الميكانيكا الكلاسيكية

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 43 صور
الموسوعة الحرة

رسوم متحركة لسرعة المدار والتسارع المركزي
رسم تخطيطي لحركة مدار قمر صناعي حول الأرض، يوضح متجهات السرعة والتسارع (القوة) العمودية، ممثلة من خلال تفسير كلاسيكي

في الفيزياء ، تعتبر الميكانيكا الكلاسيكية نظرية تصف تأثير القوى على حركة الأجسام العيانية والمادة الصلبة ، دون مراعاة التأثيرات الكمومية ، وغالباً دون دمج التأثيرات النسبية أيضاً.

يُستخدم هذا المفهوم في وصف حركة الأجسام مثل المقذوفات ، وأجزاء الآلات ، والمركبات الفضائية ، والكواكب ، والنجوم ، والمجرات ، والمواد الصلبة القابلة للتشوه ، والسوائل ، والجزيئات الكبيرة ، وغيرها. وقد انطوى تطور الميكانيكا الكلاسيكية على تغيير جوهري في مناهج وفلسفة الفيزياء. [ 1 ] ويُميّز مصطلح "الكلاسيكية" هذا النوع من الميكانيكا عن المناهج الجديدة التي طُوّرت بعد ثورات الفيزياء في أوائل القرن العشرين، والتي كشفت عن قصور في الميكانيكا الكلاسيكية. [ 2 ] : 2 [ 3 ] : 2 وتُدرج بعض المصادر الحديثة [ 4 ] الميكانيكا النسبية ضمن الميكانيكا الكلاسيكية، باعتبارها تمثل الموضوع في أكثر صوره تطورًا ودقة.

يُشار غالبًا إلى أقدم صياغة للميكانيكا الكلاسيكية باسم الميكانيكا النيوتونية . وهي تتألف من المفاهيم الفيزيائية المستندة إلى الأعمال التأسيسية للسير إسحاق نيوتن في القرن السابع عشر ، والأساليب الرياضية التي ابتكرها نيوتن، وغوتفريد فيلهلم لايبنتز ، وليونهارد أويلر، وغيرهم لوصف حركة الأجسام تحت تأثير القوى . لاحقًا، طوّر أويلر، وجوزيف لويس لاغرانج ، وويليام روان هاميلتون، وغيرهم، أساليب تعتمد على الطاقة ، مما أدى إلى ظهور الميكانيكا التحليلية (التي تشمل الميكانيكا اللاغرانجية والميكانيكا الهاميلتونية ). وقد امتدت هذه التطورات، التي تحققت في الغالب خلال القرنين الثامن عشر والتاسع عشر، لتتجاوز الأعمال السابقة؛ إذ تُستخدم، مع بعض التعديلات، في جميع مجالات الفيزياء الحديثة.

إذا عُرفت الحالة الراهنة لجسم يخضع لقوانين الميكانيكا الكلاسيكية، فمن الممكن تحديد كيفية تحركه في المستقبل ، وكيف تحرك في الماضي. تُظهر نظرية الفوضى أن التنبؤات طويلة المدى للميكانيكا الكلاسيكية غير موثوقة. تُقدم الميكانيكا الكلاسيكية نتائج دقيقة عند دراسة الأجسام غير الضخمة التي لا تقترب سرعاتها من سرعة الضوء . أما مع الأجسام التي يبلغ حجمها قطر الذرة تقريبًا، فيصبح من الضروري استخدام ميكانيكا الكم . لوصف السرعات التي تقترب من سرعة الضوء، يلزم استخدام النسبية الخاصة . وفي الحالات التي تصبح فيها الأجسام ضخمة للغاية، تصبح النسبية العامة قابلة للتطبيق.

الفروع

التقسيم التقليدي

كان علم الميكانيكا الكلاسيكية يُقسّم تقليديًا إلى ثلاثة فروع رئيسية. علم السكون هو فرع من الميكانيكا الكلاسيكية يهتم بتحليل القوة والعزم المؤثرين على نظام فيزيائي لا يتعرض لتسارع، بل يكون في حالة اتزان مع بيئته. [ 5 ] يصف علم الحركة حركة النقاط والأجسام وأنظمة الأجسام (مجموعات الأجسام) دون النظر إلى القوى التي تُسبب حركتها. [ 6 ] [ 7 ] [ 5 ] يُشار إلى علم الحركة، كمجال للدراسة، غالبًا باسم "هندسة الحركة"، ويُنظر إليه أحيانًا على أنه فرع من فروع الرياضيات . [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] يتجاوز علم الديناميكا مجرد وصف سلوك الأجسام، وينظر أيضًا إلى القوى التي تُفسره. يُدرج بعض المؤلفين (على سبيل المثال، غرينوود (1997) [ 11 ] ) النسبية الخاصة ضمن الديناميكا الكلاسيكية.

القوى مقابل الطاقة

يُصنَّف علم الميكانيكا الكلاسيكية أيضاً بناءً على اختيار الصيغة الرياضية. إذ يمكن تمثيله رياضياً بطرقٍ متعددة ومختلفة. ورغم أن المحتوى الفيزيائي لهذه الصيغ المختلفة واحد، إلا أنها تُقدِّم رؤىً مختلفة وتُسهِّل أنواعاً مختلفة من الحسابات. وبينما يُستخدم مصطلح "الميكانيكا النيوتونية" أحياناً كمرادف للفيزياء الكلاسيكية غير النسبية، فإنه قد يُشير أيضاً إلى صيغة رياضية مُحدَّدة تستند إلى قوانين نيوتن للحركة . وتُركِّز الميكانيكا النيوتونية، بهذا المعنى، على القوة باعتبارها كمية متجهة . [ 12 ]

على النقيض من ذلك، تستخدم الميكانيكا التحليلية خصائص الحركة العددية لتمثيل النظام ككل، وعادةً ما تكون طاقته الحركية وطاقته الكامنة . تُشتق معادلات الحركة من الكمية العددية وفقًا لمبدأ أساسي يتعلق بتغيرها . ينقسم علم الميكانيكا التحليلية إلى فرعين رئيسيين: ميكانيكا لاغرانج ، التي تستخدم الإحداثيات المعممة والسرعات المعممة المناظرة لها في فضاء الحزمة المماسية (الحزمة المماسية لفضاء التكوين ، ويُسمى أحيانًا "فضاء الحالة")، وميكانيكا هاميلتون ، التي تستخدم الإحداثيات والزخم المناظر لها في فضاء الطور ( الحزمة المماسية المرافقة لفضاء التكوين). كلا الصيغتين متكافئتان بتحويل ليجندر على الإحداثيات والسرعات والزخم المعممة؛ لذا، تحتوي كلتاهما على المعلومات نفسها لوصف ديناميكيات النظام. توجد صيغ أخرى مثل نظرية هاميلتون-جاكوبي ، وميكانيكا روث ، ومعادلة أبيل للحركة . يمكن اشتقاق جميع معادلات الحركة للجسيمات والمجالات، بأي صيغة رياضية، من النتيجة واسعة الانتشار المعروفة باسم مبدأ الفعل الأدنى . ومن هذه النتائج نظرية نوثر ، وهي عبارة تربط قوانين الحفظ بتناظراتها المرتبطة بها .

