القرص (الرياضيات)

لإيجاد b ( q ) نحتاج إلى النظر بشكل منفصل في الحالات التي يكون فيها الموقع داخليًا أو خارجيًا ، أي عندما يكون q ≶ 1 ، ونجد أنه في كلتا الحالتين لا يمكن التعبير عن النتيجة إلا من حيث التكاملات الإهليلجية الكاملة .

إذا نظرنا إلى موقع داخلي، فإن هدفنا (بالنظر إلى الرسم التخطيطي) هو حساب القيمة المتوقعة لـ r في ظل توزيع كثافته 1 / π لـ 0 ≤ r ≤ s (θ) ، مع التكامل في الإحداثيات القطبية المتمركزة حول الموقع الثابت الذي تكون فيه مساحة الخلية r d r dθ ؛ ومن ثم  $${\displaystyle b(q)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\textrm {d}}\theta \int _{0}^{s(\theta )}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi }}\int _{0}^{2\pi }s(\theta )^{3}{\textrm {d}}\theta .}$$

يمكن إيجاد s (θ) بدلالة q و θ باستخدام قانون جيب التمام . ستجدون الخطوات اللازمة لحساب التكامل، بالإضافة إلى العديد من المراجع، في ورقة بحثية من تأليف ليو وآخرون؛ ^{[ 10 ]} والنتيجة هي أن $${\displaystyle b(q)={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}}$$ حيث K و E هما تكاملان إهليلجيان كاملان من النوع الأول والثاني. ^{[ 11 ]} b (0) = 2/3 ; b ( 1 ) = 32 / 9π ≈ 1.13177 .

بالانتقال إلى موقع خارجي، يمكننا إعداد التكامل بطريقة مماثلة، فنحصل هذه المرة على:

$${\displaystyle b(q)={\frac {2}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta }$$ حيث ينص قانون جيب التمام على أن s ₊ (θ) و s _– (θ) هما جذرا المعادلة لـ s$${\displaystyle s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.}$$ لذلك $${\displaystyle b(q)={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}3q^{2}{\textrm {cos}}^{2}\theta {\sqrt {1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta }}+{\Bigl (}1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta {\Bigr )}^{\tfrac {3}{2}}{\biggl \}}{\textrm {d}}\theta .}$$ يمكننا استبدال u = q sinθ للحصول على $${\displaystyle {\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0.6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{aligned}}}$$ باستخدام التكاملات القياسية. ^{[ 12 ]}

وبالتالي مرة أخرى b ( 1) = 32 / 9π ، بينما أيضًا ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.}$$