منفعة متعددة السمات

في نظرية القرار ، يتم استخدام دالة المنفعة متعددة السمات لتمثيل تفضيلات الوكيل على مجموعات من السلع إما في ظل ظروف اليقين بشأن نتائج أي خيار محتمل، أو في ظل ظروف عدم اليقين.

يتعين على الشخص الاختيار بين خيارين أو أكثر. ويستند القرار إلى خصائص الخيارات.

أبسط الحالات هي عندما يكون هناك سمة واحدة فقط، مثلاً: المال. يُفترض عادةً أن جميع الناس يفضلون المال الأكثر على المال الأقل؛ لذا، فإن المشكلة في هذه الحالة بسيطة: اختر الخيار الذي يمنحك مالاً أكثر.

في الواقع، توجد سمتان أو أكثر. على سبيل المثال، يتعين على شخص ما الاختيار بين خيارين وظيفيين: الخيار (أ) يمنحه 12 ألف دولار شهريًا و20 يومًا إجازة، بينما يمنحه الخيار (ب) 15 ألف دولار شهريًا و10 أيام إجازة فقط. عليه أن يقرر بين (12 ألف، 20) و(15 ألف، 10). قد تختلف تفضيلات الأشخاص. في ظل ظروف معينة، يمكن تمثيل تفضيلات الشخص بدالة عددية. تتناول مقالة " المنفعة الترتيبية" بعض خصائص هذه الدوال وبعض طرق حسابها.

من الاعتبارات الأخرى التي قد تُعقّد مسألة اتخاذ القرار عدم اليقين . على الرغم من وجود أربعة مصادر على الأقل لعدم اليقين - نتائج السمة، وعدم وضوح الأمر لدى صانع القرار بشأن: أ) الأشكال المحددة لدوال منفعة كل سمة على حدة، ب) قيم الثوابت التجميعية، ج) ما إذا كانت دوال منفعة السمة جمعية (وهي المصطلحات التي سنتناولها حاليًا) - فإن عدم اليقين يعني من الآن فصاعدًا مجرد العشوائية في مستويات السمة. يوجد هذا التعقيد حتى عند وجود سمة واحدة، مثل المال. على سبيل المثال، قد يكون الخيار (أ) عبارة عن يانصيب باحتمالية 50% للفوز بدولارين، بينما الخيار (ب) هو الفوز بدولار واحد مؤكد. يتعين على الشخص الاختيار بين اليانصيب (2:0.5) واليانصيب (1:1). مرة أخرى، قد تختلف تفضيلات الأشخاص. كذلك، في ظل ظروف معينة، يمكن تمثيل هذه التفضيلات بدالة عددية. تُسمى هذه الدوال بدوال المنفعة الأساسية . تصف مقالة نظرية فون نيومان-مورجنسترن للمنفعة بعض الطرق التي يمكن من خلالها حسابها.

الوضع الأكثر عمومية هو وجود سمات متعددة وعدم يقين . على سبيل المثال، قد يكون الخيار (أ) عبارة عن يانصيب باحتمالية 50% للفوز بتفاحتين وموزتين، بينما يضمن الخيار (ب) الفوز بموزتين. القرار محصور بين الخيارين <(2,2):(0.5,0.5)> و <(2,0):(1,0)>. يمكن تمثيل التفضيلات هنا بدوال المنفعة الأساسية التي تأخذ عدة متغيرات (السمات). ^{[ 1 ] : 26-27} وتُعد هذه الدوال محور هذه المقالة.

