دالة التوزيع التراكمي

أحيانًا، يكون من المفيد دراسة السؤال المعاكس، وهو كم مرة يكون المتغير العشوائي أعلى من مستوى معين. وهذا ما يسمى بـدالة التوزيع التراكمي التكميلية (ccdf ) أو ببساطةتوزيع الذيل أوالتجاوز ، ويُعرَّف بأنه $${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)=\operatorname {P} (X>x)=1-F_{X}(x).}$$

يُستخدم هذا في اختبار الفرضيات الإحصائية ، على سبيل المثال، لأن قيمة p أحادية الجانب هي احتمال الحصول على إحصائية اختبار متطرفة على الأقل مثل الإحصائية المرصودة. وبالتالي، إذا كانت إحصائية الاختبار T لها توزيع مستمر، فإن قيمة p أحادية الجانب تُعطى ببساطة بواسطة دالة التوزيع التراكمي التكميلي (ccdf): لقيمة مرصودة${\displaystyle t}$إحصائية الاختبار $${\displaystyle p=\operatorname {P} (T\geq t)=\operatorname {P} (T>t)=1-F_{T}(t).}$$

في تحليل البقاء ،${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)}$تُسمى دالة البقاء ويُرمز لها بـ${\displaystyle S(x)}$، بينما يُعد مصطلح وظيفة الموثوقية شائعًا في الهندسة .

ملكيات

• بالنسبة لمتغير عشوائي مستمر غير سالب له قيمة متوقعة، تنص متباينة ماركوف على أن ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{x}}.}$$
• مثل${\displaystyle x\to \infty ,{\bar {F}}_{X}(x)\to 0}$وفي الواقع${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)=o(1/x)}$بشرط أن${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$هي محدودة. البرهان: بافتراض${\displaystyle X}$لها دالة كثافة${\displaystyle f_{X}}$، لأي${\displaystyle c>0}$$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx\geq \int _{0}^{c}xf_{X}(x)\,dx+c\int _{c}^{\infty }f_{X}(x)\,dx}$$ثم، عند التعرف$${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(c)=\int _{c}^{\infty }f_{X}(x)\,dx}$$وإعادة ترتيب المصطلحات،$${\displaystyle 0\leq c{\bar {F}}_{X}(c)\leq \operatorname {E} (X)-\int _{0}^{c}xf_{X}(x)\,dx\to 0{\text{ as }}c\to \infty }$$كما هو مزعوم.
• بالنسبة لمتغير عشوائي له قيمة متوقعة،$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }{\bar {F}}_{X}(x)\,dx-\int _{-\infty }^{0}F_{X}(x)\,dx}$$وبالنسبة للمتغير العشوائي غير السالب، يكون الحد الثاني مساوياً للصفر. وإذا كان المتغير العشوائي لا يأخذ إلا قيماً صحيحة غير سالبة، فإن هذا يكافئ ما يلي:$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{n=0}^{\infty }{\bar {F}}_{X}(n).}$$

بينما رسم بياني للتوزيع التراكمي${\displaystyle F}$غالباً ما يكون شكلها على هيئة حرف S، ومن الأمثلة البديلة على ذلك التوزيع التراكمي المطوي أو مخطط الجبل ، الذي يطوي النصف العلوي من الرسم البياني، ^{[ 7 ] [ 8 ]} أي

${\displaystyle F_{\text{fold}}(x)=F(x)1_{\{F(x)\leq 0.5\}}+(1-F(x))1_{\{F(x)>0.5\}}}$

أين${\displaystyle 1_{\{A\}}}$يرمز إلى دالة المؤشر ، بينما يمثل الحد الثاني دالة البقاء ، وبالتالي يستخدم مقياسين، أحدهما للميل الصاعد والآخر للميل الهابط. يُبرز هذا الشكل من التوضيح الوسيط ، والتشتت (وتحديدًا، متوسط ​​الانحراف المطلق عن الوسيط ^{[ 9 ]} )، والالتواء في التوزيع أو النتائج التجريبية.

إذا كانت دالة التوزيع التراكمي F متزايدة تمامًا ومتصلة، فإن${\displaystyle F^{-1}(p),p\in [0,1],}$هو العدد الحقيقي الفريد${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle F(x)=p}$وهذا يُعرّف دالة التوزيع العكسي أو دالة الكمية .