حسب منطقة التطبيق

أو بدلاً من ذلك، يمكن إجراء التقسيم حسب منطقة التطبيق:

وصف الأجسام وحركتها

رسم تخطيطي لحركة المقذوفات المكافئة
يُعد تحليل حركة المقذوفات جزءًا من الميكانيكا الكلاسيكية.

تُصوّر الميكانيكا الكلاسيكية الأجسام في العالم الحقيقي على أنها جسيمات نقطية ، أي أجسام ذات حجم ضئيل. وتصف الميكانيكا الكلاسيكية حركات الأجسام الممتدة غير النقطية باعتبار هذه الأجسام تجمعات من جسيمات متصلة اتصالاً صلباً. [ 13 ] : 1

في الصيغة النيوتونية للميكانيكا الكلاسيكية ، تُحدد حركة جسيم نقطي بعدد قليل من المعاملات : موقعه، وكتلته ، والقوى المؤثرة عليه. [ 13 ] : تُقدم قوانين أويلر امتدادات لقوانين نيوتن في هذا المجال. وتعتمد مفاهيم الزخم الزاوي على نفس حسابات التفاضل والتكامل المستخدمة لوصف الحركة أحادية البعد. وتُوسع معادلة الصاروخ مفهوم معدل تغير زخم الجسم ليشمل تأثيرات "فقدان الجسم لكتلته". (تُشتق هذه التعميمات/الامتدادات من قوانين نيوتن، على سبيل المثال، بتقسيم الجسم الصلب إلى مجموعة من النقاط).

في الواقع، تتميز الأجسام التي يمكن للميكانيكا الكلاسيكية وصفها دائمًا بحجم غير صفري . (يُوصَف سلوك الجسيمات متناهية الصغر ، كالإلكترون ، بدقة أكبر بواسطة ميكانيكا الكم ). تتميز الأجسام ذات الحجم غير الصفري بسلوك أكثر تعقيدًا من الجسيمات النقطية الافتراضية، نظرًا لدرجات الحرية الإضافية ، فعلى سبيل المثال، يمكن لكرة البيسبول أن تدور أثناء حركتها. مع ذلك، يمكن استخدام نتائج الجسيمات النقطية لدراسة هذه الأجسام من خلال اعتبارها أجسامًا مركبة ، تتكون من عدد كبير من الجسيمات النقطية التي تعمل بشكل جماعي. يتصرف مركز كتلة الجسم المركب كجسيم نقطي.

تفترض الميكانيكا الكلاسيكية أن للمادة والطاقة خصائص محددة ومعروفة، مثل الموقع في الفضاء والسرعة. كما تفترض الميكانيكا غير النسبية أن القوى تؤثر بشكل فوري (انظر أيضًا: التأثير عن بُعد ).

علم الحركة

الوحدات "الميكانيكية" المشتقة من النظام الدولي للوحدات ( أي ليست كهرومغناطيسية أو حرارية ) هي الكيلوغرام والمتر والثانية.
موضعم
الوضع الزاوي / الزاويةبدون وحدة قياس (راديان)
سرعةم/ث −1
السرعة الزاويةs −1
تسريعم/ث −2
التسارع الزاويs −2
هَزَّةم/ث −3
"الارتجاج الزاوي"s −3
الطاقة النوعيةم 2 · ث −2
معدل الجرعة الممتصةم 2 · ث −3
عزم القصور الذاتيكجم·م 2
دَفعَةكجم·م·ث −1
الزخم الزاويكجم·م 2 ·ث −1
قوةكجم·م·ث −2
عزم الدورانكجم·م 2 ·ث −2
طاقةكجم·م 2 ·ث −2
قوةكجم·م 2 ·ث −3
الضغط وكثافة الطاقةكجم·م −1 ·ث −2
التوتر السطحيكجم·ث −2
ثابت الزنبرككجم·ث −2
الإشعاع وتدفق الطاقةكجم·ث −3
اللزوجة الحركيةم 2 · ث −1
اللزوجة الديناميكيةكجم·م −1 ·ث −1
الكثافة (كثافة الكتلة)كجم·م −3
الوزن النوعي (كثافة الوزن)كجم·م −2 ·ث −2
كثافة العددم −3
فعلكجم·م 2 ·ث −1

يُحدد موضع جسيم نقطي بالنسبة لنظام إحداثيات مركزه نقطة مرجعية ثابتة في الفضاء تُسمى نقطة الأصل O. قد يصف نظام إحداثيات بسيط موضع جسيم P بمتجه يُرمز له بسهم يُسمى r ، ويشير من نقطة الأصل O إلى النقطة P. عمومًا، لا يشترط أن يكون الجسيم النقطي ثابتًا بالنسبة إلى O. في الحالات التي يتحرك فيها P بالنسبة إلى O ، يُعرَّف r كدالة للزمن t . في النسبية ما قبل أينشتاين (المعروفة بالنسبية الغاليلية )، يُعتبر الزمن مطلقًا، أي أن الفترة الزمنية التي تُلاحظ بين أي زوج من الأحداث هي نفسها لجميع المراقبين. [ 14 ] بالإضافة إلى الاعتماد على الزمن المطلق ، تفترض الميكانيكا الكلاسيكية الهندسة الإقليدية لبنية الفضاء. [ 15 ]

السرعة والسرعة

تُعرَّف السرعة ، أو معدل تغير الإزاحة مع الزمن، بأنها مشتقة الموضع بالنسبة للزمن:

v=دردت{\displaystyle \mathbf {v} ={\mathrm {d} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t}\,\!}.

في الميكانيكا الكلاسيكية، تُجمع السرعات وتُطرح مباشرةً. على سبيل المثال، إذا كانت سيارة تسير شرقًا بسرعة 60  كم/ساعة وتجاوزت سيارة أخرى تسير في نفس الاتجاه بسرعة 50  كم/ساعة، فإن السيارة الأبطأ ترى السيارة الأسرع وكأنها تسير شرقًا بسرعة 60 - 50 = 10 كم/ساعة . مع ذلك، من منظور السيارة الأسرع، تتحرك السيارة الأبطأ بسرعة 10  كم/ساعة غربًا، ويُشار إلى ذلك غالبًا بـ -10  كم/ساعة حيث تشير الإشارة إلى الاتجاه المعاكس. تُجمع السرعات مباشرةً ككميات متجهة ؛ لذا يجب التعامل معها باستخدام تحليل المتجهات .

