التماثل

يُقال إن الدالتين المتصلتين f و g متماثلتان إذا وفقط إذا وُجد تماثل H ينقل f إلى g كما _هو موضح أعلاه. التماثل هو علاقة تكافؤ على مجموعة جميع الدوال المتصلة من X إلى Y. تتوافق علاقة التماثل هذه مع تركيب الدوال بالمعنى التالي: إذا كانت f₁ _, g₁ : X → Y متماثلتين ،  و f₂, g₂ : Y _→ Z متماثلتين ، فإن  تركيبهما f₂ _∘ f₁ _و g₂ _∘ g₁ :  _X → Z يكون متماثلًا أيضًا _.

التشاكل الموضعي هو حالة خاصة من التكافؤ التماثلي، حيث يكون g ∘ f مساويًا لدالة التطابق id _X (وليس فقط متماثلًا معها)، ويكون f ∘ g مساويًا لدالة التطابق id _Y. ^{[ 7 ] : 0:53:00} لذا، إذا كان X وY متماثلين موضعيًا ، فإنهما متكافئان تماثليًا، ولكن العكس غير صحيح. بعض الأمثلة:

• القرص الصلب مكافئ تماثليًا لنقطة واحدة، لأنه يمكنك تشويه القرص على طول الخطوط الشعاعية بشكل مستمر إلى نقطة واحدة؛ ومع ذلك، فهما ليسا متماثلين تماثليًا، لأنه لا يوجد تقابل بينهما (لأن أحدهما مجموعة لا نهائية، بينما الآخر مجموعة محدودة).
• شريط موبيوس وشريط غير ملتوي (مغلق) متكافئان من حيث التماثل، إذ يمكنك تشويه كلا الشريطين بشكل مستمر إلى دائرة. لكنهما ليسا متماثلين شكليًا.

• المثال الأول على التكافؤ التماثلي هو${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بنقطة، يُشار إليها${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}}$الجزء الذي يجب التحقق منه هو وجود التماثل.${\displaystyle H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$بين${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$و${\displaystyle p_{0}}$إسقاط${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إلى نقطة الأصل. ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:${\displaystyle H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$.
• يوجد تكافؤ تماثلي بين${\displaystyle S^{1}}$( الكرة أحادية البعد ) و${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{0\}}$.
  • وبشكل عام،${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}}$.
• أي باقة ألياف${\displaystyle \pi :E\to B}$مع الألياف${\displaystyle F_{b}}$الفضاءات الكلية والأساسية المكافئة للنقطة ذات التماثل المكافئ. وهذا يعمم المثالين السابقين لأن${\displaystyle \pi$ :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}} عبارة عن حزمة ألياف مع ألياف${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$.
• كل حزمة متجهة هي حزمة ليفية ذات تماثل ليفي مكافئ لنقطة.
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}}$لأي${\displaystyle 0\leq k<n}$عن طريق الكتابة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}}$باعتبارها المساحة الكلية لحزمة الألياف${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})}$ثم تطبيق مكافئات التماثل المذكورة أعلاه.
• إذا كان مجمعًا فرعيًا${\displaystyle A}$من مجمع CW${\displaystyle X}$إذا كان قابلاً للانكماش، فإن فضاء القسمة${\displaystyle X/A}$مكافئ تماثليًا لـ${\displaystyle X}$[ ^{8 ]​}
• الانكماش التشوهي هو تكافؤ تماثلي.

وظيفة${\displaystyle f}$يقال إنه متماثل صفريإذا كانت متماثلة مع دالة ثابتة. (التماثل من${\displaystyle f}$يُطلق على تحويل دالة ثابتة أحيانًا اسم التماثل الصفري . على سبيل المثال، دالة${\displaystyle f}$من دائرة الوحدة${\displaystyle S^{1}}$إلى أي مساحة${\displaystyle X}$تكون متماثلة صفرية تحديدًا عندما يمكن تمديدها بشكل مستمر إلى خريطة من قرص الوحدة${\displaystyle D^{2}}$ل${\displaystyle X}$وهذا يتفق مع${\displaystyle f}$على الحدود.

ويترتب على هذه التعريفات أن الفضاء${\displaystyle X}$تكون قابلة للتعاقد إذا وفقط إذا كانت خريطة الهوية من${\displaystyle X}$إن التماثل الذاتي - وهو دائماً تكافؤ تماثلي - هو تماثلي صفري.

