العلاقة بين الكتلة والسطوع

في الفيزياء الفلكية ، العلاقة بين الكتلة والسطوع هي معادلة تعطي العلاقة بين كتلة النجم وسطوعه ، لاحظها لأول مرة جاكوب كارل إرنست هالم . ^[1] يتم تمثيل العلاقة بالمعادلة: حيث L _⊙ و M _⊙ هما سطوع الشمس وكتلتها و 1 < a < 6. ^[2] تُستخدم القيمة a = 3.5 عادةً لنجوم النسق الرئيسي . ^[3] تنطبق هذه المعادلة والقيمة المعتادة لـ a = 3.5 فقط على نجوم النسق الرئيسي ذات الكتلة 2 M _⊙ < M < 55 M _⊙ ولا تنطبق على العمالقة الحمراء أو الأقزام البيضاء. عندما يقترب النجم من سطوع إدينجتون، فإن a = 1 . $${\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{a}}$$

باختصار، العلاقات بين النجوم ذات النطاقات المختلفة من الكتلة هي، تقريبًا بشكل جيد، على النحو التالي: ^{[2] [4] [5]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {L}{L_{\odot }}}&\approx 0.23\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{2.3}&(M<0.43M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}}&=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{4}&(0.43M_{\odot }<M<2M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}}&\approx 1.4\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3.5}&(2M_{\odot }<M<55M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}}&\approx 32000{\frac {M}{M_{\odot }}}&(M>55M_{\odot })\end{aligned}}}$$

بالنسبة للنجوم ذات الكتل الأقل من 0.43 M _⊙ ، فإن الحمل الحراري هو عملية نقل الطاقة الوحيدة، لذا تتغير العلاقة بشكل كبير. بالنسبة للنجوم ذات الكتل M  > 55 M _⊙، تتسطح العلاقة وتصبح L  ∝  M ^[2] ولكن في الواقع لا تدوم هذه النجوم لأنها غير مستقرة وتفقد المادة بسرعة بسبب الرياح الشمسية الشديدة. يمكن إثبات أن هذا التغيير يرجع إلى زيادة ضغط الإشعاع في النجوم الضخمة. ^[2] يتم تحديد هذه المعادلات تجريبياً من خلال تحديد كتلة النجوم في الأنظمة الثنائية التي تُعرف المسافة إليها من خلال قياسات المنظر القياسي أو التقنيات الأخرى. بعد رسم عدد كافٍ من النجوم، ستشكل النجوم خطًا على رسم بياني لوغاريتمي ويعطي ميل الخط القيمة الصحيحة لـ .

وقد أعطى كونتز ووانج شكلًا آخر صالحًا لنجوم التسلسل الرئيسي من النوع K ، والذي يتجنب الانقطاع في الأس؛ ^[6] ويقرأ: مع ( M في M _⊙ ). وتستند هذه العلاقة إلى بيانات مان وزملائه، ^[7] الذين استخدموا أطيافًا متوسطة الدقة لأقزام قريبة من أواخر K وM ذات المنظر المعروف ونصف قطر محدد بالتداخل لتحسين درجات حرارتها وإضاءتها الفعالة. كما تم استخدام هذه النجوم كعينة معايرة لأجسام مرشحة كيبلر . بالإضافة إلى تجنب الانقطاع في الأس عند M  = 0.43 M _⊙ ، تستعيد العلاقة أيضًا a  = 4.0 لـ M  ≃ 0.85 M _⊙ . $${\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}\approx \left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{a(M)}\qquad \qquad (0.20M_{\odot }<M<0.85M_{\odot })}$$$${\displaystyle a(M)=-141.7\cdot M^{4}+232.4\cdot M^{3}-129.1\cdot M^{2}+33.29\cdot M+0.215}$$

