متوسط ​​مربع خطأ التنبؤ

في الإحصاء، يُعرف متوسط ​​مربع خطأ التنبؤ ( MSPE )، أو متوسط ​​مربع خطأ التنبؤات ، لإجراءات التنعيم أو ملاءمة المنحنيات أو الانحدار ، بأنه القيمة المتوقعة لمربعات أخطاء التنبؤ ( PE )، أي مربع الفرق بين القيم المتوقعة التي تشير إليها دالة التنبؤ.${\displaystyle {\widehat {g}}}$وقيم القيمة الحقيقية (غير القابلة للملاحظة) g . وهو مقياس عكسي للقوة التفسيرية لـ${\displaystyle {\widehat {g}},}$ويمكن استخدامها في عملية التحقق المتبادل للنموذج المُقدَّر. يتطلب حساب متوسط ​​مربع الخطأ التربيعي بدقة معرفة قيمة g ؛ أما عمليًا، فيتم تقدير متوسط ​​مربع الخطأ التربيعي. ^{[ 1 ]}

إذا كانت عملية التنعيم أو المطابقة تحتوي على مصفوفة إسقاط (أي مصفوفة القبعة) L ، والتي تقوم برسم متجه القيم المرصودة${\displaystyle y}$متجه القيم المتوقعة${\displaystyle {\hat {y}}=Ly,}$ثم يتم صياغة PE و MSPE على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {PE_{i}} =g(x_{i})-{\widehat {g}}(x_{i}),}$

${\displaystyle \operatorname {MSPE} =\operatorname {E} \left[\operatorname {PE} _{i}^{2}\right]=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {PE} _{i}^{2}/n.}$

يمكن تقسيم MSPE إلى مصطلحين: الانحياز التربيعي (متوسط ​​الخطأ) للقيم المُقدَّرة وتباين القيم المُقدَّرة:

${\displaystyle \operatorname {MSPE} =\operatorname {ME} ^{2}+\operatorname {VAR} ,}$

${\displaystyle \operatorname {ME} =\operatorname {E} \left[{\widehat {g}}(x_{i})-g(x_{i})\right]}$

${\displaystyle \operatorname {VAR} =\operatorname {E} \left[\left({\widehat {g}}(x_{i})-\operatorname {E} \left[{g}(x_{i})\right]\right)^{2}\right].}$

تُسمى الكمية SSPE = n MSPE مجموع مربعات أخطاء التنبؤ . أما الجذر التربيعي لمتوسط ​​مربعات أخطاء التنبؤ فهو الجذر التربيعي لـ MSPE: RMSPE = √MSPE .

يمكن حساب متوسط ​​مربع خطأ التنبؤ بدقة في سياقين. أولًا، مع عينة بيانات طولها n ، قد يُجري محلل البيانات تحليل الانحدار على q نقطة بيانات فقط (حيث q < n )، مع استبعاد نقاط البيانات المتبقية ( n – q) لاستخدامها تحديدًا في حساب متوسط ​​مربع خطأ التنبؤ خارج العينة (أي، دون استخدام البيانات المستخدمة في عملية تقدير النموذج). بما أن عملية الانحدار مُصممة خصيصًا لنقاط البيانات الـ q داخل العينة، فعادةً ما يكون متوسط ​​مربع خطأ التنبؤ داخل العينة أصغر من نظيره خارج العينة المحسوب على النقاط المتبقية (n – q) . إذا كانت الزيادة في متوسط ​​مربع خطأ التنبؤ خارج العينة مقارنةً بداخلها طفيفة نسبيًا، فإن ذلك يُعطي انطباعًا إيجابيًا بالنموذج. وإذا كان المطلوب مقارنة نموذجين، فإن النموذج ذو متوسط ​​مربع خطأ التنبؤ الأقل على نقاط البيانات المتبقية (n – q) خارج العينة يُعتبر أكثر إيجابية، بغض النظر عن أداء النموذجين النسبي داخل العينة. إن متوسط ​​مربع الخطأ خارج العينة في هذا السياق دقيق بالنسبة لنقاط البيانات خارج العينة التي تم حسابها عليها، ولكنه مجرد تقدير لمتوسط ​​مربع الخطأ للنموذج بالنسبة للمجتمع غير المرصود في الغالب والذي تم سحب البيانات منه.

ثانيًا، مع مرور الوقت قد تتوفر المزيد من البيانات لمحلل البيانات، ومن ثم يمكن حساب MSPE على هذه البيانات الجديدة.

عندما يتم تقدير النموذج على جميع البيانات المتاحة دون حجب أي منها، يمكن تقدير متوسط ​​مربع الخطأ للنموذج على كامل مجموعة البيانات غير المرصودة في الغالب على النحو التالي.

بالنسبة للنموذج${\displaystyle y_{i}=g(x_{i})+\sigma \varepsilon _{i}}$أين${\displaystyle \varepsilon _{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$يمكن للمرء أن يكتب

${\displaystyle n\cdot \operatorname {MSPE} (L)=g^{\text{T}}(IL)^{\text{T}}(IL)g+\sigma ^{2}\operatorname {tr} \left[L^{\text{T}}L\right].}$

باستخدام قيم البيانات داخل العينة، يكون الحد الأول على الجانب الأيمن مكافئًا لـ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {E} \left[g(x_{i})-{\widehat {g}}(x_{i})\right]\right)^{2}=\operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\widehat {g}}(x_{i})\right)^{2}\right]-\sigma ^{2}\operatorname {tr} \left[\left(IL\right)^{T}\left(IL\right)\right].}$

هكذا،

${\displaystyle n\cdot \operatorname {MSPE} (L)=\operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\widehat {g}}(x_{i})\right)^{2}\right]-\sigma ^{2}\left(n-\operatorname {tr} \left[L\right]\right).}$

لو${\displaystyle \sigma ^{2}}$معروف أو مقدر بشكل جيد بواسطة${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$وبذلك يصبح من الممكن تقدير متوسط ​​مربع الخطأ (MSPE) بواسطة

${\displaystyle n\cdot \operatorname {\widehat {MSPE}} (L)=\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\widehat {g}}(x_{i})\right)^{2}-{\widehat {\sigma }}^{2}\left(n-\operatorname {tr} \left[L\right]\right).}$

وقد دافع كولين مالوز عن هذه الطريقة في بناء إحصائية اختيار النموذج C _p ، وهي نسخة معيارية من MSPE المقدر:

${\displaystyle C_{p}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\widehat {g}}(x_{i})\right)^{2}}{{\widehat {\sigma }}^{2}}}-n+2p.}$

حيث يمثل p عدد المعلمات المقدرة p و${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$يتم حسابها من نسخة النموذج التي تتضمن جميع المتغيرات المستقلة الممكنة. بذلك ينتهي هذا البرهان.

• معيار معلومات أكايكي
• المفاضلة بين الانحياز والتباين
• متوسط ​​مربع الخطأ
• الأخطاء والبواقي في الإحصاء
• قانون التباين الكلي
• مالوز سي _بي
• اختيار الطراز