رياضياً، إذا تم التعبير عن سرعة الجسم الأول في المناقشة السابقة بالمتجه u = u d وسرعة الجسم الثاني بالمتجه v = v e ، حيث u هي سرعة الجسم الأول، و v هي سرعة الجسم الثاني، و d و e متجهان وحدة في اتجاهي حركة كل جسم على التوالي، فإن سرعة الجسم الأول كما يراها الجسم الثاني هي:

u′=u-v.{\displaystyle \mathbf {u} '=\mathbf {u} -\mathbf {v} \,.}

وبالمثل، يرى الجسم الأول سرعة الجسم الثاني على النحو التالي:

v′=v-u.{\displaystyle \mathbf {v'} =\mathbf {v} -\mathbf {u} \,.}

عندما يتحرك كلا الجسمين في نفس الاتجاه، يمكن تبسيط هذه المعادلة إلى:

u′=(u-v)د.{\displaystyle \mathbf {u} '=(uv)\mathbf {d} \,.}

أو، بتجاهل الاتجاه، يمكن تحديد الفرق من حيث السرعة فقط:

u′=u-v.{\displaystyle u'=uv\,.}

تسريع

التسارع ، أو معدل تغير السرعة، هو مشتق السرعة بالنسبة للزمن ( المشتق الثاني للموضع بالنسبة للزمن):

أ=دvدت=د2ردت2.{\displaystyle \mathbf {a} ={\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t^{2}}.}

يمثل التسارع تغير السرعة مع مرور الوقت. يمكن أن تتغير السرعة في مقدارها أو اتجاهها أو كليهما. أحيانًا، يُشار إلى انخفاض مقدار السرعة " v " بالتباطؤ ، ولكن بشكل عام، يُشار إلى أي تغير في السرعة مع مرور الوقت، بما في ذلك التباطؤ، بالتسارع.

أطر مرجعية

بينما يمكن وصف موضع وسرعة وتسارع جسيم ما بالنسبة لأي مراقب في أي حالة حركة، تفترض الميكانيكا الكلاسيكية وجود مجموعة خاصة من الأطر المرجعية التي تتخذ فيها قوانين الطبيعة الميكانيكية شكلاً بسيطاً نسبياً. تُسمى هذه الأطر المرجعية الخاصة بالأطر العطالية . الإطار العطالي هو إطار مرجعي مثالي يتحرك فيه جسم لا تؤثر عليه قوة محصلة بسرعة ثابتة؛ أي أنه إما ساكن أو يتحرك بانتظام في خط مستقيم. في الإطار العطالي، ينطبق قانون نيوتن للحركة،F=مأ{\displaystyle F=ma}صحيح. [ 3 ] : 4

تتسارع الأطر المرجعية غير العطالية بالنسبة إلى إطار مرجعي عطالي آخر. فالجسم الذي يدور بالنسبة إلى إطار مرجعي عطالي لا يُعدّ إطارًا مرجعيًا عطاليًا. [ 3 ] : 105 عند النظر من إطار مرجعي عطالي، تبدو الجسيمات في الإطار غير العطالي وكأنها تتحرك بطرق لا تُفسَّر بالقوى الناتجة عن الحقول الموجودة في الإطار المرجعي. ومن ثم، يبدو أن هناك قوى أخرى تدخل في معادلات الحركة نتيجةً للتسارع النسبي فقط. تُعرف هذه القوى بالقوى الوهمية ، أو قوى القصور الذاتي، أو القوى الزائفة.

لنفترض وجود إطارين مرجعيين S و S' . بالنسبة للمراقبين في كل إطار مرجعي، يكون للحدث إحداثيات مكانية-زمانية ( x , y , z , t ) في الإطار S و ( x' , y' , z' , t' ) في الإطار S' . بافتراض أن الزمن يُقاس بنفس الطريقة في جميع الأطر المرجعية، إذا اشترطنا أن x = x' عندما t = 0 ، فإن العلاقة بين الإحداثيات المكانية-الزمانية للحدث نفسه، كما يُرصد من الإطارين المرجعيين S' و S ، اللذين يتحركان بسرعة نسبية u في اتجاه المحور x ، هي:

x′=x-تu،y′=y،z′=z،ت′=ت.{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x-tu,\\y'&=y,\\z'&=z,\\t'&=t.\end{aligned}}}

تُعرّف هذه المجموعة من الصيغ تحويلاً زمرياً يُعرف بالتحويل الغاليلي (أو ببساطة، تحويل غاليليو ). تُعدّ هذه الزمرة حالةً حديةً من زمرة بوانكاريه المستخدمة في النسبية الخاصة . وتُطبّق هذه الحالة الحدية عندما تكون السرعة u صغيرةً جدًا مقارنةً بسرعة الضوء c .

تترتب على هذه التحولات النتائج التالية:

  • v ′ = v − u (سرعة الجسيم v ′ من منظور S ′ أبطأ بمقدار u من سرعته v من منظور S )
  • a ′ = a (تسارع الجسيم هو نفسه في أي إطار مرجعي قصوري)
  • F ′ = F (القوة المؤثرة على الجسيم هي نفسها في أي إطار مرجعي قصوري)
  • سرعة الضوء ليست ثابتة في الميكانيكا الكلاسيكية، كما أن المكانة الخاصة التي تحظى بها سرعة الضوء في الميكانيكا النسبية ليس لها نظير في الميكانيكا الكلاسيكية.

في بعض المسائل، يكون من الملائم استخدام الإحداثيات الدوارة (الأطر المرجعية). وبذلك، يمكن إما الاحتفاظ بالربط بإطار مرجعي قصوري مناسب، أو إضافة قوة طرد مركزي وقوة كوريوليس افتراضيتين .

الميكانيكا النيوتونية

القوة في الفيزياء هي أي فعل يُسبب تغيراً في سرعة الجسم، أي تسارعه. تنشأ القوة من داخل مجال ، مثل المجال الكهروستاتيكي (الناجم عن الشحنات الكهربائية الساكنة)، أو المجال الكهرومغناطيسي (الناجم عن الشحنات المتحركة)، أو مجال الجاذبية (الناجم عن الكتلة)، وغيرها.

كان نيوتن أول من عبّر رياضياً عن العلاقة بين القوة والزخم . يفسر بعض الفيزيائيين قانون نيوتن الثاني للحركة على أنه تعريف للقوة والكتلة، بينما يعتبره آخرون مسلمة أساسية، قانوناً من قوانين الطبيعة. [ 16 ] كلا التفسيرين له نفس النتائج الرياضية، والمعروفة تاريخياً باسم "قانون نيوتن الثاني".

F=دصدت=د(مv)دت.{\displaystyle \mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d} (m\mathbf {v} ) \over \mathrm {d} t}.}

تُسمى الكمية mv بالزخم ( الأساسي ) . وبالتالي ، فإن محصلة القوى المؤثرة على جسيم تساوي معدل تغير زخم الجسيم مع الزمن. وبما أن تعريف التسارع هو a = dv /dt ، فيمكن كتابة القانون الثاني للديناميكا الحرارية بصيغة مبسطة وأكثر شيوعًا:

F=مأ.{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,.}

طالما أن القوة المؤثرة على الجسيم معروفة، فإن قانون نيوتن الثاني يكفي لوصف حركته. وبمجرد توفر علاقات مستقلة لكل قوة مؤثرة على الجسيم، يمكن تعويضها في قانون نيوتن الثاني للحصول على معادلة تفاضلية عادية ، تُسمى معادلة الحركة .