لتعريف المجموعة الأساسية ، نحتاج إلى مفهوم التماثل بالنسبة إلى فضاء جزئي . هذه التماثلات تُبقي عناصر الفضاء الجزئي ثابتة. بصورة رسمية: إذا كانت f و g دالتين متصلتين من X إلى Y ، و K مجموعة جزئية من X ، فإننا نقول إن f و g متماثلتان بالنسبة إلى K إذا وُجد تماثل H  : X × [0, 1] → Y بين f و g بحيث يكون H ( k , t ) = f ( k ) = g ( k ) لكل k ∈ K و t ∈ [0, 1]. كذلك، إذا كانت g انكماشًا من X إلى K ، وكانت f دالة التطابق، يُعرف هذا بانكماش التشوه القوي من X إلى K. عندما تكون K نقطة، يُستخدم مصطلح التماثل المُشار إليه .

لا تُعادل العقدة غير المكتملة عقدة البرسيم الثلاثية ، إذ لا يمكن تحويل إحداهما إلى الأخرى عبر مسار متصل من التشاكلات المتماثلة للفضاء المحيط. وبالتالي، فهما ليسا متماثلين في الفضاء المحيط.

عندما تكون دالتان متصلتان معطيتان f و g من الفضاء الطوبولوجي X إلى الفضاء الطوبولوجي Y عبارة عن تضمينات ، يمكن التساؤل عما إذا كان من الممكن ربطهما "عبر التضمينات". وهذا يُنشئ مفهوم التماثل ، وهو تماثل طوبولوجي، H ، وفقًا للترميز المستخدم سابقًا، بحيث يُعطي H ( x , t ) تضمينًا لكل قيمة ثابتة لـ t . ^{[ 9 ]}

وهناك مفهوم ذو صلة، ولكنه منفصل، وهو مفهوم النظائر المحيطة .

يُعدّ اشتراط أن يكون تمثيلان متماثلين شرطًا أقوى من اشتراط أن يكونا متماثلين. على سبيل المثال، الدالة f ( x ) = -x ، التي تربط الفترة [ −1 , 1] بالأعداد الحقيقية، ليست متماثلة مع دالة التطابق g ( x ) = x . أي تماثل من f إلى دالة التطابق سيستلزم تبديل نقطتي البداية والنهاية، ما يعني أنهما سيمران ببعضهما. علاوة على ذلك، غيّرت f اتجاه الفترة بينما لم تُغيّره g ، وهو أمر مستحيل في حالة التماثل. مع ذلك، فإنّ التمثيلين متماثلان؛ أحد التماثلات من f إلى دالة التطابق هو H : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] ، المعطى بالعلاقة H ( x , y ) = 2yx − x .         

يمكن إثبات أن تماثلين (وهما حالتان خاصتان من التضمين) للكرة الوحدة، واللذان يتطابقان على الحدود، متماثلان باستخدام خدعة ألكسندر . ولهذا السبب، فإن خريطة قرص الوحدة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$إن الدالة المعرفة بواسطة f ( x , y ) = ( − x , − y ) متماثلة مع دوران 180 درجة حول الأصل، وبالتالي فإن خريطة الهوية و f متماثلتان لأنهما يمكن ربطهما عن طريق الدوران. 

في الطوبولوجيا الهندسية ، وتحديدًا في نظرية العقد ، يُستخدم مفهوم التماثل لبناء علاقات التكافؤ. على سبيل المثال، متى يُعتبر عقدان متماثلين؟ لنأخذ عقدتين، K1 وK2 ، في فضاء ثلاثي _{الأبعاد .} العقدة هي تضمين لفضاء أحادي البعد، أي "حلقة الخيط" (أو الدائرة)، في هذا الفضاء، وهذا التضمين يُعطي تماثلًا شكليًا بين الدائرة وصورتها في فضاء التضمين. يمكن محاولة تعريف تكافؤ العقد بناءً على التماثل بدلًا من خاصية التماثل المحيطي الأكثر تقييدًا . أي أن عقدتين متماثلتان عندما توجد دالة متصلة تبدأ عند t = 0 تُعطي تضمين K1 _، وتنتهي عند t = 1 تُعطي تضمين K2 _، مع كون جميع القيم الوسيطة مُطابقة لتضمينات. مع ذلك، سيجعل هذا التعريف كل عقدة مُكافئة للعقدة غير المعقودة، حيث يمكن "تقليص" الأجزاء المعقودة إلى خط مستقيم. تكمن المشكلة في أن هذه الدالة، على الرغم من كونها متصلة، ليست دالة أحادية في الفضاء الإقليدي الذي تقع فيه العقدة. _{والتماثل} المحيطي ، الذي يُدرس في هذا السياق، هو تماثل للفضاء الأكبر، يُنظر إليه في ضوء تأثيره على الفضاء الفرعي المضمن. وتُعتبر العقدتان K1 و K2 متكافئتين عندما توجد عائلة متصلة من الدوال المفهرسة بـ [0, _{1 ] تنقل} K1 إلى K2 عبر تماثلات الفضاء الإقليدي.   

