نظرية المونودرومي

في التحليل المركب ، تُعدّ نظرية المونودرومي نتيجةً مهمةً تتعلق بالاستمرار التحليلي لدالة تحليلية مركبة إلى مجموعة أكبر. وتتلخص الفكرة في إمكانية تمديد دالة تحليلية مركبة (والتي سنُشير إليها فيما يلي ببساطة بالدالة التحليلية ) على طول منحنيات تبدأ من المجال الأصلي للدالة وتنتهي في المجموعة الأكبر. ومن المشكلات المحتملة لهذا الاستمرار التحليلي على طول منحنى، وجود العديد من المنحنيات التي تنتهي عادةً عند النقطة نفسها في المجموعة الأكبر. وتُقدّم نظرية المونودرومي شروطًا كافيةً للاستمرار التحليلي بحيث يُعطي القيمة نفسها عند نقطة معينة بغض النظر عن المنحنى المستخدم للوصول إليها، وبالتالي تكون الدالة التحليلية الممتدة الناتجة مُعرّفةً جيدًا وذات قيمة واحدة.

قبل ذكر هذه النظرية، من الضروري تعريف الاستمرار التحليلي على طول منحنى ودراسة خصائصه.

إن تعريف الاستمرار التحليلي على طول منحنى هو تعريف تقني إلى حد ما، لكن الفكرة الأساسية هي أن المرء يبدأ بدالة تحليلية معرفة حول نقطة ما، ثم يقوم بتمديد تلك الدالة على طول منحنى عبر دوال تحليلية معرفة على أقراص صغيرة متداخلة تغطي ذلك المنحنى.

بصورة رسمية، لنفترض منحنى ( دالة متصلة ).${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to \mathbb {C} .} ليكن${\displaystyle f}$لتكن دالة تحليلية معرفة على قرص مفتوح${\displaystyle U}$مركزها في${\displaystyle \gamma (0).}$استمرار تحليلي للزوج${\displaystyle (f,U)}$على امتداد${\displaystyle \gamma }$هي مجموعة من الأزواج${\displaystyle (f_{t},U_{t})}$ل${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$بحيث

• ${\displaystyle f_{0}=f}$و${\displaystyle U_{0}=U.}$

• لكل${\displaystyle t\in [0,1],U_{t}}$قرص مفتوح مركزه عند${\displaystyle \gamma (t)}$و${\displaystyle f_{t}:U_{t}\to \mathbb {C} }$هي دالة تحليلية.

• لكل${\displaystyle t\in [0,1]}$يوجد${\displaystyle \varepsilon >0}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle t'\in [0,1]}$مع${\displaystyle |tt'|<\varepsilon }$يمتلك المرء ذلك${\displaystyle \gamma (t')\in U_{t}}$(مما يعني أن${\displaystyle U_{t}}$و${\displaystyle U_{t'}}$(لها تقاطع غير فارغ ) والدوال${\displaystyle f_{t}}$و${\displaystyle f_{t'}}$يتطابقان عند التقاطع${\displaystyle U_{t}\cap U_{t'}.}$

الاستمرار التحليلي على طول منحنى ما هو فريد أساسًا ، بمعنى أنه إذا تم إعطاء استمرارين تحليليين${\displaystyle (f_{t},U_{t})}$و${\displaystyle (g_{t},V_{t})}$${\displaystyle (0\leq t\leq 1)}$ل${\displaystyle (f,U)}$على امتداد${\displaystyle \gamma ,}$الوظائف${\displaystyle f_{1}}$و${\displaystyle g_{1}}$يتزامنان على${\displaystyle U_{1}\cap V_{1}.}$بشكل غير رسمي، هذا يعني أن أي امتدادين تحليليين لـ ${\displaystyle (f,U)}$على امتداد${\displaystyle \gamma }$سينتهي الأمر بنفس القيم في جوار من${\displaystyle \gamma (1).}$

إذا كان المنحنى${\displaystyle \gamma }$مغلق (أي،${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)}$، ليس من الضروري أن يكون${\displaystyle f_{0}}$متساوي${\displaystyle f_{1}}$في حي من${\displaystyle \gamma (0).}$على سبيل المثال، إذا بدأ المرء من نقطة ما${\displaystyle (a,0)}$مع${\displaystyle a>0}$واللوغاريتم المركب المعرف في جوار هذه النقطة، ولنفرض${\displaystyle \gamma }$لتكن دائرة نصف قطرها${\displaystyle a}$متمركزة عند نقطة الأصل (تتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة من${\displaystyle (a,0)}$ثم بإجراء استكمال تحليلي على طول هذا المنحنى، سينتهي المرء بقيمة اللوغاريتم عند${\displaystyle (a,0)}$وهو${\displaystyle 2\pi i}$بالإضافة إلى القيمة الأصلية (انظر الرسم التوضيحي الثاني على اليمين).

