار الرموز أكثر فائدة؛ على سبيل المثال، باستخدام الحروف التسعة الأولى من الأبجدية لهذه الاختصارات، حيث يرمز الحرف A إلى "تكرار واحد"، والحرف B إلى تكرارين، وهكذا، يمكننا كتابة C+D/ للرقم 304 (يُطلق على عدد هذه الاختصارات أحيانًا اسم قاعدة النظام). ويُستخدم هذا النظام عند كتابة الأرقام الصينية وغيرها من الأرقام في شرق آسيا المستندة إلى الصينية. ونظام الأرقام في اللغة الإنجليزية من هذا النوع ("ثلاثمائة [و] أربعة")، وكذلك أنظمة الأرقام في اللغات المنطوقة الأخرى، بغض النظر عن الأنظمة المكتوبة التي تبنتها. ومع ذلك، تستخدم العديد من اللغات مزيجًا من القواعد والميزات الأخرى، على سبيل المثال، 79 في الفرنسية هي soixante dix-neuf ( 60 + 10 + 9 ) وفي الويلزية هي pedwar ar bymtheg a thrigain ( 4 + (5 + 10) + (3 × 20) ) أو (قديم إلى حد ما) pedwar ugain namyn un ( 4 × 20 − 1 ). في اللغة الإنجليزية، يمكن للمرء أن يقول "أربعة عشر أقل من واحد"، كما في خطاب جيتيسبيرج الشهير الذي يمثل "قبل 87 عامًا" على أنه "قبل أربع وسبعين عامًا".

أكثر أناقة هو نظام موضعي ، والمعروف أيضًا باسم تدوين القيمة المكانية. يتم تصنيف الأنظمة الموضعية حسب قاعدتها أو نظامها الأساسي ، وهو عدد الرموز التي تسمى الأرقام التي يستخدمها النظام. في الأساس 10، يتم استخدام عشرة أرقام مختلفة 0، ...، 9 ويتم استخدام موضع الرقم للإشارة إلى قوة العشرة التي سيتم ضرب الرقم بها، كما في 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1 أو بشكل أكثر دقة 3×10 ² + 0×10 ¹ + 4×10 ^0. الصفر، الذي ليس ضروريًا في الأنظمة الأخرى، له أهمية حاسمة هنا، من أجل القدرة على "تخطي" قوة. نظام الأرقام الهندوسي العربي، الذي نشأ في الهند ويُستخدم الآن في جميع أنحاء العالم، هو نظام موضعي ذو قاعدة 10.

إن الحساب أسهل بكثير في الأنظمة الموضعية مقارنة بالأنظمة الجمعيّة السابقة؛ وعلاوة على ذلك، تحتاج الأنظمة الجمعيّة إلى عدد كبير من الرموز المختلفة للقوى المختلفة للرقم 10؛ يحتاج النظام الموضعي إلى عشرة رموز مختلفة فقط (على افتراض أنه يستخدم القاعدة 10). ^[10]

يُستخدم النظام العشري الموضعي حاليًا على نطاق واسع في الكتابة البشرية. كما يُستخدم أيضًا الأساس 1000 (وإن لم يكن عالميًا)، وذلك بتجميع الأرقام واعتبار تسلسل من ثلاثة أرقام عشرية رقمًا واحدًا. وهذا هو معنى الترميز الشائع 1,000,234,567 المستخدم للأعداد الكبيرة جدًا.

في أجهزة الكمبيوتر، تعتمد أنظمة الأرقام الرئيسية على نظام المواضع في الأساس 2 ( نظام الأرقام الثنائية )، مع رقمين ثنائيين ، 0 و1. تُستخدم عادةً أنظمة المواضع التي يتم الحصول عليها عن طريق تجميع الأرقام الثنائية بثلاثة ( نظام الأرقام الثماني ) أو أربعة ( نظام الأرقام السداسي عشر ). بالنسبة للأعداد الصحيحة الكبيرة جدًا، تُستخدم القواعد 2 ³² أو 2 ⁶⁴ (تجميع الأرقام الثنائية حسب 32 أو 64، طول كلمة الآلة )، كما هو الحال، على سبيل المثال، في GMP .