على سبيل المثال، افترض أن الاحتكاك هو القوة الوحيدة المؤثرة على الجسيم، وأنه يمكن نمذجته كدالة لسرعة الجسيم، على سبيل المثال:

FR=-λv،{\displaystyle \mathbf {F} _{\rm {R}}=-\lambda \mathbf {v} \,,}

حيث λ ثابت موجب، وتشير الإشارة السالبة إلى أن القوة معاكسة لاتجاه السرعة. عندئذٍ تكون معادلة الحركة هي

-λv=مأ=مدvدت.{\displaystyle -\lambda \mathbf {v} =m\mathbf {a} =m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,.}

يمكن دمج ذلك للحصول على

v=v0هـ-λت/م{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}e^{{-\lambda t}/{m}}}

حيث v₀ هي السرعة الابتدائية. هذا يعني أن سرعة هذا الجسيم تتناقص أُسّيًا إلى الصفر مع مرور الوقت. في هذه الحالة، يمكن النظر إلى الأمر من منظور مكافئ ، وهو أن الطاقة الحركية للجسيم تُمتصّ بفعل الاحتكاك (مما يحوّلها إلى طاقة حرارية وفقًا لقانون حفظ الطاقة )، ​​وبالتالي يتباطأ الجسيم. يمكن إجراء مزيد من التكامل على هذه المعادلة للحصول على موضع الجسيم r كدالة للزمن.

توضيح لكيفية أخذ قوة لورنتز غير المركزية في الاعتبار الاتجاه وأطر المرجعية النسبية لحساب الضرب الاتجاهي للمتجهات.

يمكن استخدام قانون نيوتن الثالث لاستنتاج القوى المؤثرة على جسيم في نظام مغلق. فإذا عُلم أن الجسيم A يؤثر بقوة F على الجسيم B، فإنه يترتب على ذلك أن B يؤثر بقوة رد فعل مساوية ومعاكسة، −F، على A. بالنسبة للقوى المحافظة ، يعني هذا أن التكامل الخطي حول مسار مغلق يساوي صفرًا. يتطلب الشكل القوي لقانون نيوتن الثالث أن تؤثر F و −F على طول الخط الواصل بين A و B، وتُعرف هاتان القوتان بالقوى المركزية . مع ذلك، تُعد القوى المركزية تقريبًا، لأن الأجسام الساكنة تكون ساكنة فقط بالنسبة لبعضها البعض. [ 17 ] يمكن إثبات هذا القيد على قانون نيوتن الثالث باستخدام قوة كولوم ، حيث يجب أن تبقى الشحنات ثابتة بالنسبة لإطار مرجعي غير متسارع. [ 18 ] عند التعامل مع القوى غير المركزية، مثل قوة لورنتز ، يُستخدم الشكل الضعيف لقانون نيوتن الثالث بتحديد قانون حفظ الزخم . يمكن إيجاد أمثلة على الصيغة الضعيفة لقانون نيوتن الثالث في القوى المغناطيسية، مثل قوة لورنتز، عند مناقشة التفاف أو الضرب الاتجاهي للمتجهات. وبالتالي، لا يمكن تحديد القوى المؤثرة على الأجسام دون مراعاة التسارع النسبي والاتجاه باستخدام أطر مرجعية. [ 19 ]

العمل والطاقة

إذا أثرت قوة ثابتة F على جسيم وأزاحته من الموضع r الابتدائي إلى الموضع r النهائي ، فإن الشغل المبذول ،دبليو،{\displaystyle W,}يُعرَّف الناتج عن القوة بأنه حاصل الضرب القياسي لتلك القوة ومتجه الإزاحة Δr = r النهائي − r الابتدائي :

دبليو=F⋅Δر.{\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} \,.}

وبشكل أعم، إذا تغيرت القوة كدالة للموضع أثناء تحرك الجسيم من r1 إلى r2 على طول المسار C ، فإن الشغل المبذول على الجسيم يُعطى بالتكامل الخطي .

دبليو=∫جF(ر)⋅در.{\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \,.}

إذا كان الشغل المبذول لنقل الجسيم من النقطة r1 إلى النقطة r2 متساوياً بغض النظر عن المسار المتبع، يُقال إن القوة محافظة . الجاذبية قوة محافظة، وكذلك القوة الناتجة عن نابض مثالي ، وفقاً لقانون هوك . أما قوة الاحتكاك فهي غير محافظة.

الطاقة الحركية E k لجسيم كتلته m يتحرك بسرعة v تعطى بالعلاقة التالية

هـك=12مv2.{\displaystyle E_{\mathrm {k} }={\tfrac {1}{2}}mv^{2}\,.}

بالنسبة للأجسام الممتدة المكونة من العديد من الجسيمات، فإن الطاقة الحركية للجسم المركب هي مجموع الطاقات الحركية للجسيمات.

تنص نظرية الشغل والطاقة على أنه بالنسبة لجسيم ذي كتلة ثابتة m ، فإن إجمالي الشغل W المبذول على الجسيم أثناء انتقاله من الموضع r 1 إلى r 2 يساوي التغير في الطاقة الحركية E k للجسيم:

دبليو=Δهـك=هـك2-هـك1=12م(v22-v12).{\displaystyle W=\Delta E_{\mathrm {k} }=E_{\mathrm {k_{2}} }-E_{\mathrm {k_{1}} }={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{2}^{\,2}-v_{1}^{\,2}\يمين).}

يمكن التعبير عن القوى المحافظة على أنها تدرج دالة قياسية، تُعرف باسم طاقة الوضع ويرمز لها بـ E p :

F=-∇هـص.{\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } E_{\mathrm {p} }\,.}

إذا كانت جميع القوى المؤثرة على جسيم ما قوى محافظة، فإن E<sub> p</sub> هي طاقة الوضع الكلية (والتي تُعرَّف بأنها شغل القوى المعنية لإعادة ترتيب المواضع المتبادلة للأجسام)، والتي يتم الحصول عليها عن طريق جمع طاقات الوضع المقابلة لكل قوة

F⋅Δر=-∇هـص⋅Δر=-Δهـص.{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} =-\mathbf {\nabla } E_{\mathrm {p} }\cdot \Delta \mathbf {r} =-\Delta E_{\mathrm {p} }\,.}

إن انخفاض طاقة الوضع يساوي الزيادة في الطاقة الحركية

-Δهـص=Δهـك⇒Δ(هـك+هـص)=0.{\displaystyle -\Delta E_{\mathrm {p} }=\Delta E_{\mathrm {k} }\Rightarrow \Delta (E_{\mathrm {k} }+E_{\mathrm {p} })=0\,.}

تُعرف هذه النتيجة باسم قانون حفظ الطاقة، وتنص على أن الطاقة الكلية ،

∑هـ=هـك+هـص،{\displaystyle \sum E=E_{\mathrm {k} }+E_{\mathrm {p} }\,,}

ثابت مع الزمن. وهو مفيد في كثير من الأحيان، لأن العديد من القوى الشائعة الاستخدام هي قوى محافظة.