كما ذُكر سابقاً، فإن استمرارين تحليليين على طول المنحنى نفسه يُعطيان النتيجة نفسها عند نقطة نهاية المنحنى. مع ذلك، إذا كان لدينا منحنيان مختلفان يتفرعان من النقطة نفسها التي تُعرَّف حولها دالة تحليلية، ويلتقي المنحنيان مجدداً عند النهاية، فليس صحيحاً عموماً أن الاستمرارين التحليليين لتلك الدالة على طول المنحنيين سيعطيان القيمة نفسها عند نقطة نهايتهما المشتركة.

في الواقع، يمكن للمرء أن ينظر، كما في القسم السابق، إلى اللوغاريتم المركب المعرف في جوار نقطة ما.${\displaystyle (a,0)}$والدائرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها${\displaystyle a.}$بعد ذلك، يصبح من الممكن السفر من${\displaystyle (a,0)}$ل${\displaystyle (-a,0)}$بطريقتين، عكس اتجاه عقارب الساعة على قوس النصف العلوي من هذه الدائرة، ومع اتجاه عقارب الساعة على قوس النصف السفلي. قيم اللوغاريتم عند${\displaystyle (-a,0)}$ستختلف القيم التي يتم الحصول عليها عن طريق الاستمرار التحليلي على طول هذين القوسين بمقدار${\displaystyle 2\pi i.}$

إذا أمكن، مع ذلك، تحويل أحد المنحنيين باستمرار إلى منحنى آخر مع تثبيت نقطتي البداية والنهاية، وكان الاستمرار التحليلي ممكنًا على كل منحنى من المنحنيين الوسيطين، فإن الاستمرار التحليلي على طول المنحنيين سيؤدي إلى نفس النتائج عند نقطة النهاية المشتركة. تُعرف هذه النظرية بنظرية المونودرومي ، وسيتم توضيحها بدقة أدناه.

يترك${\displaystyle U}$ليكن قرصًا مفتوحًا في المستوى المركب مركزه نقطة${\displaystyle P}$و${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$لتكن دالة تحليلية مركبة.${\displaystyle Q}$لتكن نقطة أخرى في المستوى المركب. إذا وُجدت عائلة من المنحنيات${\displaystyle \gamma _{s}:[0,1]\to \mathbb {C} }$مع${\displaystyle s\in [0,1]}$بحيث${\displaystyle \gamma _{s}(0)=P}$و${\displaystyle \gamma _{s}(1)=Q}$للجميع${\displaystyle s\in [0,1],}$الوظيفة${\displaystyle (s,t)\in [0,1]\times [0,1]\mapsto \gamma _{s}(t)\in \mathbb {C} }$متصلة، ولكل${\displaystyle s\in [0,1]}$من الممكن إجراء استكمال تحليلي لـ${\displaystyle f}$على امتداد${\displaystyle \gamma _{s},}$ثم الاستمرارات التحليلية لـ${\displaystyle f}$على امتداد${\displaystyle \gamma _{0}}$و${\displaystyle \gamma _{1}}$ستعطي نفس القيم عند${\displaystyle Q.}$

تُتيح نظرية المونودرومي إمكانية توسيع دالة تحليلية إلى مجموعة أكبر عبر منحنيات تربط نقطة في المجال الأصلي للدالة بنقاط في المجموعة الأكبر. وتُعرف النظرية المذكورة أدناه أيضًا بنظرية المونودرومي.

يترك${\displaystyle U}$ليكن قرصًا مفتوحًا في المستوى المركب مركزه نقطة${\displaystyle P}$و${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$لتكن دالة تحليلية مركبة. إذا${\displaystyle W}$هي مجموعة مفتوحة بسيطة الاتصال تحتوي على${\displaystyle U,}$ومن الممكن إجراء استكمال تحليلي لـ${\displaystyle f}$على أي منحنى موجود في${\displaystyle W}$والتي تبدأ عند${\displaystyle P,}$ثم${\displaystyle f}$يُقرّ باستمرار تحليلي مباشر لـ${\displaystyle W,}$وهذا يعني وجود دالة تحليلية معقدة${\displaystyle g:W\to \mathbb {C} }$الذي يقتصر على${\displaystyle U}$يكون${\displaystyle f.}$

• متابعة تحليلية
• المونودرومية

• كرانز، ستيفن ج. (1999). دليل المتغيرات المركبة . بيركهاوزر. ISBN 0-8176-4011-8.
• جونز، غاريث أ.؛ سينجرمان، ديفيد (1987). الدوال المركبة: منظور جبري وهندسي . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-31366-X.

• تريبل، هانز (1986). التحليل والفيزياء الرياضية، الطبعة الإنجليزية . د. ريدل بوب. رقم ISBN 90-277-2077-0.

• نظرية المونودرومي في عالم الرياضيات
• نظرية المونودرومي في موقع PlanetMath .
• نظرية المونودرومي في موسوعة الرياضيات