الهدف هو حساب دالة المنفعة${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})}$والتي تمثل تفضيلات الشخص في اليانصيب المجمع. أي أن اليانصيب أ يُفضل على اليانصيب ب إذا وفقط إذا كان التوقع للدالة${\displaystyle u}$أعلى في الحالة أ منه في الحالة ب:

${\displaystyle E_{A}[u(x_{1},...,x_{n})]>E_{B}[u(x_{1},...,x_{n})]}$

إذا كان عدد الحزم الممكنة محدودًا، فيمكن حساب المنفعة u مباشرةً كما شرحها فون نيومان ومورغنسترن (VNM): رتب الحزم من الأقل تفضيلًا إلى الأكثر تفضيلًا، وخصص منفعة 0 للأولى ومنفعة 1 للثانية، وخصص لكل حزمة بينهما منفعة تساوي احتمال الحصول على نتيجة مماثلة في اليانصيب. ^{[ 1 ] : 222-223}

إذا كان عدد الحزم لانهائيًا، فإن أحد الخيارات هو البدء بتجاهل العشوائية، وتقييم دالة المنفعة الترتيبية.${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})}$والتي تمثل منفعة الشخص في مجموعات معينة . أي أن المجموعة س تُفضل على المجموعة ص إذا وفقط إذا كانت الدالة${\displaystyle v}$تكون أعلى بالنسبة لـ x منها بالنسبة لـ y:

${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})>v(y_{1},...,y_{n})}$

تقوم هذه الدالة، في الواقع، بتحويل مشكلة السمات المتعددة إلى مشكلة ذات سمة واحدة: السمة هي${\displaystyle v}$بعد ذلك، يمكن استخدام VNM لإنشاء الدالة${\displaystyle u}$[ ^{1 ] : 219-220​}

لاحظ أن u يجب أن تكون تحويلاً رتيباً موجباً لـ v . هذا يعني وجود دالة متزايدة بشكل رتيب.${\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$بحيث:

${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=r(v(x_{1},...,x_{n}))}$

تكمن مشكلة هذا النهج في صعوبة تقييم الدالة r . عند تقييم دالة منفعة عددية أحادية السمة باستخدام نموذج VNM، نطرح أسئلة مثل: "ما احتمال ربح دولارين يعادل ربح دولار واحد؟". لذا، لتقييم الدالة r ، علينا طرح سؤال مثل: "ما احتمال ربح وحدتين من القيمة يعادل قيمة واحدة؟". يُعدّ السؤال الأخير أصعب بكثير من الأول، لأنه يتضمن "القيمة"، وهي كمية مجردة.

يتمثل أحد الحلول الممكنة في حساب n من دوال المنفعة الأساسية أحادية البعد - دالة لكل سمة. على سبيل المثال، لنفترض أن هناك سمتين: التفاح (${\displaystyle x_{1}}$) والموز (${\displaystyle x_{2}}$يتراوح كلا القيمتين بين 0 و99. باستخدام VNM، يمكننا حساب دوال المنفعة أحادية البعد التالية:

• ${\displaystyle u(x_{1},0)}$- فائدة أساسية على التفاح عندما لا يكون هناك موز (الحدود الجنوبية للمجال)؛
• ${\displaystyle u(99,x_{2})}$- فائدة أساسية على الموز عندما يكون التفاح في أقصى حالاته (الحدود الشرقية للنطاق).

باستخدام التحويلات الخطية، قم بتغيير مقياس الدوال بحيث يكون لها نفس القيمة على (99,0).

ثم، لكل حزمة${\displaystyle (x_{1}',x_{2}')}$ابحث عن حزمة مكافئة (حزمة لها نفس v ) تكون إما على الشكل التالي${\displaystyle (x_{1},0)}$أو على شكل${\displaystyle (99,x_{2})}$، وحدد فائدتها بنفس الرقم. ^{[ 1 ] : 221-222}

في كثير من الأحيان، يمكن استخدام بعض خصائص الاستقلال بين السمات لتسهيل بناء دالة المنفعة. وفيما يلي وصف لبعض هذه الخصائص.

تُسمى أقوى خاصية استقلال بالاستقلال الجمعي . يُطلق على سمتين، 1 و2، اسم الاستقلال الجمعي ، إذا كان التفضيل بين يانصيبين (المُعرّف على أنه توزيعات احتمالية مشتركة على السمتين) يعتمد فقط على توزيعاتهما الاحتمالية الهامشية (التوزيع الاحتمالي الهامشي على السمة 1 والتوزيع الاحتمالي الهامشي على السمة 2).

