التقدير الطيفي متعدد الأبعاد

هي تقنية لتقدير طيف القدرة لإشارة أحادية البعد أو متعددة الأبعاد، نظرًا لعدم إمكانية حسابه بدقة. تُعطى عينات من عملية عشوائية ثابتة بالمعنى الواسع وإحصاءاتها من الرتبة الثانية (القياسات). تُحسب التقديرات بتطبيق تحويل فورييه متعدد الأبعاد لدالة الارتباط الذاتي للإشارة العشوائية. يبدأ التقدير بحساب مخطط دوري، والذي يُحسب بتربيع قيمة تحويل فورييه متعدد الأبعاد للقياسات ri(n). تُظهر التقديرات الطيفية المُستخرجة من المخطط الدوري تباينًا كبيرًا في السعة بين عينات المخطط الدوري المتتالية أو في العدد الموجي . تُحل هذه المشكلة باستخدام تقنيات تُشكل نظرية التقدير الكلاسيكية ، وهي كالتالي:

1. اقترح بارتليت طريقة لحساب طيف القدرة عن طريق حساب متوسط ​​التقديرات الطيفية. تُقسّم القياسات إلى أجزاء زمنية متساوية التباعد، ويُؤخذ المتوسط. وهذا يُعطي تقديرًا أفضل. ^{[ 3 ]}
2. بناءً على العدد الموجي ومؤشر جهاز الاستقبال/المخرج، يمكننا تقسيم المقاطع. هذا يزيد من تقديرات الطيف ويقلل من التباينات بين المقاطع المتتالية.
3. اقترح ويلش تقسيم القياسات باستخدام دوال نافذة البيانات، وحساب مخطط الفترة، ثم حساب متوسطها للحصول على تقدير طيفي، وحساب طيف القدرة باستخدام تحويل فورييه السريع (FFT). هذا يزيد من سرعة الحساب. ^{[ 4 ]}
4. ستساعدنا نافذة التنعيم على تنعيم التقدير عن طريق ضرب مخطط الفترة بطيف التنعيم. كلما اتسع الفص الرئيسي لطيف التنعيم، أصبح أكثر سلاسة على حساب دقة التردد. ^{[ 2 ]}

${\displaystyle P\left(K_{x},w\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{ss}\left(x,t\right)\,e^{-j\left(wt-k'x\right)}\,dx\,dt}$

${\displaystyle \varphi _{ss}\left(x,t\right)=s\left[\left(\xi ,\tau \right)s^{*}\left(\xi -x,\tau -t\right)\right]}$^{[ 2 ]}

${\displaystyle P_{B}\left(w\right)={\frac {1}{\det N}}\sum _{\ell }\left|\sum _{n}x\left(n+MI\right)e^{-j\left(w'n\right)}\right|^{2}}$ قضية بارتليت ^{[ 2 ]}

${\displaystyle P_{M}\left(w\right)={\frac {1}{\det N}}\left|\sum _{n}g(n)\,x(n)\,e^{-j(w'n)}\right|^{2}}$مخطط الفترة المعدل ^{[ 2 ]}

${\displaystyle P_{W}\left(w\right)={\frac {1}{\det N}}\sum _{l}\left|\sum _{n}g\left(n\right)\,x\left(n+MI\right)\,e^{-j\left(w'n\right)}\right|^{2}}$قضية ويلش ^{[ 2 ]}

المزايا

طريقة مباشرة تتضمن تحويلات فورييه.

القيود

1. بما أن بعض الطرق المذكورة أعلاه تقوم بأخذ عينات من التسلسل في الوقت، فإن دقة التردد تنخفض (التداخل).
2. عدد حالات العملية العشوائية الثابتة بالمعنى الواسع أقل مما يجعل من الصعب حساب التقديرات بدقة.

تُقدّم هذه الطريقة تقديرًا أفضل بدقة تردد أعلى من نظرية التقدير التقليدية. في طريقة التقدير عالية الدقة، نستخدم نافذة متغيرة للعدد الموجي تسمح فقط بأعداد موجية مُحددة وتحجب البقية. ساعدنا عمل كابون ^{[ 5 ]} في وضع طريقة تقدير باستخدام مُركّبات العدد الموجي-التردد، مما ينتج عنه تقدير بدقة تردد أعلى. وهي تُشبه طريقة الاحتمال الأقصى نظرًا لتشابه أداة التحسين المُستخدمة.