تُستخدم لغة مشابهة للمفهوم المكافئ في السياقات التي يكون فيها مفهوم التكافؤ أقوى. على سبيل المثال، المسار بين تمثيلين سلسين هو تماثل سلس .

في فضاء لورنتزي ، تُصنّف بعض المنحنيات على أنها زمنية (أي أنها تتحرك للأمام فقط، لا للخلف، في الزمن، في كل إطار مرجعي محلي). والتماثل الزمني بين منحنيين زمنيين هو تماثل يحافظ على خاصية الزمن في المنحنى أثناء التحويل المستمر من منحنى إلى آخر. لا يوجد منحنى زمني مغلق (CTC) على فضاء لورنتزي متماثل زمنيًا مع نقطة (أي أنه ليس متماثلًا زمنيًا صفريًا)؛ ولذلك يُقال إن هذا الفضاء متصل اتصالًا متعددًا بواسطة منحنيات زمنية. ويمكن لفضاء مثل الكرة ثلاثية الأبعاد أن يكون متصلًا اتصالًا بسيطًا (بأي نوع من المنحنيات)، ومع ذلك يكون متصلًا اتصالًا متعددًا زمنيًا . ^{[ 10 ]}

إذا كان لدينا تماثل${\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}$وغطاء${\displaystyle p:{\overline {Y}}\rightarrow Y}$ويتم تزويدنا بخريطة${\displaystyle {\overline {h}}_{0}:X\rightarrow {\overline {Y}}}$بحيث${\displaystyle H_{0}=P\circ {\overline {h}}_{0}}$ (${\displaystyle {\overline {h}}_{0}}$يُطلق عليه اسم رفع${\displaystyle h_{0}}$ثم يمكننا رفع كل شيء${\displaystyle H}$إلى خريطة${\displaystyle {\overline {H}}:X\times [0,1]\rightarrow {\overline {Y}}}$بحيث${\displaystyle p\circ {\overline {H}}=H}$تُستخدم خاصية رفع التماثل لتوصيف التليفات .

من الخصائص المفيدة الأخرى المتعلقة بالتماثل خاصية امتداد التماثل ، والتي تُحدد امتداد التماثل بين دالتين من مجموعة جزئية من مجموعة ما إلى المجموعة نفسها. وهي مفيدة عند التعامل مع التليفات المشتركة .

بما أن العلاقة بين دالتين${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$إن كون الفضاء متماثلًا بالنسبة لفضاء جزئي هو علاقة تكافؤ، ويمكننا النظر إلى فئات التكافؤ للتطبيقات بين فضاءين X و Y ثابتين . إذا قمنا بتثبيت${\displaystyle X=[0,1]^{n}}$، الفترة [0، 1] التي تتقاطع مع نفسها n مرة، ونأخذ حدودها${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$إذا اعتبرنا فضاءً جزئياً، فإن فئات التكافؤ تشكل مجموعة، يُرمز لها بـ${\displaystyle \pi _{n}(Y,y_{0})}$، أين${\displaystyle y_{0}}$يقع في صورة الفضاء الفرعي${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$.

يمكننا تعريف تأثير فئة تكافؤ على أخرى، فنحصل بذلك على زمرة. تُسمى هذه الزمر زمر التماثل . في هذه الحالة${\displaystyle n=1}$وتسمى أيضاً بالمجموعة الأساسية .

يمكن تحويل مفهوم التماثل إلى فئة رسمية في نظرية الفئات . فئة التماثل هي الفئة التي تكون عناصرها فضاءات طوبولوجية، وتكون تشاكلاتها فئات تكافؤ التماثل للتطبيقات المتصلة. يكون الفضاءان الطوبولوجيان X و Y متماثلين في هذه الفئة إذا وفقط إذا كانا متكافئين تماثليًا. عندئذٍ، يكون المؤثر على فئة الفضاءات الطوبولوجية ثابتًا تماثليًا إذا أمكن التعبير عنه كمؤثر على فئة التماثل.

على سبيل المثال، تُعدّ مجموعات التماثل ثابتةً تماثليةً داليةً : وهذا يعني أنه إذا كانت الدالتان f و g من X إلى Y متماثلتين، فإنّ التماثلات الجماعية المُستحثّة بواسطة f و g على مستوى مجموعات التماثل تكون متطابقة: H _{_n} ( f ) = H_{_n} ( g )  : H _{_n} ( X ) → H _{_n} ( Y ) لجميع قيم n . وبالمثل، إذا كانت X و Y متصلتين مساريًا ، وكان التماثل بين f و g مُوجَّهًا، فإنّ التماثلات الجماعية المُستحثّة بواسطة f و g على مستوى مجموعات التماثل تكون متطابقة أيضًا: π _{_n} ( f ) = π _{_n} ( g )  : π _{_n} ( X ) → π _{_n} ( Y ).