تعتبر علاقة الكتلة/السطوع مهمة لأنه يمكن استخدامها لإيجاد المسافة إلى الأنظمة الثنائية التي تكون بعيدة جدًا عن قياسات المنظر الطبيعي ، باستخدام تقنية تسمى " المنظر الديناميكي ". ^[8] في هذه التقنية، يتم تقدير كتلتي النجمين في نظام ثنائي، عادةً من حيث كتلة الشمس. بعد ذلك، باستخدام قوانين كبلر للميكانيكا السماوية ، يتم حساب المسافة بين النجمين. بمجرد العثور على هذه المسافة، يمكن إيجاد المسافة البعيدة عبر القوس المرسوم في السماء، مما يعطي قياسًا أوليًا للمسافة. من هذا القياس والقدر الظاهري لكلا النجمين، يمكن إيجاد السطوع، وباستخدام علاقة الكتلة-السطوع، كتلة كل نجم. تُستخدم هذه الكتل لإعادة حساب مسافة الفصل، وتتكرر العملية. تتكرر العملية عدة مرات، ويمكن تحقيق دقة تصل إلى 5٪. ^[8] يمكن أيضًا استخدام العلاقة بين الكتلة والسطوع لتحديد عمر النجوم من خلال ملاحظة أن العمر يتناسب تقريبًا مع نسبة الكتلة إلى السطوع، على الرغم من أن المرء يجد أن النجوم الأكثر ضخامة لها أعمار أقصر من تلك التي تتنبأ بها نسبة الكتلة إلى السطوع. يأخذ الحساب الأكثر تطورًا في الاعتبار فقدان النجم للكتلة بمرور الوقت.

يتطلب اشتقاق علاقة دقيقة نظريًا بين الكتلة والسطوع إيجاد معادلة توليد الطاقة وبناء نموذج ترموديناميكي للجزء الداخلي من النجم. ومع ذلك، يمكن اشتقاق العلاقة الأساسية L  ∝  M ³ باستخدام بعض الفيزياء الأساسية وتبسيط الافتراضات. ^[9] تم إجراء أول اشتقاق من هذا القبيل بواسطة عالم الفيزياء الفلكية آرثر إدينجتون في عام 1924. ^[10] أظهر الاشتقاق أنه يمكن نمذجة النجوم تقريبًا على أنها غازات مثالية، وهي فكرة جديدة وجذرية إلى حد ما في ذلك الوقت. ما يلي هو نهج أكثر حداثة إلى حد ما يعتمد على نفس المبادئ.

العامل المهم الذي يتحكم في لمعان النجم (الطاقة المنبعثة لكل وحدة زمنية) هو معدل تبديد الطاقة عبر كتلته. حيث لا يوجد حمل حراري ، يحدث هذا التبديد بشكل أساسي عن طريق انتشار الفوتونات. من خلال دمج قانون فيك الأول على سطح نصف قطر r في منطقة الإشعاع (حيث يوجد حمل حراري مهمل)، نحصل على إجمالي تدفق الطاقة الخارجة والذي يساوي لمعانه وفقًا لقانون الحفاظ على الطاقة : حيث D هو معامل انتشار الفوتونات ، و u هي كثافة الطاقة. $${\displaystyle L=-4\pi \,r^{2}D{\frac {\partial u}{\partial r}}}$$

لاحظ أن هذا يفترض أن النجم ليس حمليًا بالكامل، وأن جميع عمليات توليد الحرارة ( التخليق النووي ) تحدث في اللب، أسفل منطقة الإشعاع. هذان الافتراضين غير صحيحين في العمالقة الحمراء ، التي لا تتبع علاقة الكتلة-السطوع المعتادة. النجوم ذات الكتلة المنخفضة تكون أيضًا حملية بالكامل، وبالتالي لا تتبع القانون.

عند تقريب النجم بواسطة جسم أسود ، تكون كثافة الطاقة مرتبطة بدرجة الحرارة وفقًا لقانون ستيفان بولتزمان : حيث هو ثابت ستيفان بولتزمان ، و c هي سرعة الضوء ، و k _B هو ثابت بولتزمان ، و ثابت بلانك المختزل . $${\displaystyle u={\frac {4}{c}}\,\sigma _{B}\,T^{4}}$$$${\displaystyle \sigma _{B}={\frac {2\pi ^{5}k_{B}^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}$$${\displaystyle \hbar }$

كما هو الحال في نظرية معامل الانتشار في الغازات ، فإن معامل الانتشار D يفي تقريبًا بما يلي: حيث λ هو متوسط ​​المسار الحر للفوتون . $${\displaystyle D={\frac {1}{3}}c\,\lambda }$$