افتراض

إن المخرجات التي يتم الحصول عليها من أجهزة الاستشعار هي عملية عشوائية ثابتة بالمعنى الواسع ذات متوسط ​​صفري. ^{[ 6 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{C}{\left(K_{o}x,w_{o}\right)}&=E\left[\left|y{\left(i,n\right)}\right|^{2}\right]\\[1ex]&={\frac {1}{\sum \limits _{\alpha =0}^{N-1}\sum \limits _{\beta =0}^{M-1}\sum \limits _{\ell =0}^{N-1}\sum \limits _{m=0}^{M-1}\psi _{e}{\left(\ell ,\alpha ;m,\beta \right)}}}\end{aligned}}}$$

المزايا

1. دقة تردد أعلى مقارنة بالطرق الأخرى الموجودة.
2. تقدير أفضل للتردد لأننا نستخدم نافذة عدد موجي متغيرة مقارنة بالطريقة الكلاسيكية التي تستخدم نافذة عدد موجي ثابتة.
3. سرعة حسابية أسرع لأنها تستخدم تقنية تحويل فورييه السريع (FFT).

في هذا النوع من التقدير، نختار الإشارة متعددة الأبعاد لتكون دالة قابلة للفصل. ^{[ 1 ]} وبفضل هذه الخاصية، سنتمكن من عرض تحليل فورييه الذي يجري في أبعاد متعددة بالتتابع. سيساعدنا تأخير زمني في عملية تربيع القيمة المطلقة على معالجة تحويل فورييه في كل بُعد. يُطبق تحويل فورييه متعدد الأبعاد منفصل الزمن على طول كل بُعد، وفي النهاية يُطبق مُقدِّر أقصى إنتروبيا، ثم تُربَّع القيمة المطلقة.

المزايا

1. يتميز تحليل فورييه بالمرونة لأن الإشارة قابلة للفصل.
2. فهو يحافظ على مكونات الطور لكل بُعد على عكس مقدرات الطيف الأخرى.

تُعدّ هذه الطريقة امتدادًا لتقنية أحادية البُعد تُسمى تقدير الطيف الانحداري الذاتي . في نماذج الانحدار الذاتي ، تعتمد متغيرات الخرج خطيًا على قيمها السابقة. في هذا النموذج، يُختزل تقدير طيف القدرة إلى تقدير المعاملات من معاملات الارتباط الذاتي للعملية العشوائية، والتي يُفترض أنها معلومة لمنطقة محددة.${\displaystyle P_{A}(k_{x},w)}$عملية عشوائية${\displaystyle r(i,n)}$يتم تحديده بواسطة: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle P_{A}\left(k_{x},w\right)=P_{e}\left(k_{x},w\right)\left|{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}\right|^{2}}$$

فوق،${\displaystyle P_{e}\left(k_{x},w\right)}$هو طيف القدرة لعملية عشوائية${\displaystyle e(i,n)}$، والتي تُعطى كمدخل لنظام ذي دالة نقل${\displaystyle \left|{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}\right|}$للحصول على${\displaystyle r(i,n)}$^{[ 2 ]} و${\displaystyle A\left(k_{x},w\right)}$يكون:

$${\displaystyle A{\left(k_{x},w\right)}=\sum _{p=o}^{N-1}\sum _{q=0}^{M-1}a(p,q)\exp(jk_{x}p-jwq)}$$

وبالتالي، فإن تقدير القدرة يختزل إلى تقدير معاملات${\displaystyle a\left(p,q\right)}$من دالة الارتباط الذاتي${\displaystyle \varphi \left(\ell ,m\right)}$من العملية العشوائية. يمكن أيضًا تقدير المعاملات باستخدام صيغة التنبؤ الخطي التي تتعامل مع تقليل متوسط ​​مربع الخطأ بين الإشارة العشوائية الفعلية والقيم المتوقعة للإشارة العشوائية.

القيود

1. في بُعد واحد، لدينا نفس عدد المعادلات الخطية بنفس عدد المجاهيل بسبب خاصية مطابقة الارتباط الذاتي. لكن قد لا يكون ذلك ممكنًا في الأبعاد المتعددة ^{[ 2 ]} لأن مجموعة المعاملات لا تحتوي على درجات حرية كافية لمطابقة معاملات الارتباط الذاتي.
2. نفترض أن مجموعة المعاملات تقتصر على منطقة معينة.
3. في صياغة التنبؤ الخطي أحادي البعد، يتمتع المرشح العكسي بخاصية الطور الأدنى، مما يثبت استقراره. لكن هذا لا ينطبق بالضرورة على الحالة متعددة الأبعاد.
4. في الصيغة أحادية البعد، تكون مصفوفة الارتباط الذاتي موجبة التحديد، ولكن قد لا يكون الامتداد موجب التحديد موجودًا في حالة متعددة الأبعاد.