في بعض الأنظمة البيولوجية، يتم استخدام نظام الترميز الأحادي . تُستخدم الأرقام الأحادية في الدوائر العصبية المسؤولة عن إنتاج أصوات الطيور . ^[11] النواة الموجودة في دماغ الطيور المغردة والتي تلعب دورًا في كل من التعلم وإنتاج أصوات الطيور هي HVC ( مركز الصوت العالي ). تنبع إشارات الأوامر لنغمات مختلفة في أصوات الطيور من نقاط مختلفة في HVC. يعمل هذا الترميز كترميز فضائي وهي استراتيجية فعالة للدوائر البيولوجية نظرًا لبساطتها وقوتها المتأصلة.

يمكن تقسيم الأرقام المستخدمة عند كتابة الأرقام بالأرقام أو الرموز إلى نوعين يمكن تسميتهما بالأرقام الحسابية (0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9) والأرقام الهندسية (1، 10، 100، 1000، 10000 ...)، على التوالي. تستخدم أنظمة القيمة والإشارة الأرقام الهندسية فقط وتستخدم أنظمة المواضع الأرقام الحسابية فقط. لا يحتاج نظام القيمة والإشارة إلى أرقام حسابية لأنها تتكون من التكرار (باستثناء النظام الأيوني )، ولا يحتاج نظام المواضع إلى أرقام هندسية لأنها تتكون من الموضع. ومع ذلك، تستخدم اللغة المنطوقة الأرقام الحسابية والهندسية .

في بعض مجالات علوم الكمبيوتر، يتم استخدام نظام موضعي معدّل بقاعدة k ، يُسمى الترقيم الثنائي ، حيث يتم تمثيل الأرقام 1، 2، ...، k ( k ≥ 1 )، والصفر بسلسلة فارغة. يؤدي هذا إلى إنشاء تطابق ثنائي بين مجموعة كل سلاسل الأرقام هذه ومجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة، وتجنب عدم التفرد الناجم عن الأصفار الأولية. يُطلق على الترقيم الثنائي بقاعدة k أيضًا تدوين k -adic، ولا ينبغي الخلط بينه وبين الأرقام p -adic . الترقيم الثنائي بقاعدة 1 هو نفسه الأحادي.

في نظام الأعداد الأساسية الموضعية b (حيث b هو عدد طبيعي أكبر من 1 يُعرف باسم الأساس أو قاعدة النظام)، تُستخدم رموز (أو أرقام) أساسية b تتوافق مع أول أعداد طبيعية b بما في ذلك الصفر. لتوليد بقية الأرقام، يُستخدم موضع الرمز في الشكل. الرمز الموجود في الموضع الأخير له قيمته الخاصة، ومع تحركه إلى اليسار تُضرب قيمته في b .

على سبيل المثال، في النظام العشري (القاعدة 10)، الرقم 4327 يعني ( 4 ×10 ³ ) + ( 3 ×10 ² ) + ( 2 ×10 ¹ ) + ( 7 ×10 ⁰ ) ، مع ملاحظة أن 10 ⁰ = 1 .

بشكل عام، إذا كان b هو الأساس، فيُكتب رقم في النظام العددي للأساس b من خلال التعبير عنه في الصورة a _n b ⁿ + a _{n − 1} b ^{n − 1} + a _{n − 2} b ^{n − 2} + ... + a ₀ b ⁰ وكتابة الأرقام المعدودة a _n a _{n − 1} a _{n − 2} ... a ₀ بترتيب تنازلي. الأرقام هي أرقام طبيعية بين 0 و b − 1 ، شاملة.

إذا ناقش نص (مثل هذا النص) قواعد متعددة، وإذا كان هناك غموض، تتم إضافة القاعدة (الممثلة في الأساس 10) أسفل الرقم إلى يمينه، مثل هذا: number _base . ما لم يتم تحديد ذلك في السياق، تعتبر الأرقام التي لا تحتوي على أسفل أرقامًا عشرية.