ميكانيكا لاغرانج

الميكانيكا اللاغرانجية هي صياغة للميكانيكا الكلاسيكية تقوم على مبدأ الفعل الثابت (المعروف أيضًا بمبدأ الفعل الأدنى). وقد قدمها عالم الرياضيات والفلك الإيطالي الفرنسي جوزيف لويس لاغرانج في عرضه أمام أكاديمية تورينو للعلوم عام 1760 [ 20 ] ، وبلغت ذروتها في عمله العظيم " الميكانيكا التحليلية" عام 1788. تصف الميكانيكا اللاغرانجية النظام الميكانيكي على أنه زوج من(م،ل){\textstyle (M,L)}يتكون من مساحة التكوينم{\textstyle M}ووظيفة سلسةل{\textstyle L}ضمن هذا الفضاء المسمى لاغرانجي. بالنسبة للعديد من الأنظمة،ل=تي-V،{\textstyle L=T-V,}أينتي{\textstyle T}وV{\displaystyle V}تمثل الطاقة الحركية والطاقة الكامنة للنظام، على التوالي. ويتطلب مبدأ الفعل الثابت أن تكون دالة الفعل للنظام مشتقة منل{\textstyle L}يجب أن تبقى عند نقطة ثابتة ( قيمة عظمى ، أو قيمة صغرى ، أو نقطة سرجية ) طوال تطور النظام مع الزمن. يسمح هذا القيد بحساب معادلات حركة النظام باستخدام معادلات لاغرانج. [ 21 ]

ميكانيكا هاميلتون

ظهرت الميكانيكا الهاميلتونية في عام 1833 كإعادة صياغة للميكانيكا اللاغرانجية . وقد قدمها السير ويليام روان هاميلتون ، [ 22 ] وتحل الميكانيكا الهاميلتونية محل السرعات (المعممة).q˙أنا{\displaystyle {\dot {q}}^{i}}تُستخدم في ميكانيكا لاغرانج مع الزخم (المُعمّم) . تُقدّم كلتا النظريتين تفسيرات للميكانيكا الكلاسيكية وتصفان نفس الظواهر الفيزيائية. ترتبط ميكانيكا هاميلتون ارتباطًا وثيقًا بالهندسة (لا سيما الهندسة التبسيطية وبنى بواسون ) وتُشكّل حلقة وصل بين الميكانيكا الكلاسيكية والميكانيكا الكمية .

في هذا الشكل، تخضع ديناميكيات النظام لمعادلات هاميلتون، التي تعبر عن المشتقات الزمنية لمتغيرات الموضع والزخم بدلالة المشتقات الجزئية لدالة تسمى الهاميلتوني: دqدت=∂ح∂ص،دصدت=-∂ح∂q.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.} الهاميلتوني هو تحويل ليجندر لللاغرانجي، وفي العديد من الحالات ذات الأهمية الفيزيائية يكون مساوياً للطاقة الكلية للنظام.

الشخصية الأساسية

تتمتع الميكانيكا الكلاسيكية بنطاق واسع من التطبيقات، لكن تأثيرها على الفيزياء لا يقتصر على تطبيقاتها العملية. تُعدّ التقنيات والمنظور في الميكانيكا الكلاسيكية أساسًا بالغ الأهمية للفيزياء الحديثة. [ 3 ] : 8. وقد تمّ تكييف التقنيات الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية إلى ما هو أبعد بكثير من مصدر إلهامها الأصلي. [ 23 ] : 2

حدود الصلاحية

مخطط ثنائي الأبعاد لآليات الحجم حسب السرعة
نطاق صلاحية الميكانيكا الكلاسيكية

عندما يتعذر تطبيق كل من ميكانيكا الكم والميكانيكا الكلاسيكية، كما هو الحال على المستوى الكمي مع درجات حرية متعددة، تصبح نظرية الحقل الكمومي (QFT) مفيدة. تتعامل QFT مع المسافات الصغيرة والسرعات العالية مع درجات حرية متعددة، بالإضافة إلى إمكانية أي تغيير في عدد الجسيمات خلال التفاعل. عند معالجة درجات الحرية الكبيرة على المستوى العياني، تصبح الميكانيكا الإحصائية مفيدة. تصف الميكانيكا الإحصائية سلوك أعداد كبيرة (لكنها قابلة للعد) من الجسيمات وتفاعلاتها ككل على المستوى العياني. تُستخدم الميكانيكا الإحصائية بشكل أساسي في الديناميكا الحرارية للأنظمة التي تقع خارج حدود افتراضات الديناميكا الحرارية الكلاسيكية. في حالة الأجسام عالية السرعة التي تقترب من سرعة الضوء، يتم تعزيز الميكانيكا الكلاسيكية بالنظرية النسبية الخاصة . في حالة الأجسام التي تصبح ثقيلة للغاية (أي أن نصف قطر شوارزشيلد الخاص بها ليس صغيرًا بشكل مهمل لتطبيق معين)، تصبح الانحرافات عن الميكانيكا النيوتونية واضحة ويمكن تحديدها كميًا باستخدام الصيغة البارامترية لما بعد نيوتن . في هذه الحالة، تصبح النسبية العامة قابلة للتطبيق. مع ذلك، لا توجد حتى الآن نظرية للجاذبية الكمومية توحد النسبية العامة ونظرية الحقل الكمومي بمعنى إمكانية استخدامها عندما تصبح الأجسام متناهية الصغر والثقل. [4] [5]

التقريب النيوتني للنسبية الخاصة

في النسبية الخاصة، يُعطى زخم الجسيم بالعلاقة التالية:

ص=مv1-v2ج2،{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,,}

حيث m هي كتلة سكون الجسيم، و v سرعته، و v هو مقياس v ، و c هي سرعة الضوء.

إذا كانت قيمة v صغيرة جدًا مقارنةً بـ c ، فإن v² / c² تساوي تقريبًا صفرًا، وبالتالي

ص≈مv.{\displaystyle \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} \,.}

وبالتالي فإن معادلة نيوتن p = m v هي تقريب للمعادلة النسبية للأجسام التي تتحرك بسرعات منخفضة مقارنة بسرعة الضوء.

على سبيل المثال، يُعطى تردد السيكلوترون النسبي للسيكلوترون أو الجيروترون أو الماغنيترون عالي الجهد بالعلاقة التالية:

و=وجم0م0+تيج2،{\displaystyle f=f_{\mathrm {c} }{\frac {m_{0}}{m_{0}+{\frac {T}{c^{2}}}}}\,,}

حيث f<sub> c</sub> هو التردد الكلاسيكي للإلكترون (أو أي جسيم مشحون آخر) ذي طاقة حركية T وكتلة سكون m <sub> 0 </sub> يدور في مجال مغناطيسي. تبلغ كتلة سكون الإلكترون 511 كيلو إلكترون فولت. لذا، فإن تصحيح التردد هو 1% لأنبوب مفرغ مغناطيسي بجهد تسريع تيار مستمر قدره 5.11 كيلو فولت.  

التقريب الكلاسيكي لميكانيكا الكم

ينهار تقريب الأشعة في الميكانيكا الكلاسيكية عندما لا يكون طول موجة دي برولي أصغر بكثير من الأبعاد الأخرى للنظام. بالنسبة للجسيمات غير النسبية، يكون طول هذه الموجة

λ=حص{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}

حيث h هو ثابت بلانك و p هو الزخم.