وهذا يعني، على سبيل المثال، أن اليانصيبين التاليين متكافئان:

• ${\displaystyle L}$يانصيب متساوي الفرص بين${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$و${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$;
• ${\displaystyle M}$يانصيب متساوي الفرص بين${\displaystyle (x_{1},y_{2})}$و${\displaystyle (y_{1},x_{2})}$.

في كلتا هاتين القرعتين، يبلغ احتمال التخلف عن السداد الهامشي على السمة 1 نسبة 50% لـ${\displaystyle x_{1}}$و50% لـ${\displaystyle y_{1}}$وبالمثل، فإن احتمالية التخلف عن السداد الهامشية على السمة 2 هي 50% لـ${\displaystyle x_{2}}$و50% لـ${\displaystyle y_{2}}$وبالتالي، إذا كان لدى الفاعل منافع مستقلة عن الجمع، فلا بد أن يكون غير مبالٍ بين هذين الاحتمالين. ^{[ 1 ] : 229-232}

تتمثل إحدى النتائج الأساسية في نظرية المنفعة في أن سمتين تكونان مستقلتين جمعياً، إذا وفقط إذا كانت دالة المنفعة الخاصة بهما ذات السمتين جمعية ولها الشكل التالي:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})}$

دليل:

${\displaystyle \longrightarrow }$

إذا كانت السمات مستقلة عن الجمع، فإن اليانصيب${\displaystyle L}$و${\displaystyle M}$المعرّفة أعلاه متكافئة. وهذا يعني أن منفعتها المتوقعة متساوية، أي:${\displaystyle E_{L}[u]=E_{M}[u]}$بضرب الناتج في 2 نحصل على:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})+u(y_{1},y_{2})=u(x_{1},y_{2})+u(y_{1},x_{2})}$

وينطبق هذا على أي اختيار من${\displaystyle x_{i}}$و${\displaystyle y_{i}}$افترض الآن أن${\displaystyle y_{1}}$و${\displaystyle y_{2}}$ثابتة. محددة بشكل تعسفي${\displaystyle u(y_{1},y_{2})=0}$. يكتب:${\displaystyle u_{1}(x_{1})=u(x_{1},y_{2})}$و${\displaystyle u_{2}(x_{2})=u(y_{1},x_{2})}$تصبح المعادلة أعلاه كالتالي:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})}$

${\displaystyle \longleftarrow }$

إذا كانت الدالة u جمعية، فبحسب قواعد التوقع، لكل يانصيب${\displaystyle L}$:

${\displaystyle E_{L}[u(x_{1},x_{2})]=E_{L[u_{1}(x_{1})]+E_{L[u_{2}(x_{2})]}$

يعتمد هذا التعبير فقط على التوزيعات الاحتمالية الهامشية لـ${\displaystyle L}$بناءً على السمتين.

تُعمَّم هذه النتيجة على أي عدد من السمات: إذا كانت تفضيلات المشاركة في اليانصيب على السمات 1، ...، n تعتمد فقط على توزيعات احتمالاتها الهامشية، فإن دالة المنفعة ذات n سمة تكون جمعية: ^{[ 1 ] : 295}

${\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{k_{i}u_{i}(x_{i})}}$

أين${\displaystyle u}$و${\displaystyle u_{i}}$يتم توحيدها ضمن النطاق${\displaystyle [0,1]}$و${\displaystyle k_{i}}$هي ثوابت التطبيع.

قام بيتر سي. فيشبورن بإنجاز جزء كبير من العمل في نظرية المنفعة الإضافية .

تُعدّ خاصية الاستقلال عن المنفعة خاصيةً أضعف قليلاً . تكون السمة 1 مستقلة عن منفعة السمة 2، إذا كانت التفضيلات الشرطية لليانصيب على السمة 1، مع الأخذ في الاعتبار قيمة ثابتة للسمة 2، لا تعتمد على تلك القيمة الثابتة.