من خلال استخدام نقطة لتقسيم الأرقام إلى مجموعتين، يمكن للمرء أيضًا كتابة الكسور في النظام الموضعي. على سبيل المثال، يشير الرقم 10.11 ذو القاعدة 2 إلى 1×2 ¹ + 0×2 ⁰ + 1×2 ⁻¹ + 1×2 ⁻² = 2.75 .

بشكل عام، الأرقام في النظام الأساسي b تكون على الشكل التالي:

${\displaystyle (a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots )_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}.}$

الأرقام b ^k و b ^{− k} هي أوزان الأرقام المقابلة. الموضع k هو لوغاريتم الوزن المقابل w ، أي . الموضع الأعلى استخدامًا هو الموضع القريب من ترتيب حجم الرقم. ${\displaystyle k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}}$

كان عدد علامات العد المطلوبة في نظام الأعداد الأحادي لوصف الوزن هو w . وفي النظام الموضعي، يكون عدد الأرقام المطلوبة لوصفه فقط ، لـ k ≥ 0. على سبيل المثال، لوصف الوزن 1000، يلزم وجود أربعة أرقام لأن . وعدد الأرقام المطلوبة لوصف الموضع هو (في المواضع 1، 10، 100،... فقط من أجل التبسيط في مثال النظام العشري). ${\displaystyle k+1=\log _{b}w+1}$${\displaystyle \log _{10}1000+1=3+1}$${\displaystyle \log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|rrrrrrr}{\text{Position}}&3&2&1&0&-1&-2&\cdots \\\hline {\text{Weight}}&b^{3}&b^{2}&b^{1}&b^{0}&b^{-1}&b^{-2}&\cdots \\{\text{Digit}}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&c_{1}&c_{2}&\cdots \\\hline {\text{Decimal example weight}}&1000&100&10&1&0.1&0.01&\cdots \\{\text{Decimal example digit}}&4&3&2&7&0&0&\cdots \end{array}}}$

يكون للعدد توسع منتهٍ أو متكرر إذا وفقط إذا كان نسبيًا ؛ وهذا لا يعتمد على القاعدة. العدد الذي ينتهي عند قاعدة واحدة قد يتكرر عند أخرى (وبالتالي 0.3 ₁₀ = 0.0100110011001... ₂ ). يظل العدد غير النسبي غير دوري (مع عدد لا نهائي من الأرقام غير المتكررة) في جميع القواعد الصحيحة. وبالتالي، على سبيل المثال في القاعدة 2، يمكن كتابة π = 3.1415926... ₁₀ على أنها غير دورية 11.001001000011111... ₂ .

إن وضع النقاط الزائدة ، n ، أو النقاط، ṅ ، فوق الأرقام المشتركة هو اتفاقية تُستخدم لتمثيل التوسعات النسبية المتكررة. وبالتالي:

14/11 = 1.272727272727... = 1. 27   أو 321.3217878787878... = 321.321 78 .

إذا كان b = p عددًا أوليًا ، فيمكن تعريف أعداد ذات قاعدة p والتي لا يتوقف توسعها إلى اليسار أبدًا؛ وتسمى هذه الأعداد بالأعداد ذات القاعدة p .

من الممكن أيضًا تعريف تباين للقاعدة b حيث قد تكون الأرقام موجبة أو سالبة؛ وهذا ما يسمى بالتمثيل بالأرقام الموقعة .

الأكثر عمومية هو استخدام تدوين الجذر المختلط (مكتوب هنا little-endian ) مثل ، وما إلى ذلك. ${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}}$${\displaystyle a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}}$

يُستخدم هذا في Punycode ، ومن جوانبه تمثيل تسلسل من الأعداد الصحيحة غير السالبة ذات الحجم التعسفي في شكل تسلسل بدون فواصل، من "أرقام" من مجموعة من 36: a–z و0–9، تمثل 0–25 و26–35 على التوالي. هناك أيضًا ما يسمى بقيم العتبة ( ) والتي تكون ثابتة لكل موضع في الرقم. الرقم (في موضع معين في الرقم) الذي يكون أقل من قيمة العتبة المقابلة له يعني أنه الرقم الأكثر أهمية، وبالتالي في السلسلة يكون هذا هو نهاية الرقم، والرمز التالي (إذا كان موجودًا) هو الرقم الأقل أهمية في الرقم التالي. ${\displaystyle t_{0},t_{1},\ldots }$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$