في هذه الطريقة لتقدير الطيف، نسعى لإيجاد تقدير طيفي يتطابق تحويل فورييه العكسي الخاص به مع معاملات الارتباط الذاتي المعروفة. ونعمل على تعظيم إنتروبيا التقدير الطيفي بحيث تتطابق مع معاملات الارتباط الذاتي. ^{[ 2 ]} معادلة الإنتروبيا معطاة كما يلي: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle H={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }\log P{\left(k_{x},w\right)}\,dk_{x}\,dw}$$

طيف القدرة${\displaystyle P\left(k,w\right)}$يمكن التعبير عنها كمجموع معاملات الارتباط الذاتي المعروفة ومعاملات الارتباط الذاتي غير المعروفة. ومن خلال ضبط قيم المعاملات غير المقيدة، يمكن زيادة الإنتروبيا إلى أقصى حد.

أقصى إنتروبيا يكون على الشكل التالي: ^{[ 2 ] [ 1 ]}

$${\displaystyle P_{ME}={\frac {1}{\sum _{\ell ,m}\lambda {\left(\ell ,m\right)}\exp \left(jk_{x}\ell -jwm\right)}}}$$

يجب اختيار λ ( ℓ , m ) بحيث تتطابق معاملات الارتباط الذاتي المعروفة.

القيود

1. يتميز هذا الأسلوب بتقييد عملية التحسين. ويمكن التغلب على ذلك باستخدام طريقة معاملات لاغرانج. ^{[ 2 ]}
2. لا يُعدّ تقدير الطيف لجميع الأقطاب حلاً لأقصى إنتروبيا في الحالة متعددة الأبعاد كما هو الحال في الحالة أحادية البعد. ويعود ذلك إلى أن نموذج الطيف لجميع الأقطاب لا يحتوي على درجة حرية كافية لمطابقة معاملات الارتباط الذاتي المعروفة.

المزايا

يمكن أخذ الأخطاء في قياس أو تقدير معاملات الارتباط الذاتي المعروفة في الاعتبار لأنه لا يلزم التطابق التام.

العيوب

هناك حاجة إلى الكثير من العمليات الحسابية.

هذا نهج حديث نسبيًا. طريقة الاحتمال الأقصى المحسّنة (IMLM) هي دمج لمُقدِّرين من مُقدِّرات الاحتمال الأقصى (MLM ). ^{[ 1 ] [ 7 ]} يُعطى الاحتمال الأقصى المحسّن لمصفوفتين ثنائيتي الأبعاد A وB عند عدد موجي k (يُعطي معلومات حول اتجاه المصفوفة في الفضاء) بالعلاقة التالية: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

$${\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)={\frac {1}{{\frac {1}{MLM\left(k:A\right)}}-{\frac {1}{MLM\left(k:B\right)}}}}}$$

المصفوفة B هي مجموعة جزئية من A. لذا، بافتراض أن A أكبر من B، إذا كان هناك فرق بين متوسط ​​الترددات المتوسطة (MLM) للمصفوفة A ومتوسط ​​الترددات المتوسطة للمصفوفة B، فقد يعود جزء كبير من الطاقة الطيفية المقدرة عند التردد إلى تسرب الطاقة من ترددات أخرى. يمكن تحسين تقدير الطيف عن طريق تقليل تأثير متوسط ​​الترددات المتوسطة للمصفوفة A. ويتحقق ذلك بضرب متوسط ​​الترددات المتوسطة للمصفوفة A بدالة مرجحة، تكون قيمتها أصغر كلما زاد الفرق بين متوسط ​​الترددات المتوسطة للمصفوفة B ومتوسط ​​الترددات المتوسطة للمصفوفة A.

$${\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)={\frac {MLM\left(k:A\right)MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}}$$$${\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)=MLM\left(k:A\right)W_{AB}\left(k\right)}$$

أين${\displaystyle W_{AB}\left(k\right)}$هي دالة الترجيح ويتم إعطاؤها بالصيغة التالية: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle W_{AB}\left(k\right)={\frac {MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}}$$

المزايا

1. يُستخدم كبديل لطريقة MLM أو MEM (طريقة الإنتروبيا القصوى / مبدأ الإنتروبيا القصوى )
2. تتمتع IMLM بدقة أفضل من MLM وتتطلب عددًا أقل من العمليات الحسابية مقارنة بـ MEM ^{[ 7 ] [ 8 ]}