مرة أخرى، يحدث هذا مع الإلكترونات قبل حدوثه مع الجسيمات الأثقل. على سبيل المثال، كان للإلكترونات التي استخدمها كلينتون دافيسون وليستر جيرمر عام 1927، والتي تم تسريعها بجهد 54  فولت، طول موجي قدره 0.167  نانومتر، وهو طول كافٍ لإظهار فص جانبي واحد للحيود عند انعكاسها من سطح بلورة نيكل بمسافة ذرية تبلغ 0.215 نانومتر. باستخدام حجرة تفريغ أكبر ، يبدو من السهل نسبيًا زيادة الدقة الزاوية من حوالي راديان إلى ملي راديان، وبالتالي رصد حيود الكم من الأنماط الدورية لذاكرة الحاسوب في الدوائر المتكاملة . 

ومن الأمثلة العملية الأخرى على فشل الميكانيكا الكلاسيكية على نطاق هندسي التوصيل عن طريق النفق الكمي في الثنائيات النفقية وبوابات الترانزستور الضيقة جدًا في الدوائر المتكاملة .

تعتمد الميكانيكا الكلاسيكية على نفس التقريب عالي التردد للغاية الذي تعتمده البصريات الهندسية . وهي أكثر دقة في أغلب الأحيان لأنها تصف الجسيمات والأجسام ذات الكتلة السكونية . تمتلك هذه الجسيمات زخمًا أكبر، وبالتالي أطوال موجية أقصر في منحنى دي برولي، مقارنةً بالجسيمات عديمة الكتلة، مثل الضوء، التي لها نفس الطاقة الحركية.

تاريخ

يُعدّ علم حركة الأجسام علماً قديماً، مما يجعل الميكانيكا الكلاسيكية أحد أقدم وأوسع فروع العلوم والهندسة والتكنولوجيا . وقد أدى تطور الميكانيكا الكلاسيكية إلى تطور العديد من فروع الرياضيات . [ 24 ] : 54

ربما كان بعض فلاسفة اليونان القدماء، ومن بينهم أرسطو مؤسس الفيزياء الأرسطية ، من أوائل من تبنوا فكرة أن "لكل شيء سبب" وأن المبادئ النظرية يمكن أن تساعد في فهم الطبيعة. [ 25 ] وبينما تبدو العديد من هذه الأفكار المحفوظة منطقية للغاية للقارئ المعاصر، إلا أن هناك نقصًا واضحًا في كل من النظرية الرياضية والتجربة المضبوطة ، كما نعرفها اليوم. وقد أصبحت هذه العوامل لاحقًا عوامل حاسمة في تشكيل العلوم الحديثة، وأصبح تطبيقها المبكر يُعرف بالميكانيكا الكلاسيكية. في كتابه " عناصر فوق إثبات الأوزان" ، قدم عالم الرياضيات في العصور الوسطى جوردانوس دي نيمور مفهوم " الجاذبية الموضعية " واستخدام القوى المركبة . [ 26 ]

رسم تخطيطي لنظرية الدافع لألبرت الساكسوني مع abcd
نظرية المراحل الثلاث للدافع وفقًا لألبرت الساكسوني

كان أول وصف حديث لحركة الكواكب هو كتاب "أسترونوميا نوفا" ليوهانس كيبلر ، الذي نُشر عام 1609. [ 27 ] استنتج كيبلر، بناءً على ملاحظات تيكو براهي لمدار المريخ ، أن مدارات الكوكب بيضاوية الشكل . تزامن هذا التحول عن الفكر القديم مع الوقت الذي كان فيه غاليليو يقترح قوانين رياضية مجردة لحركة الأجسام. ربما يكون غاليليو قد أجرى (أو لم يجرِ) التجربة الشهيرة لإسقاط كرتين مدفعية مختلفتي الوزن من برج بيزا ، مُظهرًا أنهما اصطدمتا بالأرض في الوقت نفسه. لا تزال حقيقة تلك التجربة محل جدل، [ 28 ] لكنه أجرى تجارب كمية عن طريق دحرجة كرات على مستوى مائل . استُمدت نظريته عن الحركة المتسارعة من نتائج هذه التجارب، وهي تُشكل حجر الزاوية في الميكانيكا الكلاسيكية. لقد نشأت المعالجة الرياضية لغاليليو للتسارع ومفهومه عن الدفع [ 29 ] من تحليلات الحركة في العصور الوسطى السابقة ، وخاصة تحليلات ابن سينا ​​[ 30 ] وابن باجة [ 31 ] وجان بوريدان [ 32 ] .

في عام 1673، وصف كريستيان هويغنز في كتابه "Horologium Oscillatorium" أول قانونين للحركة . [ 33 ] ويُعد هذا العمل أيضًا أول دراسة حديثة تُجسد مسألة فيزيائية ( الحركة المتسارعة لجسم ساقط) من خلال مجموعة من المعاملات، ثم تُحلل رياضيًا، ويُشكل أحد الأعمال الرائدة في الرياضيات التطبيقية . [ 34 ]

صورة لإسحاق نيوتن بشعر طويل ينظر إلى اليسار
السير إسحاق نيوتن (1643-1727)، شخصية مؤثرة في تاريخ الفيزياء، وقوانينه الثلاثة للحركة تشكل أساس الميكانيكا الكلاسيكية

أسس نيوتن مبادئه في الفلسفة الطبيعية على ثلاثة قوانين مقترحة للحركة : قانون القصور الذاتي ، وقانونه الثاني للتسارع (المذكور أعلاه)، وقانون الفعل ورد الفعل ؛ وبذلك وضع أسس الميكانيكا الكلاسيكية. وقد حظي كل من قانوني نيوتن الثاني والثالث بالمعالجة العلمية والرياضية المناسبة في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" . [ 35 ] ويُفرّق هنا بينهما وبين المحاولات السابقة لتفسير ظواهر مماثلة، والتي كانت إما ناقصة أو غير صحيحة أو تفتقر إلى التعبير الرياضي الدقيق. كما وضع نيوتن مبدأي حفظ الزخم والزخم الزاوي .

في علم الميكانيكا، قدّم نيوتن أول صياغة علمية ورياضية صحيحة للجاذبية في قانون نيوتن للجاذبية الكونية . [ 36 ] يوفر الجمع بين قوانين نيوتن للحركة والجاذبية الوصف الأكثر شمولاً ودقة للميكانيكا الكلاسيكية. وقد أثبت أن هذه القوانين تنطبق على الأشياء اليومية كما تنطبق على الأجرام السماوية. وعلى وجه الخصوص، قدّم تفسيراً نظرياً لقوانين كبلر لحركة الكواكب. [ 37 ]

كان نيوتن قد اخترع حساب التفاضل والتكامل سابقًا ؛ ومع ذلك، فقد صيغ كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" بالكامل باستخدام أساليب هندسية راسخة، محاكاةً لمنهج إقليدس . عمل نيوتن، ومعظم معاصريه باستثناء هيغنز ، على افتراض أن الميكانيكا الكلاسيكية قادرة على تفسير جميع الظواهر، بما في ذلك الضوء ، في صورة البصريات الهندسية . حتى عند اكتشافه ما يُسمى بحلقات نيوتن ( ظاهرة تداخل الموجات )، ظل متمسكًا بنظريته الجسيمية الخاصة بالضوء .

