تحليل العوامل المتعددة

يفترض التحليل الثالث للمثال التمهيدي ضمنيًا وجود توازن بين النباتات والتربة. مع ذلك، في هذا المثال، مجرد تمثيل النباتات بـ 50 متغيرًا والتربة بـ 11 متغيرًا يعني أن تحليل المكونات الرئيسية (PCA) الذي يحتوي على 61 متغيرًا نشطًا سيتأثر بشكل رئيسي بالنباتات، على الأقل على المحور الأول. وهذا غير مرغوب فيه، إذ لا يوجد مبرر لتفضيل مجموعة على أخرى في التحليل.

يرتكز جوهر تحليل العوامل المتعددة (MFA) على تحليل عاملي (تحليل المكونات الرئيسية في حالة المتغيرات الكمية، وتحليل السلاسل المتعددة في حالة المتغيرات النوعية) حيث تُوزن المتغيرات. وتكون هذه الأوزان متطابقة لمتغيرات المجموعة الواحدة (وتختلف من مجموعة إلى أخرى). ويكون الحد الأقصى للعطالة المحورية للمجموعة مساويًا لـ 1: بمعنى آخر، بتطبيق تحليل المكونات الرئيسية (أو تحليل السلاسل المتعددة عند الاقتضاء) على مجموعة واحدة بهذه الأوزان، نحصل على قيمة ذاتية أولى تساوي 1. ولتحقيق هذه الخاصية، يُخصص تحليل العوامل المتعددة قيمةً لكل متغير من متغيرات المجموعة.${\displaystyle j}$وزن يساوي مقلوب القيمة الذاتية الأولى للتحليل (تحليل المكونات الرئيسية أو تحليل المراسلات المتعددة وفقًا لنوع المتغير) للمجموعة${\displaystyle j}$.

رسمياً، مع الإشارة إلى${\displaystyle \lambda _{1}^{j}}$القيمة الذاتية الأولى للتحليل العاملي لمجموعة واحدة${\displaystyle j}$، يحدد إطار العمل متعدد الوسائط الوزن${\displaystyle 1/\لامدا _{1}^{ي}}$لكل متغير من متغيرات المجموعة${\displaystyle j}$.

إن موازنة أقصى قصور ذاتي محوري بدلاً من القصور الذاتي الكلي (أي عدد المتغيرات في تحليل المكونات الرئيسية القياسي) يمنح تحليل التدفق متعدد العوامل (MFA) العديد من الخصائص المهمة للمستخدم. وبشكل أكثر وضوحاً، تظهر أهميته في المثال التالي.

لنفترض مجموعتين من المتغيرات معرفتين على نفس مجموعة الأفراد.

1. تتكون المجموعة 1 من متغيرين غير مرتبطين A و B.
2. تتكون المجموعة 2 من متغيرين {C1، C2} متطابقين مع نفس المتغير C غير المرتبط بالمتغيرين الأولين.

هذا المثال ليس غير واقعي تماماً. فغالباً ما يكون من الضروري تحليل المجموعات متعددة الأبعاد والمجموعات أحادية البعد (إلى حد كبير) في آن واحد.

كل مجموعة تحتوي على نفس عدد المتغيرات لها نفس القصور الذاتي الكلي.

في هذا المثال، يكاد المحور الأول لتحليل المكونات الرئيسية (PCA) أن يتطابق مع النقطة C. في الواقع، في فضاء المتغيرات، يوجد متغيران في اتجاه C: المجموعة 2، التي تتركز كل قوتها في اتجاه واحد، تؤثر بشكل رئيسي على المحور الأول. أما المجموعة 1، المكونة من متغيرين متعامدين (أي غير مترابطين)، فتتوزع قوتها بانتظام في مستوى واحد (المستوى الناتج عن المتغيرين) ولا تكاد تؤثر على المحور الأول.

