مسألة نيوتن-بيبس

مسألة نيوتن-بيبس هي مسألة احتمالية تتعلق باحتمالية الحصول على الرقم ستة عند رمي عدد معين من النرد. ^{[ 1 ]}

في عام 1693، تبادل صموئيل بيبس وإسحاق نيوتن الرسائل حول مسألة طرحها على بيبس مدرس يُدعى جون سميث. ^{[ 2 ]} وكانت المسألة كالتالي:

أي من المقترحات الثلاثة التالية لديها أكبر فرصة للنجاح؟

أ. يتم رمي ستة نردات متوازنة بشكل مستقل ويظهر الرقم "6" واحد على الأقل.

ب. يتم رمي اثني عشر نردًا متوازنًا بشكل مستقل ويظهر على الأقل الرقم "6" مرتين.

ج. يتم رمي ثمانية عشر نردًا متوازنًا بشكل مستقل، ويظهر على الأقل ثلاثة أرقام "6". ^{[ 3 ]}

اعتقد بيبس في البداية أن النتيجة ج هي الأكثر احتمالاً، لكن نيوتن استنتج بشكل صحيح أن النتيجة أ هي في الواقع الأكثر احتمالاً.

احتمالات النتائج أ، ب، ج هي: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle P(A)=1-\left({\frac {5}{6}}\right)^{6}={\frac {31031}{46656}}\approx 0.6651\,,}$

${\displaystyle P(B)=1-\sum _{x=0}^{1}{\binom {12}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{12-x}={\frac {1346704211}{2176782336}}\approx 0.6187\,,}$

${\displaystyle P(C)=1-\sum _{x=0}^{2}{\binom {18}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{18-x}={\frac {15166600495229}{25389989167104}}\approx 0.5973\,.}$

يمكن الحصول على هذه النتائج بتطبيق التوزيع ذي الحدين (مع أن نيوتن توصل إليها من المبادئ الأساسية). عمومًا، إذا كانت P( n ) هي احتمال الحصول على n ستة على الأقل عند رمي 6n نردًا ، فإن:

${\displaystyle P(n)=1-\sum _{x=0}^{n-1}{\binom {6n}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{6n-x}\,.}$

مع ازدياد قيمة n ، تتناقص قيمة P( n ) بشكل رتيب نحو حد تقاربي قدره 1/2.

يمكن تطبيق الحل الموضح أعلاه في لغة البرمجة R على النحو التالي:

for ( s in 1 : 3 ) { # البحث عن s = 1 أو 2 أو 3 ستات n = 6 * s # ... في n = 6 أو 12 أو 18 نرد q = pbinom ( s -1 , n , 1 / 6 ) # q = Prob( <s sixes in n dice ) cat ( "احتمالية الحصول على ستة على الأقل" , s , "في" , n , "نرد عادل:" , 1 - q , "\n" ) }

على الرغم من أن نيوتن حسب احتمالات كل رهان بدقة، إلا أنه قدم تفسيرًا بديهيًا منفصلاً لبيبس. فقد تخيل أن ب وج يرميان النرد في مجموعات من ستة، وقال إن أ هو الخيار الأفضل لأنه يتطلب الحصول على الرقم 6 في رمية واحدة فقط، بينما يتطلب ب وج الحصول على الرقم 6 في كل رمية. يفترض هذا التفسير أن المجموعة لا تُنتج أكثر من الرقم 6 واحد، لذا فهو لا يتوافق في الواقع مع المسألة الأصلية. ^{[ 3 ]}

يُمكن تعميم هذه المسألة بشكل طبيعي من خلال اعتبار n من النرد غير المتوازن بالضرورة، حيث p هو احتمال ظهور الوجه 6 عند رمي كل نرد (لاحظ أن عدد أوجه النرد والوجه الذي يجب اختياره ليسا مهمين). إذا كان r هو العدد الإجمالي للنرد الذي يظهر فيه الوجه 6، فإن${\displaystyle P(r\geq k;n,p)}$هي احتمالية الحصول على k اختيارًا صحيحًا على الأقل عند رمي n نردًا بالضبط. عندئذٍ، يمكن تعميم مسألة نيوتن-بيبس الأصلية على النحو التالي:

يترك${\displaystyle \nu _{1},\nu _{2}}$لتكن أعدادًا موجبة طبيعية${\displaystyle \nu _{1}\leq \nu _{2}}$ثم${\displaystyle P(r\geq \nu _{1}k;\nu _{1}n,p)}$لا يقل عن${\displaystyle P(r\geq \nu _{2}k;\nu _{2}n,p)}$لكل n و p و k ؟

لاحظ أنه باستخدام هذه الصيغة، تُقرأ مسألة نيوتن-بيبس الأصلية على النحو التالي:${\displaystyle P(r\geq 1;6,1/6)\geq P(r\geq 2;12,1/6)\geq P(r\geq 3;18,1/6)}$؟

كما لوحظ في دراسة روبين وإيفانز (1961)، لا توجد إجابات موحدة لمسألة نيوتن-بيبس المعممة، لأن الإجابات تعتمد على k و n و p . ومع ذلك، توجد بعض الصيغ المختلفة للمسائل السابقة التي تقبل إجابات موحدة.

(من تشاوندي وبولارد (1960)): ^{[ 4 ]}

لو${\displaystyle k_{1},k_{2},n}$هي أعداد طبيعية موجبة، و${\displaystyle k_{1}<k_{2}}$، ثم${\displaystyle P(r\geq k_{1};k_{1}n,{\frac {1}{n}})>P(r\geq k_{2};k_{2}n,{\frac {1}{n}})}$.

لو${\displaystyle k,n_{1},n_{2}}$هي أعداد طبيعية موجبة، و${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$، ثم${\displaystyle P(r\geq k;kn_{1},{\frac {1}{n_{1}}})>P(r\geq k;kn_{2},{\frac {1}{n_{2}}})}$.

(من فاراجنولو، بيلونيتو ​​وشيناتو (2013)): ^{[ 5 ]}

لو${\displaystyle \nu _{1},\nu _{2},n,k}$هي أعداد طبيعية موجبة، و${\displaystyle \nu _{1}\leq \nu _{2},k\leq n,p\in [0,1]}$ثم${\displaystyle P(r=\nu _{1}k;\nu _{1}n,p)\geq P(r=\nu _{2}k;\nu _{2}n,p)}$.