وهذا يعني، على سبيل المثال، أن التفضيل بين اليانصيب${\displaystyle <(x_{1},x_{2}):(y_{1},x_{2})>}$واليانصيب${\displaystyle <(x'_{1},x_{2}):(y'_{1},x_{2})>}$هو نفسه، بغض النظر عن قيمة${\displaystyle x_{2}}$.

تجدر الإشارة إلى أن استقلال المنفعة (على عكس الاستقلال الجمعي) ليس متناظرًا: فمن الممكن أن تكون السمة 1 مستقلة عن منفعة السمة 2، وليس العكس. ^{[ 1 ] : 224-229}

إذا كانت السمة 1 مستقلة عن السمة 2 من حيث المنفعة، فإن دالة المنفعة لكل قيمة من قيم السمة 2 هي تحويل خطي لدالة المنفعة لكل قيمة أخرى من قيم السمة 2. وبالتالي يمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=c_{1}(x_{2})+c_{2}(x_{2})\cdot u(x_{1},x_{2}^{0})}$

متى${\displaystyle x_{2}^{0}}$هي قيمة ثابتة للخاصية 2. وبالمثل، إذا كانت الخاصية 2 مستقلة عن الخاصية 1 من حيث المنفعة:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=d_{1}(x_{1})+d_{2}(x_{1})\cdot u(x_{1}^{0},x_{2})}$

إذا كانت السمات مستقلة عن بعضها البعض من حيث المنفعة ، فإن دالة المنفعة u تأخذ الشكل الخطي المتعدد التالي : ^{[ 1 ] : 233-235}

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})+k\cdot u_{1}(x_{1})\cdot u_{2}(x_{2})}$

أين${\displaystyle k}$هو ثابت يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا.

• متى${\displaystyle k=0}$، الدالة u جمعية والخصائص مستقلة عن الجمع.
• متى${\displaystyle k\neq 0}$، دالة المنفعة ضربية، حيث يمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle [ku(x_{1},x_{2})+1]=[ku_{1}(x_{1})+1]\cdot [ku_{2}(x_{2})+1]}$

حيث يمثل كل حد تحويلاً خطياً${\displaystyle k\cdot +1}$لدالة منفعة.

يمكن تعميم هذه النتائج على أي عدد من السمات. بافتراض وجود السمات 1، ...، n ، إذا كانت أي مجموعة فرعية من السمات مستقلة من حيث المنفعة عن مكملتها، فإن دالة المنفعة للسمات n تكون متعددة الخطية وتأخذ أحد الأشكال التالية:

• مادة مضافة ، أو -
• الضربي : ^{[ 1 ] : 289-290}

${\displaystyle 1+ku(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}{1+kk_{i}u_{i}(x_{i})}}$

أين:

• ال${\displaystyle u}$و${\displaystyle u_{i}}$يتم توحيدها ضمن النطاق${\displaystyle [0,1]}$;
• ال${\displaystyle k_{i}}$هي ثوابت في${\displaystyle [0,1]}$;
• ${\displaystyle k}$هو ثابت إما في${\displaystyle (-1,0)}$أو في${\displaystyle (0,\infty )}$(لاحظ أن الحد عندما${\displaystyle k\to 0}$(وهي الصيغة الإضافية).

من المفيد مقارنة ثلاثة مفاهيم مختلفة تتعلق باستقلالية السمات: الاستقلال الجمعي (AI)، والاستقلال النفعي (UI)، والاستقلال التفضيلي (PI). ^{[ 1 ] : 344}

يتعلق كل من الذكاء الاصطناعي وواجهة المستخدم بتفضيلات اليانصيب ، وقد تم شرحهما أعلاه. أما مؤشر الأداء الرئيسي فيتعلق بتفضيلات النتائج المؤكدة ، وقد تم شرحه في مقال المنفعة الترتيبية .