مثال عددي

الجدول 1. تحليل العوامل المتعددة. بيانات الاختبار. A وB (المجموعة 1) غير مرتبطين. C1 وC2 (المجموعة 2) متطابقان. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle 1}$ 1 1 1 1 ${\displaystyle 2}$ 2 3 4 4 ${\displaystyle 3}$ 3 5 2 2 ${\displaystyle 4}$ 4 5 2 2 ${\displaystyle 5}$ 5 3 4 4 ${\displaystyle 6}$ 6 1 2 2

الجدول 2. بيانات الاختبار. تحليل القصور الذاتي في تحليل المكونات الرئيسية (PCA) وتحليل تدفق المواد (MFA) المطبق على البيانات في الجدول 1. ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ تحليل المكونات الرئيسية القصور الذاتي 2.14 (100%) 1 المجموعة 1 0.24 (11%) 1 المجموعة 2 1.91 (89%) 0 ماجستير الفنون الجميلة القصور الذاتي 1.28 (100%) 1 المجموعة 1 0.64 (50%) 1 المجموعة 2 0.64 (50%) 0

يلخص الجدول 2 قصور المحورين الأولين لتحليل المكونات الرئيسية (PCA) وتحليل العوامل المتعددة (MFA) المطبق على الجدول 1.

تساهم متغيرات المجموعة 2 بنسبة 88.95% من قصور المحور 1 في تحليل المكونات الرئيسية. المحور الأول (${\displaystyle F_{1}}$) يكاد يتطابق مع C: العلاقة بين C و${\displaystyle F_{1}}$هو 0.976؛

يوضح المحور الأول لتحليل العوامل المتعددة (في بيانات الجدول 1) التوازن بين مجموعتي المتغيرات: مساهمة كل مجموعة في قصور هذا المحور تساوي 50٪ بالضبط.

أما المحور الثاني، فيعتمد فقط على المجموعة 1. وهذا أمر طبيعي لأن هذه المجموعة ثنائية الأبعاد بينما المجموعة الثانية، كونها أحادية البعد، يمكن أن تكون مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمحور واحد فقط (هنا المحور الأول).

إن إدخال عدة مجموعات نشطة من المتغيرات في التحليل العاملي يفترض ضمنيًا وجود توازن بين هذه المجموعات.

يجب أن يأخذ هذا التوازن في الاعتبار أن المجموعة متعددة الأبعاد تؤثر بشكل طبيعي على محاور أكثر من المجموعة أحادية البعد (والتي قد لا تكون مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمحور واحد).

يلعب وزن MFA، الذي يجعل الحد الأقصى للقصور الذاتي المحوري لكل مجموعة مساوياً لـ 1، هذا الدور.

جوهر تحليل العوامل المتعددة هو تحليل العوامل الموزون: يوفر تحليل العوامل المتعددة أولاً النتائج الكلاسيكية لتحليلات العوامل.

1. تمثيلات الأفراد التي يكون فيها فردان قريبين من بعضهما البعض إذا أظهرا قيمًا متشابهة للعديد من المتغيرات في مجموعات المتغيرات المختلفة؛ من الناحية العملية، يدرس المستخدم بشكل خاص المستوى العاملي الأول.

2. تمثيلات المتغيرات الكمية كما في تحليل المكونات الرئيسية (دائرة الارتباط).

في المثال:

• يعارض المحور الأول بشكل أساسي الأفراد 1 و 5 (الشكل 1).
• للمتغيرات الأربعة إحداثيات موجبة (الشكل 2): المحور الأول يمثل تأثير الحجم. وبالتالي، يمتلك الفرد 1 قيمًا منخفضة لجميع المتغيرات، بينما يمتلك الفرد 5 قيمًا عالية لجميع المتغيرات.

3. مؤشرات مساعدة في التفسير : القصور الذاتي المتوقع، والمساهمات، وجودة التمثيل. في المثال، تبلغ مساهمة الفردين 1 و5 في قصور المحور الأول 45.7% + 31.5% = 77.2%، مما يبرر تركيز التفسير على هاتين النقطتين.

4. تمثيلات فئات المتغيرات النوعية كما في تحليل المراسلات المتعددة (تقع الفئة في مركز الأفراد الذين يمتلكونها). لا توجد متغيرات نوعية في المثال.

