الأنظمة أحادية الجين

في الميكانيكا الكلاسيكية ، يُطلق على النظام الفيزيائي اسم النظام أحادي التولد إذا أمكن نمذجة القوة المؤثرة عليه بصيغة رياضية محددة ومناسبة. الأنظمة التي تُدرس عادةً في الفيزياء هي أنظمة أحادية التولد. وقد صاغ هذا المصطلح كورنيليوس لانكزوس في كتابه "مبادئ الميكانيكا التغيرية " (1970). ^{[ 1 ] [ 2 ]}

في ميكانيكا لاغرانج ، تُعدّ خاصية التولد الأحادي شرطًا ضروريًا لتكافؤ بعض الصيغ الرياضية المختلفة. فإذا كان النظام الفيزيائي نظامًا هولونوميًا ونظامًا أحادي التولد في آنٍ واحد، فمن الممكن اشتقاق معادلات لاغرانج من مبدأ دالمبير ؛ كما يمكن اشتقاقها من مبدأ هاميلتون . ^{[ 3 ]}

في النظام الفيزيائي، إذا كانت جميع القوى، باستثناء قوى القيد، قابلة للاشتقاق من الجهد القياسي المعمم ، وكان هذا الجهد القياسي المعمم دالة للإحداثيات المعممة أو السرعات المعممة أو الزمن، فإن هذا النظام هو نظام أحادي التولد .

باستخدام المعادلات، العلاقة الدقيقة بين القوة المعممة${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$والجهد المعمم${\displaystyle {\mathcal {V}}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\dots ,{\dot {q}}_{N},t)}$وهو كالتالي:

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right);}$$

أين${\displaystyle q_{i}}$هي إحداثيات معممة،${\displaystyle {\dot {q_{i}}}}$هي السرعة المعممة، و${\displaystyle t}$حان الوقت.

إذا كان الجهد المعمم في نظام أحادي التولد يعتمد فقط على الإحداثيات المعممة، وليس على السرعات المعممة والزمن، فإن هذا النظام يُعد نظامًا محافظًا . وتكون العلاقة بين القوة المعممة والجهد المعمم كما يلي:

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial q_{i}}}.}$$

• التصلب