لوحة جوزيف لويس لاغرانج
تمثلت مساهمة لاغرانج في تحقيق أفكار نيوتن بلغة الرياضيات الحديثة، والتي تسمى الآن الميكانيكا اللاغرانجية .

بعد نيوتن، أصبحت الميكانيكا الكلاسيكية مجالًا رئيسيًا للدراسة في الرياضيات والفيزياء. وقد أتاحت المعالجات الرياضية الأكثر تجريدًا وتعميمًا إيجاد حلول لعدد أكبر بكثير من المسائل. وفي عام 1788، أجرى جوزيف لويس لاغرانج إعادة صياغة مهمة . ثم أعاد ويليام روان هاميلتون صياغة ميكانيكا لاغرانج في عام 1833. [ 38 ]

صورة لويليام روان هاميلتون، جالساً وينظر إلى اليسار
قام هاميلتون بتطوير بديل للميكانيكا اللاغرانجية يُطلق عليه الآن اسم الميكانيكا الهاميلتونية .

ظهرت بعض الصعوبات في الميكانيكا الكلاسيكية في أواخر القرن التاسع عشر، والتي لم يكن بالإمكان حلها إلا بمراجعات في الفيزياء. ومن بين هذه الصعوبات مسألة التوافق مع النظرية الكهرومغناطيسية ، وتجربة ميكلسون-مورلي الشهيرة . وقد أدى حل هذه المشكلات إلى ظهور النظرية النسبية الخاصة ، التي تُدرج أحيانًا ضمن الفيزياء "الكلاسيكية"، [ 39 ] [ 11 ] ، بينما يُقال أحيانًا أخرى إنها غير قابلة للمقارنة معها. [ 40 ] ويمكن اعتبار هذه النظرية امتدادًا لقوانين الفيزياء، والتي تُكمل، جنبًا إلى جنب مع النسبية العامة ، الميكانيكا الكلاسيكية. [ 41 ]

ثمة مشكلة ثانية تتعلق بالديناميكا الحرارية . فعند دمجها مع الديناميكا الحرارية، تؤدي الميكانيكا الكلاسيكية إلى مفارقة جيبس ​​في الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية ، حيث لا تُعدّ الإنتروبيا كمية محددة بدقة. [ 42 ] ولم يُفسَّر إشعاع الجسم الأسود إلا بإدخال مفهوم الكمّات . [ 43 ] ومع وصول التجارب إلى المستوى الذري، عجزت الميكانيكا الكلاسيكية عن تفسير أمور أساسية، حتى بشكل تقريبي، مثل مستويات الطاقة وأحجام الذرات والتأثير الكهروضوئي . وقد أدى السعي لحل هذه المشكلات إلى تطوير ميكانيكا الكم . [ 44 ]

