مؤشر الإنتروبيا المعمم

تم اقتراح مؤشر الإنتروبيا المعمم كمقياس لعدم المساواة في الدخل بين السكان. ^{[ 1 ]} وهو مشتق من نظرية المعلومات كمقياس للتكرار في البيانات. في نظرية المعلومات، يمكن تفسير مقياس التكرار على أنه عدم عشوائية أو ضغط للبيانات ؛ وبالتالي ينطبق هذا التفسير أيضًا على هذا المؤشر. بالإضافة إلى ذلك، تم اقتراح تفسير التنوع البيولوجي على أنه إنتروبيا، مما أدى إلى استخدام الإنتروبيا المعممة لتحديد التنوع البيولوجي كميًا. ^{[ 2 ]}

صيغة الإنتروبيا العامة للقيم الحقيقية لـ${\displaystyle \alpha }$يكون:

$${\displaystyle GE(\alpha )={\begin{cases}{\frac {1}{N\alpha (\alpha -1)}}\sum _{i=1}^{N}\left[\left({\frac {y_{i}}{\overline {y}}}\right)^{\alpha }-1\right],&\alpha \neq 0,1,\\{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\overline {y}}}\ln {\frac {y_{i}}{\overline {y}}},&\alpha =1,\\-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {\frac {y_{i}}{\overline {y}}},&\alpha =0.\end{cases}}}$$ حيث N هو عدد الحالات (مثل الأسر أو العائلات)،${\displaystyle y_{i}}$هو الدخل للحالة i و${\displaystyle \alpha }$هو مُعامل يُنظم الوزن المُعطى للفروقات بين الدخول في أجزاء مختلفة من توزيع الدخل . بالنسبة للقيم الكبيرة${\displaystyle \alpha }$يُعد المؤشر حساسًا بشكل خاص لوجود الدخول الكبيرة، بينما يكون حساسًا بشكل خاص للدخول الصغيرة.${\displaystyle \alpha }$يُعد المؤشر حساساً بشكل خاص لوجود الدخول الصغيرة.

يستوفي مؤشر جنرال إلكتريك الخصائص التالية:

1. المؤشر متناظر في وسائطه:${\displaystyle GE(\alpha ;y_{1},\ldots ,y_{N})=GE(\alpha ;y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})}$لأي تبديل${\displaystyle \sigma }$.
2. يكون المؤشر غير سالب، ويساوي الصفر فقط إذا كانت جميع الدخول متساوية:${\displaystyle GE(\alpha ;y_{1},\ldots ,y_{N})=0}$إذا${\displaystyle y_{i}=\mu }$للجميع${\displaystyle i}$.
3. يفي المؤشر بمبدأ التحويلات : إذا تم إجراء تحويل${\displaystyle \Delta >0}$يتم الحصول عليها من فرد لديه دخل${\displaystyle y_{i}}$إلى شخص آخر لديه دخل${\displaystyle y_{j}}$بحيث${\displaystyle y_{i}-\Delta >y_{j}+\Delta }$إذاً، لا يمكن أن يرتفع مؤشر عدم المساواة.
4. يحقق المؤشر بديهية تكرار السكان: إذا تم تشكيل مجموعة سكانية جديدة عن طريق تكرار المجموعة السكانية الحالية عددًا عشوائيًا من المرات، فإن عدم المساواة يظل كما هو:${\displaystyle GE(\alpha$ ;\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=GE(\alpha ;y_{1},\ldots ,y_{N})}
5. يحقق المؤشر مبدأ استقلال المتوسطات، أو تجانس الدخل: إذا تم ضرب جميع الدخول بثابت موجب، فإن عدم المساواة يبقى كما هو:${\displaystyle GE(\alpha ;y_{1},\ldots ,y_{N})=GE(\alpha ;ky_{1},\ldots ,ky_{N})}$لأي${\displaystyle k>0}$.
6. تُعد مؤشرات المساواة العامة (GE) مؤشرات عدم المساواة الوحيدة القابلة للتحليل الجمعي. ^{[ 1 ]} وهذا يعني أنه يمكن حساب عدم المساواة الإجمالية في المجتمع كمجموع مؤشرات المساواة العامة (GE) المقابلة داخل كل مجموعة، ومؤشر المساواة العامة (GE) لمتوسط ​​دخل المجموعة:$${\displaystyle GE(\alpha ;y_{gi}:g=1,\ldots ,G,i=1,\ldots ,N_{g})=\sum _{g=1}^{G}w_{g}GE(\alpha ;y_{g1},\ldots ,y_{gN_{g}})+GE(\alpha$$ ;\mu _{1},\ldots ,\mu _{G})} حيث${\displaystyle g}$مجموعات الفهارس،${\displaystyle i}$الأفراد داخل المجموعات،${\displaystyle \mu _{g}}$متوسط ​​الدخل في المجموعة${\displaystyle g}$والأوزان${\displaystyle w_{g}}$يعتمد على${\displaystyle \mu _{g},\mu ,N}$و${\displaystyle N_{g}}$تُعدّ فئة مؤشرات المتباينات القابلة للتحليل الجمعي فئةً مقيدة للغاية. فالعديد من المؤشرات الشائعة، بما في ذلك مؤشر جيني ، لا تُحقق هذه الخاصية. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

يمكن اشتقاق مؤشر أتكينسون لأي معامل كراهية عدم المساواة من مؤشر إنتروبيا معمّم في ظل القيد التالي:${\displaystyle \epsilon =1-\alpha }$- أي أن مؤشر أتكينسون ذو النفور العالي من عدم المساواة يُشتق من مؤشر GE ذي قيمة صغيرة${\displaystyle \alpha }$.

صيغة اشتقاق مؤشر أتكينسون مع معامل النفور من عدم المساواة${\displaystyle \epsilon }$بموجب هذا القيد${\displaystyle \epsilon =1-\alpha }$يُعطى بواسطة: $${\displaystyle A=1-[\epsilon (\epsilon -1)GE(\alpha )+1]^{(1/(1-\epsilon ))}\qquad \epsilon \neq 1}$$$${\displaystyle A=1-e^{-GE(\alpha )}\qquad \epsilon =1}$$

تجدر الإشارة إلى أن مؤشر الإنتروبيا المعمم يتضمن عدة مقاييس لعدم المساواة في الدخل كحالات خاصة. على سبيل المثال، GE(0) هو متوسط ​​الانحراف اللوغاريتمي المعروف أيضًا باسم مؤشر ثيل L، وGE(1) هو مؤشر ثيل T ، وGE(2) هو نصف مربع معامل التباين .

• مؤشر أتكينسون
• معامل جيني
• مؤشر هوفر (المعروف أيضاً بمؤشر روبن هود)
• مقاييس عدم المساواة في الدخل
• منحنى لورنز
• إنتروبيا ريني
• مؤشر البدلات
• مؤشر ثيل