ترتيب دلالاتها كالتالي:

الذكاء الاصطناعي ⇒ واجهة المستخدم ⇒ الذكاء الاصطناعي

الذكاء الاصطناعي هو علاقة متناظرة (إذا كانت السمة 1 هي الذكاء الاصطناعي للسمة 2 فإن السمة 2 هي الذكاء الاصطناعي للسمة 1)، بينما واجهة المستخدم و PI ليستا كذلك.

الذكاء الاصطناعي يستلزم واجهة مستخدم متبادلة. أما العكس فليس صحيحاً بشكل عام؛ بل يكون صحيحاً فقط إذا${\displaystyle k=0}$في الصيغة متعددة الخطوط لسمات واجهة المستخدم. ولكن إذا كان هناك، بالإضافة إلى واجهة المستخدم المتبادلة،${\displaystyle x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}}$والتي من أجلها اليانصيبان${\displaystyle L}$و${\displaystyle M}$إذا كانت التعريفات المذكورة أعلاه متكافئة، فإن${\displaystyle k}$يجب أن تكون القيمة صفرًا، وهذا يعني أن علاقة التفضيل يجب أن تكون من النوع AI. ^{[ 1 ] : 238-239}

واجهة المستخدم تعني باي. والعكس ليس صحيحًا بشكل عام. ولكن إذا:

• هناك ثلاث سمات أساسية على الأقل، و:
• جميع أزواج السمات {1، i } هي PI لمكملاتها، و:
• السمة 1 هي واجهة المستخدم الخاصة بمكملها،

عندئذٍ، تكون جميع السمات متبادلة في واجهة المستخدم. علاوة على ذلك، في هذه الحالة، توجد علاقة بسيطة بين دالة المنفعة الأساسية.${\displaystyle u}$تمثل هذه الدالة تفضيلات اليانصيب، ودالة المنفعة الترتيبية.${\displaystyle v}$تمثل هذه الوظيفة التفضيلات المتعلقة بحزم معينة.${\displaystyle u}$يجب أن يكون له أحد الأشكال التالية: ^{[ 1 ] : 330-332 [ 2 ]}

• مادة مضافة: ${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})}$
• الضرب:${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=[exp(R\cdot v(x_{1},...,x_{n}))-1]/[exp(R)-1]}$

أين${\displaystyle R\neq 0}$.

البرهان: يكفي إثبات أن u لديها كراهية مطلقة ثابتة للمخاطرة بالنسبة للقيمة v .

• افتراض PI مع${\displaystyle n\geq 3}$وهذا يعني أن دالة القيمة جمعية، أي:

${\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(x_{i})}}$

• يترك${\displaystyle x_{1},z_{1}}$لنفترض أن لدينا قيمتين مختلفتين للخاصية 1.${\displaystyle y_{1}}$كن بمثابة اليانصيب من حيث اليقين${\displaystyle <x_{1}:z_{1}>}$يفترض افتراض واجهة المستخدم أنه لكل تركيبة${\displaystyle (w_{2},\dots ,w_{n})}$بالنسبة لقيم السمات الأخرى، فإن التكافؤ التالي صحيح:

${\displaystyle (y_{1},w)\sim <(x_{1},w):(z_{1},w)>}$

• تشير العبارتان السابقتان إلى أنه لكل قيمة w ، يتحقق التكافؤ التالي في فضاء القيم:

${\displaystyle \lambda _{1}v_{1}(y_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}\sim <\lambda _{1}v_{1}(x_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}:\lambda _{1}v_{1}(z_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}>}$

• وهذا يعني أنه بإضافة أي كمية إلى جانبي اليانصيب (من خلال المصطلح)${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}}$)، يزيد من نسبة اليقين المكافئة لليانصيب بنفس الكمية.
• وتعني الحقيقة الأخيرة تجنب المخاطرة باستمرار.

• مزاد متعدد السمات
• التحسين متعدد الأهداف
• التصويت على قضايا متعددة
• برامج اتخاذ القرار