منذ نهاية القرن العشرين، لم تعد الميكانيكا الكلاسيكية في الفيزياء نظرية مستقلة، بل أصبحت تُعتبر نظرية تقريبية للميكانيكا الكمية الأكثر عمومية. وقد تحوّل التركيز إلى فهم القوى الأساسية للطبيعة، كما في النموذج القياسي وامتداداته الحديثة نحو نظرية موحدة لكل شيء . تُعدّ الميكانيكا الكلاسيكية نظرية مفيدة لدراسة حركة الجسيمات غير الكمية منخفضة الطاقة في مجالات جاذبية ضعيفة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بن حاييم، مايكل (2004). الفلسفة التجريبية ونشأة العلوم التجريبية: بويل، ولوك، ونيوتن . ألدرشوت: أشغيت. ISBN 0-7546-4091-4. OCLC 53887772 . .
  2. ↑ كيبل، توم دبليو بي؛ بيركشاير، فرانك إتش (يونيو 2004). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الخامسة). مطبعة إمبريال كوليدج. doi : 10.1142/9781860945199_0001 . ISBN  978-1-86094-424-6.
  3. 1 2 3 4 غولدشتاين، هربرت ؛ بول، تشارلز ب.؛ سافكو، جون ل. (2002). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الثالثة). أديسون ويسلي. ISBN  978-0-201-65702-9.
  4. ↑ هيرمان، بوندي (1980). النسبية والفطرة السليمة . دار دوفر للنشر. رقم ISBN 978-0486240213.
  5. 1 2 توماس والاس رايت (1896). عناصر الميكانيكا بما في ذلك علم الحركة، وعلم الحركة الحركية، وعلم السكون: مع تطبيقات . إي. وإف إن سبون. ص 85. 
  6. ↑ ويتاكر، إدموند تايلور (أغسطس 2012) [1904]. رسالة في الديناميكا التحليلية للجسيمات والأجسام الصلبة . مطبعة جامعة كامبريدج. الفصل 1. ISBN 978-0-521-35883-5.
  7. ↑ بيغز، جوزيف ستايلز (1983). علم الحركة . تايلور وفرانسيس. ص 1. ISBN  0-89116-355-7.
  8. ↑ راسل سي. هيبلر (2009). "حركيات وديناميكيات الجسيم" . ميكانيكا الهندسة: الديناميكا ( الطبعة الثانية عشرة). برنتيس هول. ص 298. ISBN   978-0-13-607791-6.
  9. ↑ شبانة، أحمد أ. (2003). "الحركة المرجعية" . ديناميكيات الأنظمة متعددة الأجسام ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN  978-0-521-54411-5.
  10. ↑ تيودوريسكو، ب.ب. (2007). "علم الحركة" . الأنظمة الميكانيكية، النماذج الكلاسيكية: ميكانيكا الجسيمات . سبرينغر. ص 287. ISBN  978-1-4020-5441-9..
  11. 1 2 غرينوود، دونالد ت. (1997). الميكانيكا الكلاسيكية (إعادة طبع طبعة 1977 ). منشورات كوريير دوفر. ص 1. ISBN   0-486-69690-1.
  12. ↑ لانكزوس، كورنيليوس (1970). مبادئ الميكانيكا التغيرية ( الطبعة الرابعة). نيويورك: منشورات دوفر. مقدمة، الصفحات 21-29. ISBN  0-486-65067-7.
  13. 1 2 سوسمان، جيرالد جاي؛ ويزدوم، جاك؛ ماير، مينهارد إي.؛ ماير، مينهارد إي. (2001). بنية وتفسير الميكانيكا الكلاسيكية . كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ISBN 978-0-262-19455-6.
  14. ^ كنودسن، ينس م. هجورث، بول (2012). عناصر ميكانيكا نيوتن ( الطبعة المصورة). سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. ص. 30. رقم ISBN   978-3-642-97599-8.مقتطف من الصفحة 30
  15. ↑ "ملاحظات المحاضرة 8.01" (ملف PDF) . قسم الفيزياء، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . 2003. ص 12. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 9 يوليو 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 يوليو 2013 . 
  16. ↑ ثورنتون، ستيفن ت.؛ ماريون، جيري ب. (2004). الديناميكا الكلاسيكية للجسيمات والأنظمة ( الطبعة الخامسة). بلمونت، كاليفورنيا: بروكس/كول. 50 صفحة . ISBN   978-0-534-40896-1.
  17. ↑ ريناسيفيتش، روبرت؛ زالتا، إدوارد ن. (2022). آراء نيوتن حول المكان والزمان والحركة ( طبعة ربيع 2022). مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد: موسوعة ستانفورد للفلسفة. 
  18. ↑ تايلور، جون (2005). الميكانيكا الكلاسيكية . منشورات جامعة العلوم. ص 133-138 . ISBN  1-891389-22-X.
  19. ↑ غريفيث، ديفيد (2023). مقدمة في الديناميكا الكهربائية ( الطبعة الرابعة). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 316-318 .  
  20. ↑ فريزر، كريغ (1983). "مساهمات جيه إل لاغرانج المبكرة في مبادئ وأساليب الميكانيكا". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 28 (3): 197-241 . doi : 10.1007/BF00328268 . JSTOR 41133689 . 
  21. ↑ هاند، إل إن؛ فينش، جيه دي (1998). الميكانيكا التحليلية ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 18-20 ، 23، 46، 51. ISBN   9780521575720.
  22. ↑ هاملتون، ويليام روان (1833). حول طريقة عامة للتعبير عن مسارات الضوء والكواكب بمعاملات دالة مميزة . طُبع بواسطة بي دي هاردي. OCLC 68159539 . 
  23. ^ سينج، جي إل (1960). فلوج، س. (محرر). مبادئ الميكانيكا الكلاسيكية ونظرية المجال / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie . المجلد. 2 / 3 / 1. برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ. ص 1 – 225. دوى : 10.1007/978-3-642-45943-6_1 . رقم ISBN   978-3-540-02547-4.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  24. ↑ دوران، كريس؛ لاسنبي، أنتوني ن. (2003). الجبر الهندسي للفيزيائيين . كامبريدج، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-48022-2.
  25. ↑ بيشلر، زيف (1995). "السببية المنطقية وأولوية الواقع: النتائج والأمثلة" . نظرية أرسطو في الواقع . سلسلة جامعة ولاية نيويورك في الفلسفة اليونانية القديمة. مطبعة جامعة ولاية نيويورك. ص 59-67 . ISBN  978-0-7914-9608-4.
  26. ↑ جليك، توماس ف.؛ ليفسي، ستيفن؛ واليس، فيث، محرران. (2014). "جوردانوس دي نيمور" . العلوم والتكنولوجيا والطب في العصور الوسطى: موسوعة . موسوعات روتليدج للعصور الوسطى. المجلد 11. روتليدج. ص 294. ISBN   978-1-135-45932-1.
  27. ↑ مانتون، نيكولاس؛ مي، نيكولاس (2017). العالم المادي: جولة ملهمة في الفيزياء الأساسية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 26. ISBN  978-0-19-251565-0.
  28. ↑ تاكر، ستيفن؛ فيرهيست، فرانك؛ سترناد، جانيز؛ دروموند، بيتر (2002). "ما فعله غاليليو عند برج بيزا". عالم الفيزياء . 15 (11). دار نشر IOP المحدودة: 20. doi : 10.1088/2058-7058/15/11/25 .
  29. ↑ جاليليو جاليليو (1974). علمان جديدان . ترجمة دريك، ستيلمان . ماديسون: مطبعة جامعة ويسكونسن. الصفحات 217، 225، 296-297 . 
  30. ↑ إسبينوزا، فرناندو (2005). "تحليل التطور التاريخي للأفكار المتعلقة بالحركة وآثارها على التدريس". تعليم الفيزياء . 40 (2): 141. Bibcode : 2005PhyEd..40..139E . doi : 10.1088/0031-9120/40/2/002 .
  31. ↑ مودي، إرنست أ. (1951). "غاليليو وأفمباس: ديناميكيات تجربة البرج المائل (1)". مجلة تاريخ الأفكار . 12 (2): 163-193 . doi : 10.2307/2707514 . JSTOR 2707514 . 
  32. ↑ دوجاس، رينيه (1988). تاريخ الميكانيكا . سلسلة كتب دوفر في الفيزياء. شركة كورير. ص 87. ISBN  0-486-65632-2.
  33. ↑ إيليف، روب؛ سميث، جورج إي. (2016). دليل كامبريدج لنيوتن . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 75. ISBN  9781107015463.
  34. ↑ يودر، جويلا ج. (1988). كشف الزمن: كريستيان هويغنز ورياضيات الطبيعة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-34140-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 26-11-2025 .
  35. ↑ هان، ألكسندر ج. (2020). الحساب الأساسي لمدارات الكواكب والرحلات بين الكواكب: مهمات فوياجر وكاسيني وجونو . سبرينغر نيتشر. الصفحات 9-20 . ISBN  978-3-030-24868-0.
  36. ↑ فيرونسكي، في. آي. (2016). الجاذبية، والقصور الذاتي، وانعدام الوزن: التأثيرات الطاردة المركزية والدورانية لطاقة تفاعل نظام الأجسام المتعددة . سبرينغر. ص 1-3 . ISBN  978-3-319-32291-9.
  37. ↑ ديلون، فيك (30 سبتمبر 2009). "اشتقاق نيوتن لقوانين كبلر" . جامعة شيفيلد . تاريخ الاسترجاع: 27 نوفمبر 2025 .
  38. ↑ ويليامز، جيفري هـ. (2015). النظام من القوة: تاريخ طبيعي للفراغ . سلسلة الفيزياء الموجزة من IOP. دار مورغان وكلايبول للنشر. ص 6-3. ISBN  978-1-68174-241-0.
  39. ↑ تايلور، جون روبرت (2005). الميكانيكا الكلاسيكية . منشورات جامعة العلوم. ISBN 978-1-891389-22-1.
  40. ↑ هونغ، إدوين هـ.-ك. (2017). ما وراء كون: التفسير العلمي، وبنية النظرية، وعدم التناسب، والضرورة الفيزيائية . تايلور وفرانسيس. ص 126-127 . ISBN  978-1-351-95564-5.
  41. ↑ هيليويل، تي إم؛ ساهاكيان، في في (2021). الميكانيكا الكلاسيكية الحديثة . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 13. ISBN  978-1-108-83497-1.
  42. ↑ بارسكي، يوجين (2020). إنتروبيا العمليات والأنظمة المعقدة . إلسيفير. ص 25-27 . ISBN  978-0-12-822539-4.
  43. ↑ أميت، دانيال ج .؛ فيربين، يوسف (1999). الفيزياء الإحصائية: دورة تمهيدية . سلسلة المراجع والمعلومات والمواضيع متعددة التخصصات. وورلد ساينتيفيك. ص 398. ISBN  978-981-02-3476-8.
  44. ↑ بهاتاشاريا، غوتام (2010). "ميكانيكا الكم والنسبية: دراسة مفاهيمية" . في سينغوبتا، براديب كومار (محرر). تاريخ العلوم وفلسفة العلوم: منظور تاريخي لتطور الأفكار في العلوم . المجلد 13. بيرسون للتعليم الهند. الصفحات 229-236 . ISBN   978-81-317-1930-5.

للمزيد من القراءة