5. تمثيلات متراكبة للأفراد «  كما تراهم  » كل مجموعة. يُطلق على الفرد الذي يُنظر إليه من وجهة نظر مجموعة واحدة اسم الفرد الجزئي (وبالمثل، يُطلق على الفرد الذي يُنظر إليه من وجهة نظر جميع المتغيرات اسم الفرد المتوسط ​​لأنه يقع في مركز ثقل نقاطه الجزئية). سحابة جزئية${\displaystyle N_{i}^{j}}$يجمع${\displaystyle I}$الأفراد من منظور المجموعة الواحدة${\displaystyle j}$(أي${\displaystyle {i^{j},j=1,J}}$): أي السحابة التي تم تحليلها في التحليل العاملي المنفصل (PCA أو MCA) للمجموعة${\displaystyle j}$التمثيل المتراكب لـ${\displaystyle N_{i}^{j}}$إن الغرض الذي توفره MFA مشابه في غرضه للغرض الذي يوفره تحليل Procrustes .

في المثال (الشكل 3)، يتميز الفرد 1 بصغر حجمه (أي بصغر قيمه) بالنسبة لكل من المجموعتين 1 و2 (نقاطه الجزئية لها إحداثيات سالبة ومتقاربة). في المقابل، يتميز الفرد 5 بارتفاع قيم متغيرات المجموعة 2 مقارنةً بمتغيرات المجموعة 1 (بالنسبة للفرد 5، تقع نقطة المجموعة 2 الجزئية أبعد عن نقطة الأصل من نقطة المجموعة 1 الجزئية). ويمكن التحقق من هذه القراءة للرسم البياني مباشرةً من البيانات.

٦. تمثيلات مجموعات المتغيرات بحد ذاتها. في هذه الرسوم البيانية، تُمثَّل كل مجموعة متغيرات بنقطة واحدة. تكون مجموعتان من المتغيرات متقاربتين عندما تُحدِّدان البنية نفسها على الأفراد. الحالة القصوى: مجموعتان من المتغيرات تُحدِّدان سُحُبًا متماثلة من الأفراد.${\displaystyle N_{i}^{j}}$تتطابق. إحداثيات المجموعة${\displaystyle j}$على طول المحور${\displaystyle s}$يساوي مساهمة المجموعة${\displaystyle j}$إلى جمود بُعد الرتبة في تحليل العوامل المتعددة${\displaystyle s}$يمكن تفسير هذه المساهمة كمؤشر على العلاقة (بين المجموعة)${\displaystyle j}$والمحور${\displaystyle s}$ومن هنا جاء اسم مربع العلاقة الذي يُطلق على هذا النوع من التمثيل). يوجد هذا التمثيل أيضًا في طرق عاملية أخرى (MCA وFAMD على وجه الخصوص) حيث يتم اختزال كل مجموعة من المتغيرات إلى متغير واحد.

في المثال (الشكل 4)، يُظهر هذا التمثيل أن المحور الأول مرتبط بمجموعتي المتغيرات، بينما يرتبط المحور الثاني بالمجموعة الأولى. ويتوافق هذا مع تمثيل المتغيرات (الشكل 2). عمليًا، يُعد هذا التمثيل ذا قيمة خاصة عندما تكون المجموعات عديدة وتضم متغيرات كثيرة.

شبكة قراءة أخرى . تشترك مجموعتا المتغيرات في تأثير الحجم (المحور الأول) وتختلفان وفقًا للمحور 2 لأن هذا المحور خاص بالمجموعة 1 (وهو يعارض المتغيرين A وB).

7. تمثيلات لعوامل التحليلات المنفصلة للمجموعات المختلفة. يتم تمثيل هذه العوامل كمتغيرات كمية تكميلية (دائرة الارتباط).

في المثال (الشكل 5)، يرتبط المحور الأول لتحليل العوامل المتعددة ارتباطًا قويًا نسبيًا (r = 0.80) بالمكون الأول للمجموعة 2. هذه المجموعة، التي تتكون من متغيرين متطابقين، لا تمتلك سوى مكون رئيسي واحد (متداخل مع المتغير ). تتكون المجموعة 1 من متغيرين متعامدين: أي اتجاه للفضاء الفرعي الناتج عن هذين المتغيرين له نفس القصور الذاتي (يساوي 1). لذا، يوجد عدم يقين في اختيار المكونات الرئيسية، ولا يوجد سبب للاهتمام بأحدها على وجه الخصوص. مع ذلك، فإن المكونين اللذين يوفرهما البرنامج ممثلان تمثيلًا جيدًا: مستوى تحليل العوامل المتعددة قريب من المستوى الذي يمتد عليه متغيرا المجموعة 1.