نظرًا لأن المادة متأينة بالكامل في قلب النجم (وكذلك حيث تكون درجة الحرارة بنفس ترتيب المقدار كما هو الحال داخل القلب)، فإن الفوتونات تصطدم بشكل أساسي بالإلكترونات، وبالتالي فإن λ تلبي. إليك كثافة الإلكترون و: هو المقطع العرضي لتشتت الإلكترون والفوتون، وهو يساوي مقطع تومسون . α هو ثابت البنية الدقيقة و m _e كتلة الإلكترون. $${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{n_{e}\sigma _{e\cdot \gamma }}}}$$${\displaystyle n_{e}}$$${\displaystyle \sigma _{e\cdot \gamma }={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {\alpha \hbar c}{m_{e}c^{2}}}\right)^{2}}$$

متوسط ​​كثافة الإلكترون النجمي مرتبط بكتلة النجم M ونصف قطره R $${\displaystyle \langle n_{e}\rangle ={\frac {M}{m_{n}4\pi R^{3}/3}}}$$

أخيرًا، وفقًا لنظرية فيريال ، فإن إجمالي الطاقة الحركية يساوي نصف طاقة الوضع الجاذبية E _G ، لذا إذا كان متوسط ​​كتلة النوى m _n ، فإن متوسط ​​الطاقة الحركية لكل نواة يفي بالشروط التالية: حيث يتم حساب متوسط ​​درجة الحرارة T على النجم و C هو عامل من الدرجة الأولى يتعلق بالبنية النجمية ويمكن تقديره من مؤشر تعدد الأشكال التقريبي للنجم . لاحظ أن هذا لا ينطبق على النجوم الكبيرة بما يكفي، حيث يكون ضغط الإشعاع أكبر من ضغط الغاز في منطقة الإشعاع، وبالتالي فإن العلاقة بين درجة الحرارة والكتلة ونصف القطر مختلفة، كما هو موضح أدناه. $${\displaystyle {\frac {3}{2}}k_{B}T={\frac {1}{2}}E_{G}{\frac {m_{n}}{M}}=C{\frac {3}{10}}{\frac {GMm_{n}}{R}}}$$

ولتلخيص كل شيء، نأخذ أيضًا r ليكون مساويًا لـ R حتى عامل واحد، ونستبدل n _e at r بمتوسطه النجمي حتى عامل واحد. ويكون العامل المجمع تقريبًا 1/15 للشمس، ونحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=-4\pi \,r^{2}D{\frac {\partial u}{\partial r}}\approx 4\pi \,R^{2}D{\frac {u}{R}}\\L&\approx {\frac {1}{15}}{\frac {64\pi ^{2}}{9}}{\frac {\sigma _{B}}{\sigma _{e\cdot \gamma }}}{\frac {R^{4}T^{4}m_{n}}{M}}\\&\approx {\frac {1}{15}}{\frac {2\pi ^{3}}{9\cdot 5^{5}}}{\frac {G^{4}\,m_{e}^{2}\,m_{n}^{5}}{\alpha ^{2}\hbar ^{5}}}\,M^{3}=4\cdot {10^{26}}_{W}\,\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3}\\\end{aligned}}}$$

العامل المضاف يعتمد فعليا على M ، وبالتالي فإن القانون له اعتماد تقريبي. ${\displaystyle M^{3.5}}$

يمكن التمييز بين حالات الكتل النجمية الصغيرة والكبيرة من خلال استخلاص النتائج المذكورة أعلاه باستخدام ضغط الإشعاع. في هذه الحالة، من الأسهل استخدام العتامة البصرية واعتبار درجة الحرارة الداخلية T _I مباشرة؛ وبشكل أكثر دقة، يمكن اعتبار متوسط ​​درجة الحرارة في منطقة الإشعاع . ${\displaystyle \kappa }$

يبدأ الاعتبار بملاحظة العلاقة بين ضغط الإشعاع P _rad والسطوع. إن تدرج ضغط الإشعاع يساوي نقل الزخم الممتص من الإشعاع، مما يعطي: حيث c هي سرعة الضوء. هنا، ؛ متوسط ​​المسار الحر للفوتون. $${\displaystyle {\frac {dP_{rad}}{dr}}=-{\frac {\kappa \rho }{c}}{\frac {L}{4\pi r^{2}}},}$$${\displaystyle 1/\kappa \rho =l}$