بعض التوزيعات ليس لها معكوس فريد (على سبيل المثال إذا${\displaystyle f_{X}(x)=0}$للجميع${\displaystyle a<x<b}$مما تسبب في${\displaystyle F_{X}}$(لتكون ثابتة). في هذه الحالة، يمكن استخدام دالة التوزيع العكسي المعممة ، والتي تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle F^{-1}(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :F(x)\geq p\},\quad \forall p\in [0,1].}$

• مثال 1: الوسيط هو${\displaystyle F^{-1}(0.5)}$.
• مثال 2: ضع${\displaystyle \tau =F^{-1}(0.95)}$ثم نتصل${\displaystyle \tau }$النسبة المئوية الخامسة والتسعون.

بعض الخصائص المفيدة لدالة التوزيع التراكمي العكسي (والتي يتم الحفاظ عليها أيضًا في تعريف دالة التوزيع العكسي المعممة ) هي:

1. ${\displaystyle F^{-1}}$غير متناقصة ^{[ 10 ]}
2. ${\displaystyle F^{-1}(F(x))\leq x}$
3. ${\displaystyle F(F^{-1}(p))\geq p}$
4. ${\displaystyle F^{-1}(p)\leq x}$إذا وفقط إذا${\displaystyle p\leq F(x)}$
5. لو${\displaystyle Y}$لديه${\displaystyle U[0,1]}$ثم التوزيع${\displaystyle F^{-1}(Y)}$يتم توزيعها على النحو التالي:${\displaystyle F}$. يتم استخدام هذا في توليد الأرقام العشوائية باستخدام طريقة أخذ العينات بالتحويل العكسي .
6. لو${\displaystyle \{X_{\alpha }\}}$هي مجموعة من المستقلين${\displaystyle F}$إذا كانت المتغيرات العشوائية موزعة على نفس فضاء العينة ، فإنه يوجد متغيرات عشوائية أخرى.${\displaystyle Y_{\alpha }}$بحيث${\displaystyle Y_{\alpha }}$يتم توزيعها على النحو التالي:${\displaystyle U[0,1]}$و${\displaystyle F^{-1}(Y_{\alpha })=X_{\alpha }}$باحتمالية 1 للجميع${\displaystyle \alpha }$.

يمكن استخدام معكوس دالة التوزيع التراكمي لترجمة النتائج التي تم الحصول عليها للتوزيع المنتظم إلى توزيعات أخرى.

دالة التوزيع التجريبية هي تقدير لدالة التوزيع التراكمي التي ولّدت النقاط في العينة. وهي تتقارب باحتمالية 1 مع ذلك التوزيع الأصلي. توجد عدة نتائج لتحديد معدل تقارب دالة التوزيع التجريبية مع دالة التوزيع التراكمي الأصلية. ^{[ 11 ]}

عند التعامل مع أكثر من متغير عشوائي في آن واحد، يمكن أيضًا تعريف دالة التوزيع التراكمي المشترك . على سبيل المثال، بالنسبة لزوج من المتغيرات العشوائية${\displaystyle X,Y}$، صندوق التنمية المشترك${\displaystyle F_{XY}}$يُعطى بواسطة ^{[ 2 ] : 89}

حيث يمثل الجانب الأيمن احتمال أن يكون المتغير العشوائي${\displaystyle X}$تأخذ قيمة أقل من أو تساوي${\displaystyle x}$وذلك​${\displaystyle Y}$تأخذ قيمة أقل من أو تساوي${\displaystyle y}$.

مثال على دالة التوزيع التراكمي المشترك:

بالنسبة لمتغيرين متصلين X و Y :$${\displaystyle \Pr(a<X<b{\text{ and }}c<Y<d)=\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx;}$$

بالنسبة لمتغيرين عشوائيين منفصلين، من المفيد إنشاء جدول احتمالات ومعالجة الاحتمال التراكمي لكل نطاق محتمل لـ X و Y ، وهذا هو المثال: ^{[ 12 ]}

بفرض دالة الكتلة الاحتمالية المشتركة في شكل جدولي، حدد دالة التوزيع التراكمي المشترك.