على سبيل المثال، إذا كانت قيمة العتبة للرقم الأول هي b (أي 1) فإن a (أي 0) تشير إلى نهاية الرقم (له رقم واحد فقط)، لذلك في الأرقام التي تحتوي على أكثر من رقم، يكون نطاق الرقم الأول فقط b–9 (أي 1–35)، وبالتالي فإن الوزن b ₁ هو 35 بدلاً من 36. وبشكل عام، إذا كانت t _n هي العتبة للرقم n ، فمن السهل إظهار أن . افترض أن قيم العتبة للرقمين الثاني والثالث هي c (أي 2)، فإن نطاق الرقم الثاني هو a–b (أي 0–1) حيث يكون الرقم الثاني هو الأكثر أهمية، بينما يكون النطاق هو c–9 (أي 2–35) في وجود رقم ثالث. بشكل عام، بالنسبة لأي n ، يكون وزن الرقم ( n  + 1) هو وزن الرقم السابق مرات (36 − عتبة الرقم n ). لذا فإن وزن الرمز الثاني هو . ووزن الرمز الثالث هو . ${\displaystyle b_{n+1}=36-t_{n}}$${\displaystyle 36-t_{0}=35}$${\displaystyle 35(36-t_{1})=35\cdot 34=1190}$

لذا لدينا التسلسل التالي للأرقام التي تحتوي على 3 أرقام على الأكثر:

أ (0)، با (1)، ج أ (2)، ...، 9 أ (35) ، ب ب ​​(36)، ج ب (37)، ...، 9 ب (70)، ب ج أ (71)، ...، 99 أ (1260)، ب ج ب (1261)، ...، 99 ب (2450).

على عكس نظام الأرقام العادي الذي يعتمد على n ، هناك أرقام مثل 9 b حيث يمثل كل من 9 و b الرقم 35؛ ومع ذلك فإن التمثيل فريد من نوعه لأنه غير مسموح باستخدام ac و aca - حيث أن أول a ينهي كل من هذه الأرقام.

تسمح المرونة في اختيار قيم العتبة بتحسين عدد الأرقام اعتمادًا على تكرار حدوث أرقام ذات أحجام مختلفة.

تتوافق الحالة التي تكون فيها جميع قيم العتبة مساوية لـ 1 مع الترقيم الثنائي ، حيث تتوافق الأصفار مع فواصل الأرقام التي تحتوي على أرقام غير صفرية.

• جورج إفراح. التاريخ العالمي للأرقام: من عصور ما قبل التاريخ إلى اختراع الكمبيوتر ، وايلي، 1999. ISBN 0-471-37568-3 . 
• د. كنوث . فن برمجة الكمبيوتر . المجلد 2، الطبعة الثالثة. أديسون ويسلي . ص 194-213، "أنظمة الأرقام الموضعية".
• AL Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876–1960)، دليل الهنود في كاليفورنيا، النشرة 78 لمكتب الإثنولوجيا الأمريكية التابع لمؤسسة سميثسونيان (1919)
• جيه بي مالوري؛ دي كيو آدامز، موسوعة الثقافة الهندو أوروبية ، دار فيتزروي ديربورن للنشر، لندن وشيكاغو، 1997.
• هانز جيه نيسن؛ بيتر داميرو؛ روبرت ك. إنجلوند (1993). المحاسبة القديمة: الكتابة المبكرة وتقنيات الإدارة الاقتصادية في الشرق الأدنى القديم . مطبعة جامعة شيكاغو . رقم ISBN 978-0-226-58659-5.
• شماندت-بيسرات، دينيس (1996). كيف نشأت الكتابة . مطبعة جامعة تكساس . رقم ISBN 978-0-292-77704-0.
• زاسلافسكي، كلوديا (1999). أفريقيا مهمة: العدد والنمط في الثقافات الأفريقية . دار شيكاغو للنشر. رقم ISBN 978-1-55652-350-2.

• الوسائط المتعلقة بالأنظمة العددية في ويكيميديا ​​كومنز