يرتبط ضغط الإشعاع بدرجة الحرارة بواسطة ، وبالتالي يتبع ذلك مباشرة أن ${\displaystyle P_{rad}={\frac {4\sigma }{3c}}{T_{I}}^{4}}$$${\displaystyle {T_{I}}^{3}{\frac {dT_{I}}{dr}}=-{\frac {3\kappa \rho }{16\sigma }}{\frac {L}{4\pi r^{2}}},}$$$${\displaystyle L\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R}{\rho }}\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R^{4}}{M}}.}$$

في منطقة الإشعاع، يتم موازنة الجاذبية بالضغط على الغاز القادم من نفسه (تقريبًا بواسطة ضغط الغاز المثالي) ومن الإشعاع. بالنسبة لكتلة نجمية صغيرة بما يكفي، فإن الأخير يمكن إهماله ويصل المرء إلى ما كان عليه من قبل. بتعبير أدق، نظرًا لأن التكامل تم من 0 إلى R، فذلك على الجانب الأيسر، ولكن يمكن إهمال درجة حرارة السطح T _E فيما يتعلق بدرجة الحرارة الداخلية T _I.$${\displaystyle T_{I}\varpropto {\frac {M}{R}}}$$${\displaystyle T_{I}-T_{E}}$

ومن هذا يتبع مباشرة أن$${\displaystyle L\varpropto M^{3}.}$$

بالنسبة لكتلة نجمية كبيرة بما يكفي، يكون ضغط الإشعاع أكبر من ضغط الغاز في منطقة الإشعاع. يؤدي إدخال ضغط الإشعاع، بدلاً من ضغط الغاز المثالي المستخدم أعلاه، إلى: $${\displaystyle {T_{I}}^{4}\varpropto {\frac {M^{2}}{R^{4}}},}$$$${\displaystyle L\varpropto M.}$$

وفقًا للتقريب الأول، فإن النجوم عبارة عن مشعات جسم أسود بمساحة سطح 4 πR ² . وبالتالي، وفقًا لقانون ستيفان بولتزمان ، فإن السطوع مرتبط بدرجة حرارة السطح T _S ، ومن خلاله بلون النجم ، حيث σ _B هو ثابت ستيفان بولتزمان ،$${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma _{B}T_{S}^{4}}$$5.67 × 10 ⁻⁸  واط/م ⁻² كلفن ⁻⁴

إن السطوع يساوي إجمالي الطاقة التي ينتجها النجم لكل وحدة زمنية. ونظرًا لأن هذه الطاقة يتم إنتاجها عن طريق التخليق النووي، وعادةً ما يكون ذلك في قلب النجم (هذا ليس صحيحًا بالنسبة للعمالقة الحمراء )، فإن درجة حرارة القلب مرتبطة بالسطوع من خلال معدل التخليق النووي لكل وحدة حجم: هنا، ε هي إجمالي الطاقة المنبعثة في التفاعل المتسلسل أو دورة التفاعل . هي طاقة ذروة جامو ، والتي تعتمد على E _G ، عامل جامو . بالإضافة إلى ذلك، S ( E )/E هو المقطع العرضي للتفاعل، وn هي كثافة العدد، وهي الكتلة المخفضة لتصادم الجسيمات، و A و B هما النوعان المشاركان في التفاعل المحدد (على سبيل المثال، يمثل كلاهما بروتونًا في تفاعل سلسلة بروتون-بروتون ، أو A بروتون و B$${\displaystyle L={\frac {dE}{dt}}\approx \epsilon \,{\frac {4\pi }{3}}R^{3}\,n_{A}\,n_{B}\,{\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {3m_{R}}}}\,{\sqrt {E_{0}(T)}}{\frac {S(E_{0}(T))}{kT}}e^{-{\frac {3E_{0}(T)}{kT}}}}$$${\textstyle E_{0}=\left({\sqrt {E_{G}}}\,kT/2\right)^{2/3}}$${\displaystyle m_{R}=m_{A}\cdot m_{B}/(m_{A}+m_{B})}$¹⁴
₇ن
نواة دورة CNO ).

نظرًا لأن نصف القطر R هو في حد ذاته دالة على درجة الحرارة والكتلة، فمن الممكن حل هذه المعادلة للحصول على درجة الحرارة الأساسية.