متوسط ​​الانحراف اللوغاريتمي

في الإحصاء والاقتصاد القياسي ، يُعدّ متوسط ​​الانحراف اللوغاريتمي (MLD) مقياسًا لعدم المساواة في الدخل . يكون متوسط ​​الانحراف اللوغاريتمي صفرًا عندما يكون دخل الجميع متساويًا، ويأخذ قيمًا موجبة أكبر كلما زاد التفاوت في الدخل، وخاصةً في الشريحة العليا.

تم تعريف الحد الأدنى لدخل الأسرة على النحو التالي ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mathrm {MLD} ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {\frac {\overline {x}}{x_{i}}}}$

حيث N هو عدد الأسر،${\displaystyle x_{i}}$يمثل دخل الأسرة i ، و${\displaystyle {\overline {x}}}$هو متوسط${\displaystyle x_{i}}$وبطبيعة الحال، يمكن استخدام نفس الصيغة للمتغيرات الإيجابية الأخرى غير الدخل ولوحدات الملاحظة الأخرى غير الأسر.

التعريفات المكافئة هي

${\displaystyle \mathrm {MLD} ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(\ln {\overline {x}}-\ln x_{i})=\ln {\overline {x}}-{\overline {\ln x}}}$

أين${\displaystyle {\overline {\ln x}}}$هو متوسط  ​​ln( x ). يُظهر التعريف الأخير أن MLD غير سالب، لأن${\displaystyle \ln {\overline {x}}\geq {\overline {\ln x}}}$باستخدام متباينة جنسن .

يُطلق على متوسط ​​الانحراف المعياري اسم "الانحراف المعياري لـ ln( x )"، ^{[ 1 ]} (SDL)، ولكن هذا غير صحيح. الانحراف المعياري لـ ln(x) هو

${\displaystyle \mathrm {SDL} ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(\ln x_{i}-{\overline {\ln x}})^{2}}}}$

وهذا لا يساوي MLD.

على وجه الخصوص، إذا كان المتغير عشوائيًا${\displaystyle X}$يتبع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي بمتوسط ​​وانحراف معياري قدره${\displaystyle \log(X)}$كون${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \sigma }$على التوالي، ثم

${\displaystyle EX=\exp\{\mu +\sigma ^{2}/2\}.}$

وبالتالي، فإن MLD يتقارب تقارباً مقارباً إلى:

${\displaystyle \ln\{\exp[\mu +\sigma ^{2}/2]\}-\mu =\sigma ^{2}/2}$

بالنسبة للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي القياسي، يتقارب SDL إلى 1 بينما يتقارب MLD إلى 1/2.

يُعدّ مؤشر MLD حالة خاصة من مؤشر الإنتروبيا المعمم . تحديدًا، يُعتبر مؤشر MLD مؤشر الإنتروبيا المعمم عندما تكون قيمة α تساوي صفرًا.

• مكتب الإحصاء الأمريكي : متوسط ​​الانحراف اللوغاريتمي (MLD)