الحل: باستخدام جدول الاحتمالات المعطى لكل نطاق محتمل لـ X و Y ، يمكن إنشاء دالة التوزيع التراكمي المشترك في شكل جدولي:

ل${\displaystyle N}$المتغيرات العشوائية${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$، صندوق التنمية المشترك${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{N}}}$يُعطى بواسطة

تفسير${\displaystyle N}$المتغيرات العشوائية كمتجه عشوائي${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{N})^{T}}$ينتج عنه تدوين أقصر: $${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{N}\leq x_{N})}$$

كل دالة توزيع تراكمي متعددة المتغيرات هي:

1. متناقصة بشكل رتيب لكل متغير من متغيراتها،
2. متصلة من اليمين في كل متغير من متغيراتها،
3. ${\displaystyle 0\leq F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq 1,}$
4. ${\displaystyle \lim _{x_{1},\ldots ,x_{n}\to +\infty }F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=1}$و${\displaystyle \lim _{x_{i}\to -\infty }F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$لكل i .

ليست كل دالة تحقق الخصائص الأربع المذكورة أعلاه دالة توزيع تراكمي متعددة المتغيرات، على عكس حالة البعد الواحد. على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle F(x,y)=0}$ل${\displaystyle x<0}$أو${\displaystyle x+y<1}$أو${\displaystyle y<0}$ودع${\displaystyle F(x,y)=1}$وإلا. من السهل ملاحظة أن الشروط المذكورة أعلاه مستوفاة، ومع ذلك${\displaystyle F}$ليست دالة توزيع تراكمي، لأنه لو كانت كذلك، لكانت${\textstyle \operatorname {P} \left({\frac {1}{3}}<X\leq 1,{\frac {1}{3}}<Y\leq 1\right)=-1}$كما هو موضح أدناه.

إن احتمال انتماء نقطة ما إلى مستطيل فائق مماثل للحالة أحادية البعد: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle F_{X_{1},X_{2}}(a,c)+F_{X_{1},X_{2}}(b,d)-F_{X_{1},X_{2}}(a,d)-F_{X_{1},X_{2}}(b,c)=\operatorname {P} (a<X_{1}\leq b,c<X_{2}\leq d)=\int \cdots }$$

إن تعميم دالة التوزيع التراكمي من المتغيرات العشوائية الحقيقية إلى المتغيرات العشوائية المركبة ليس واضحًا لأن التعبيرات من الشكل${\displaystyle P(Z\leq 1+2i)}$لا معنى لها. ومع ذلك، فإن التعبيرات من هذا الشكل${\displaystyle P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)}$وهذا منطقي. لذلك، نُعرّف التوزيع التراكمي للمتغيرات العشوائية المركبة من خلال التوزيع المشترك لأجزائها الحقيقية والخيالية: $${\displaystyle F_{Z}(z)=F_{\Re {(Z)},\Im {(Z)}}(\Re {(z)},\Im {(z)})=P(\Re {(Z)}\leq \Re {(z)},\Im {(Z)}\leq \Im {(z)}).}$$

يؤدي تعميم المعادلة 4 إلى $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )&=F_{\Re {(Z_{1})},\Im {(Z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})},\Im {(Z_{n})}}(\Re {(z_{1})},\Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(z_{n})},\Im {(z_{n})})\\[1ex]&=\operatorname {P} (\Re {(Z_{1})}\leq \Re {(z_{1})},\Im {(Z_{1})}\leq \Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})}\leq \Re {(z_{n})},\Im {(Z_{n})}\leq \Im {(z_{n})})\end{aligned}}}$$ كتعريف لـ CDS لمتجه عشوائي معقد${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{N})^{T}}$.

يعتمد اختبار كولموغوروف -سميرنوف على دوال التوزيع التراكمي، ويمكن استخدامه لاختبار ما إذا كان توزيعان تجريبيان مختلفين، أو ما إذا كان التوزيع التجريبي مختلفًا عن التوزيع المثالي. أما اختبار كويبر، وهو اختبار وثيق الصلة ، فيُفيد إذا كان نطاق التوزيع دوريًا، كما هو الحال في أيام الأسبوع. على سبيل المثال، يمكن استخدام اختبار كويبر لمعرفة ما إذا كان عدد الأعاصير يتغير خلال العام، أو ما إذا كانت مبيعات منتج ما تتغير باختلاف أيام الأسبوع أو أيام الشهر.