توزيع قانون القوة اللوغاريتمي الطبيعي المعدل

قد تحتاج هذه المقالة إلى التنظيف لتلبية معايير الجودة الخاصة بويكيبيديا . المشكلة المحددة هي: تنسيق الصيغ الرياضية، وخاصة الخلط غير المناسب بين الويكي وLaTeX. يرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة إذا كان بوسعك ذلك. ( مارس 2018 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

دالة قانون القوة اللوغاريتمية المعدلة ( MLP ) هي دالة ذات ثلاثة معلمات يمكن استخدامها لنمذجة البيانات التي لها خصائص التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي وسلوك قانون القوة . وقد تم استخدامها لنمذجة الشكل الوظيفي لدالة الكتلة الأولية (IMF). وعلى عكس الأشكال الوظيفية الأخرى لدالة الكتلة الأولية، فإن MLP هي دالة واحدة بدون شروط ربط.

الشكل المغلق لدالة كثافة الاحتمال لـMLP هو كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(m)={\frac {\alpha }{2}}\exp \left(\alpha \mu _{0}+{\frac {\alpha ^{2}\sigma _{0}^{2}}{2}}\right)m^{-(1+\alpha )}{\text{erfc}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\alpha \sigma _{0}-{\frac {\ln(m)-\mu _{0}}{\sigma _{0}}}\right)\right)،\m\in [0,\infty )\end{aligned}}}$

حيث هو مؤشر قانون القوة المقارب للتوزيع. هنا و هما المتوسط ​​والتباين، على التوالي، للتوزيع الطبيعي اللوغاريتمي الأساسي الذي تم اشتقاق MLP منه. ${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\delta }{\gamma }}\end{aligned}}}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \sigma _{0}^{2}}$

وفيما يلي بعض الخصائص الرياضية لتوزيع MLP:

يتم إعطاء دالة التوزيع التراكمية MLP ( ) بواسطة:${\displaystyle F(m)=\int _{-\infty }^{m}f(t)\,dt}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(m)={\frac {1}{2}}{\text{erfc}}\left(-{\frac {\ln(m)-\mu _{0}}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\right)-{\frac {1}{2}}\exp \left(\alpha \mu _{0}+{\frac {\alpha ^{2}\sigma _{0}^{2}}{2}}\right)m^{-\alpha }{\text{erfc}}\left({\frac {\alpha \sigma _{0}}{\sqrt {2}}}\left(\alpha \sigma _{0}-{\frac {\ln(m)-\mu _{0}}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\يمين)\يمين)\نهاية{محاذاة}}}$

يمكننا أن نرى ذلك باعتباره دالة التوزيع التراكمية للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي مع المعلمات μ ₀ و σ ₀ . ${\displaystyle m\to 0,}$${\displaystyle \textstyle F(m)\to {\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln(m-\mu _{0})}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\right),}$

القيمة المتوقعة لـ ^k تعطي اللحظة ^الخام لـ ، ${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle M^{k}\rangle =\int _{0}^{\infty }m^{k}f(m)\mathrm {d} m\end{aligned}}}$

هذا موجود إذا وفقط إذا كانت α > ، وفي هذه الحالة يصبح: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle M^{k}\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -k}}\exp \left({\frac {\sigma _{0}^{2}k^{2}}{2}}+\mu _{0}k\right),\ \alpha >k\end{aligned}}}$

وهو اللحظة الخام ^{الثالثة} للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي مع المعلمات μ ₀ وσ ₀ مقاسة بواسطة α ⁄ α- في الحد α→∞. وهذا يعطي متوسط ​​وتباين توزيع MLP: ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle M\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -1}}\exp \left({\frac {\sigma _{0}^{2}}{2}}+\mu _{0}\right),\ \alpha >1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle M^{2}\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -2}}\exp \left(2\left(\sigma _{0}^{2}+\mu _{0}\right)\right),\ \alpha >2\end{aligned}}}$

فار( ) = ⟨ ² ⟩-(⟨ ⟩) ² = α exp(σ ₀ ² + 2μ ₀ ) ( ⁠${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$إكسب(σ ₀ ² )/ألفا-2⁠ - ⁠ألفا/(α-2) ²) ، ألفا > 2

الحل للمعادلة = 0 (معادلة الميل إلى الصفر عند نقطة الحد الأقصى) يعطي منوال توزيع MLP. ${\displaystyle f'(m)}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle f'(m)=0\Leftrightarrow K\operatorname {erfc} (u)=\exp(-u^{2}),}$

أين و${\displaystyle \textstyle u={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\alpha \sigma _{0}-{\frac {\ln m-\mu _{0}}{\sigma _{0}}}\right)}$${\displaystyle K=\sigma _{0}(\alpha +1){\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}.}$

تتطلب هذه المعادلة المتسامية أساليب عددية. ومع ذلك، لاحظ أنه إذا كانت ≈1 فإن u = 0 يعطينا الوضع ^* : ${\displaystyle K}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle m^{*}=\exp(\mu _{0}+\alpha \sigma _{0}^{2})}$

المتغير العشوائي اللوغاريتمي الطبيعي هو:

${\displaystyle {\begin{aligned}L(\mu ,\sigma )=\exp(\mu +\sigma N(0,1))\end{aligned}}}$

حيث هو المتغير العشوائي الطبيعي القياسي. المتغير العشوائي الأسي هو: ${\displaystyle N(0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E(\delta )=-\delta ^{-1}\ln(R(0,1))\end{aligned}}}$

حيث R(0,1) هو المتغير العشوائي المنتظم في الفترة [0,1]. باستخدام هذين، يمكننا استنتاج المتغير العشوائي لتوزيع MLP ليكون:

${\displaystyle {\begin{aligned}M(\mu _{0},\sigma _{0},\alpha )=\exp(\mu _{0}+\sigma _{0}N(0,1)-\alpha ^{-1}\ln(R(0,1)))\end{aligned}}}$

1. باسو، شانتانو؛ جيل، م؛ أودي، ساياتان (1 أبريل 2015). "توزيع MLP: نموذج قانون القوة اللوغاريتمية المعدل لدالة الكتلة الأولية النجمية". مجلة MNRAS . 449 (3): 2413-2420. arXiv : 1503.00023 . رمز Bibcode : 2015MNRAS.449.2413B. doi : 10.1093/mnras/stv445 .